Окружность с центром на диагонали ас трапеции abcd проходит через вершины

Окружность с центром на диагонали ас трапеции abcd проходит через вершины

Окружность с центром на диагонали AC параллелограмма ABCD касается прямой AB и проходит через точки C и D . Найдите стороны параллелограмма, если его площадь S= , а BAC = arcsin .

Решение

Пусть O – центр окружности, F – точка касания окружности с прямой AB . Обозначим OC=OD=OF=R , AB=CD=x , AD=BC=y , ACD = BAC = α . Тогда
sin α = , cos α = .
Продолжим радиус OF до пересечения с хордой CD в точке M . Так как OF AB и CD || AB , то OM CD , значит, M – середина CD . Из прямоугольного треугольника OMC находим, что
R=OC = = = , OM = OC sin α = R = .
Тогда
FM = OF+OM = R+ R = R = · = ,
а т.к. MF – высота параллелограмма ABCD , то S=CD· MF , или = x· , откуда AB = x = . Пусть P – проекция вершины C на прямую AB . Тогда CP=MF= . Из прямоугольного треугольника APC находим, что
AC = = = = =3.
По теореме косинусов
y 2 =BC 2 = AB 2 +AC 2 2AB· AC cos BAC = 2+92· · 3· = 118=3.
Следовательно, BC= .

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5855

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Репетитор по математике

Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».

Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]

Стоимость занятий

Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.

Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021

Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.

Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.

Группа Вконтакте

В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.

Преимущества

Педагогический стаж

Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.

Собственная методика

За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.

Читайте также:  Какими упражнениями качать трапецию

Гарантированный результат

За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.

Индивидуальная работа

Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.

Источник

Окружность с центром на диагонали ас трапеции abcd проходит через вершины

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 16. Планиметрия с доказательством.

1. Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что ∠ABM =∠DBС = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?
Ответ: б) 1:3

3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.
а) Докажите, что AB:BC = AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O— центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а BC = 6√2.
Ответ: б) 18√3

4. В треугольнике ABC точки A 1 , B 1 , C 1 — середины сторон BC, AC и A B соответственно, AH— высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1, H— лежат на одной окружности.
б) Найдите A1 H, если BC = 2√3.

5. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L— точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Ответ: б) √10

6. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что sin ∠AOC=√15/4. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.
Ответ: б) 1:4

7. Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен √23.
Ответ: б) 115/6

8. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.

Читайте также:  Как сшить подушку прямоугольную своими

9. Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

10. Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N— точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.

11. В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC = 8.
Ответ: б) 2,88

12. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC =OBC+OCB.
а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OHI, если ∠ABC = 55°.

13. Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB = CQ:QB = CW:WD = 3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ— острый.
а) Докажите, что треугольник PQW— прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

14. Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C 1 , B 1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику AB 1 C 1 .
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45°, B 1 C 1 =6 и площадь треугольника AB 1 C 1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB 1 C 1 .

15. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC— биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N – середины катетов АС и ВС соответственно, СН – высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны
б) Пусть Р – точка пересечения прямых АС и NH, а Q – точка пересечения прямых ВС и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.

17. В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin ∠BMC если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Ответ: б) 0,65

Читайте также:  Авсд трапеция найти среднюю линию трапеции

18. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН:АС, если угол АВС равен 30.
Ответ: б) 3:4

19. Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM, MK в точках A, B и C соответственно.
а) Докажите, что KC = (KL+KM-LM)/2 .

б) Найдите отношение LB:BM, если известно, что KC:CM = 3:2 и ∠ MKL = 60.
Ответ: б) 5:2

20. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC =1.
Ответ: б) 3

21. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а) Докажите, что CK*CE = AB*CD.
б) Найдите отношение CK к KE, если ∠ ECD = 15.
Ответ: б) 2:1

22. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса ∠ BAC пересекает прямую MN в точке L
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos ∠BAC = 7/25.
Ответ: б) 25:36

23. Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.
Ответ: б) 5:4

24. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q – середина дуги MB.

25. Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.

26. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центр окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sin ∠D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

27. В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin ∠AOD = sin ∠ BOS.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠ BAD = 90, а основания равны 5 и 7.

28. Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем