Окружность радиуса 4 делится точками

Окружность радиуса 4 делится точками

Вопрос по математике:

Окружность радиуса 4 делится точками A, B и C на дуги, угловые величины которых относятся как 1 : 2 : 3. Найдите стороны треугольника ABC

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

Источник

Деление круга на равные части

Статья содержит два калькулятора, рассчитывающие параметры деления круга на равные по площади части радиусами и параллельными хордами

Ниже представлены два калькулятора, рассчитывающие параметры разделения круга на равные части. Сначала — традиционный калькулятор, который делит круг на равные части радиусами (примерно так, как режут пиццу или торт), под ним — нетрадиционный калькулятор, который делит круг на равные по площади части параллельными хордами. Оба калькулятора визуализируют результат рисунком. Методы расчета с формулами для обоих калькуляторов приведены ниже, под калькуляторами.

Деление круга на равные по площади части радиусами

Деление круга на равные по площади части параллельными хордами

Деление круга на равные части радиусами

Традиционный и очень простой метод деления круга — по факту, нарезка равных секторов. Метод и формулы очень просты:

  1. Определяем угловой размер каждого сектора в радианах, путем деления 360 градусов на нужное число секторов.
  1. Определяем размер дуги сектора, перемножая радиус на угол в радианах
  1. Определяем размер хорды по теореме косинусов (хорда является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и противолежащим углом альфа.

Собственно и всё — мы получили все характеристики для N равных секторов

Деление круга на равные части параллельными хордами

Этот способ более любопытен, чем предыдущий. Для простоты будем рассматривать верхнюю половину круга, так как с нижней все будет симметрично.

Задача состоит в определении x-вой координаты точек, через которые нужно проводить хорды (на рисунке это точки x1 и x2). Выведем для начала формулу площади куска, отсекаемого хордой слева.

Верхнюю полуокружность можно представить графиком функции y=f(x), где x — это координата вдоль оси абсцисс, а y — это функция, численно равная y координате соответствующей точки верхней полуокружности.

По теореме Пифагора получаем следующую функцию

Чтобы получить площадь фигуры, отсекаемой хордой слева, надо проинтегрировать эту функцию от -R до x. Первообразная функции равна:

Осталось определиться с константой. Нам надо, чтобы в точке с координатами -R площадь была равна нулю. Подставив -R вместо x в формулу выше, получаем

Итак, полное выражение

Теперь рассмотрим нахождение координат крайней левой точки. Нам известна площадь, которую она должна отсечь (напоминаю, речь идет о полуокружности)

Таким образом мы можем приравнять

Что дает нам такое финальное уравнение

Данное уравнение является трансцендентным, а поэтому находить координату первой точки придется численным методом, например, методом бисекции или методом Ньютона. Калькулятор использует метод Ньютона.

Вторая и последующие точки находится аналогично, путем изменения размера отсекаемой площади. Для второй точки это будет , для третьей и так далее.

Зная координаты точек, несложно рассчитать все остальные параметры, в частности, длину хорды.

Источник

Задачи по геометрии окружность, диаметр

Ответы в самом низу встроенного документа

228. Докажите, что диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
229. Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны.
230. Через точку М проведены две касательные МА к МВ к окружности (А и В — точки касания). Докажите, что МА = МВ.
231. Докажите, что центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
232. Докажите, что около четырехугольника, сумма противоположных углов которого равна 180°, можно описать окружность.
233. Из точки, данной на окружности, проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.
234. Из точки, данной на окружности, проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу. Найдите угол между ними.
235. Угол между радиусами ОА и ОВ окружности равен 60°. Найдите хорду АВ, если радиус окружности равен R.
236°. Постройте окружность, которая проходила бы через две данные точки и центр которой находился бы на данной прямой.
237. Из внешней точки проведены к кругу две взаимно перпендикулярные касательные (рис. 10). Радиус круга R = 10. Найдите длину каждой касательной.

Читайте также:  Abcd параллелограмм найдите координаты вектора bd

238. Дан сектор, равный четверти круга радиуса R. Найдите длину касательной, проведенной в середине его дуги до пересечения с продолжениями крайних радиусов сектора.
239. АВ и АС — касательные к одной окружности, Z ВАС = 60°, длина ломаной ВАС равна 1. Найдите расстояние между точками касания В и С.
240. Хорда стягивает дугу в 90° и равна 16. Найдите до нее расстояние от центра окружности.
241. Радиусы двух концентрических окружностей относятся, как 7 : 4, а ширина кольца равна 12. Найдите радиус меньшей окружности.
242. Докажите, что касательные к окружности, проведенные через концы диаметра, параллельны.
243. Хорда пересекает диаметр под углом 30° и делит его на два отрезка длинами 2 и 6. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
244°. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен г, а полупериметр — р. Найдите гипотенузу.
245. Три последовательные стороны описанного четырехугольника относятся, как 1:2:3. Найдите его стороны, если известно, что периметр равен 24.
246. Докажите, что равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
247. Докажите, что хорды, удаленные от центра окружности на равные расстояния, равны.
248. Постройте окружность данного радиуса, высекающую на данной прямой отрезок, равный данному.
249. Через точку А окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда АС. Докажите, что угол ВАС вдвое меньше угла ВОС.
250. Угол с вершиной С равен 120°. Окружность радиуса R касается сторон угла в точках А и В. Найдите АВ.
251. Точки А и В лежат на окружности. Касательные к окружности, проведенные через эти точки, пересекаются в точке С. Найдите углы треугольника АВС, если АВ = АС.
252. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС в точках Cl,A1u Вг соответственно. Известно, чтоACj = ВАХ = СВХ. Докажите, что треугольник АВС — правильный.
253. В прямой угол вписан круг. Хорда, соединяющая точки касания, равна 2. Найдите расстояние от центра круга до этой хорды.
254. Даны два круга радиусами R и r(R> г), один вне другого. К ним проведены две общие внешние касательные. Найдите их длину (между точками касания), если их продолжения образуют прямой угол.
255. Две прямые проходят через точку М и касаются окружности в точках А и В. Проведя радиусОВ, продолжают его за точку В на расстояние ВС = ОВ. Докажите, что Z АМС = = Z ВМС.
256. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности.
257. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности.
258. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7 : 5 (начиная от вершины). Найдите отношение боковой стороны к основанию.
259. Укажите все точки М внутри круга, через которые можно провести две различные хорды, делящиеся в точке М пополам.
260. Докажите, что если пересечь два концентрических круга секущей, то части секущей, лежащие между окружностями, равны между собой.
261. Через точку А, лежащую на окружности, проведены диаметр АВ и хорда АС, причем АС = 8 и Z ВАС = = 30°. Найдите хорду СМ, перпендикулярную АВ.
262. Хорда большей из двух концентрических окружностей касается меньшей. Докажите, что точка касания делит эту хорду пополам.
263. В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды. Каждая из них делится другой хордой на два отрезка в 3 и 7. Найдите расстояние от центра окружности до каждой хорды.
264. В круге с центром О проведена хорда АВ и продолжена на расстояние ВС, равное радиусу (рис. 11). Через точку С и центр О проведена секущая

CD (D — точка пересечения с окружностью, лежащая вне отрезка СО). Докажите, что угол AOD равен утроенному углу ACD.
265. Докажите, что середины всех хорд данной длины, проведенных в данной окружности, лежат на некоторой окружности.
266. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
267. Три равных круга радиуса R касаются друг друга внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника, вершинами которого служат точки касания.
268. Два равных круга касаются изнутри третьего круга и касаются между собой. Соединив три центра, получим треугольник с периметром, равным 18. Найдите радиус большего круга.
269. Около круга, радиус которого равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найдите периметр треугольника.
270. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу пополам. Найдите углы треугольника.
271. Расстояние от точки М до центра О окружности равно диаметру этой окружности. Через точку М проведены две прямые, касающиеся окружности в точках А и В. Найдите углы треугольника АОВ.
272. В круге на расстоянии 1 от центра даны две взаимно перпендикулярные хорды. Каждая из них равна 6. На какие части одна хорда делит другую?
273. В круге радиуса R даны два взаимно . перпендикулярных диаметра. Произвольная точка окружности спроецирована на эти диаметры. Найдите расстояние между проекциями точки.
274. Сторона ромба равна 8, острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанного круга.
275. Две касающиеся окружности с центрами О, и 02 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром О. Найдите периметр треугольника оо1о2-
276. Центры трех попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках А, В, С, Z. АВС — 90°. Точки касания — К, Р и М (Б на стороне АС). Найдите угол КРМ.
277. Разделите окружность с данным центром на 6 равных частей, пользуясь только циркулем.
278. Найдите угол между радиусами ОА и ОБ, если расстояние от центра О окружности до хорды АВ: а) вдвое меньше АВ; б) вдвое меньше ОА.
279. На катете АС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре по-строена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке К. Найдите СК, если АС = 2 и А А = 30°.
280. Докажите, что окружность, построенная на стороне равностороннего треугольника как на диаметре, проходит через середины двух других сторон треугольника.
281. Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне рав-нобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания.
282. Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.
283. Окружности, центры которых расположены по разные стороны от не-которой прямой, касаются этой прямой. Линия центров пересекает прямую под углом, равным 30°. Найдите расстояние между центрами окружностей, если их радиусы равны г и В.
284. Две прямые касаются окружности с центром О в точках Аи В и пересекаются в точке С. Найдите угол между этими прямыми, если Z. АВО = = 40°.
285. Две прямые, пересекающиеся в точке С, касаются окружности с центром О в точках А и В. Известно, что А АСВ = 120°. Докажите, что сумма отрезков АС и ВС равна отрезку ОС.
286. Прямая, параллельная хорде АВ, касается окружности в точке С. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
287. Точка А лежит вне данной окружности с центром О. Окружность с диаметром ОА пересекается с данной в точках Б и С. Докажите, что прямые АВ и АС — касательные к данной окружности.
288. Прямая касается окружности с центром О в точке А. Точка С на этой прямой и точка D на окружности расположены по разные стороны от прямой ОА. Найдите угол CAD, если угол AOD равен 110°.
289. Прямая касается окружности с центром О в точке А. Точка С на этой прямой и точка D на окружности расположены по одну сторону от прямой ОА (рис. 12). Докажите, что угол CAD вдвое меньше угла AOD.

Читайте также:  Как это равнобедренный остроугольный треугольник

290. Диагонали четырехугольника делят его углы пополам. Докажите, что в такой четырехугольник можно вписать окружность.
291. Радиусы двух кругов равны 2 и 4. Их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны. Найдите длины каждой из них.
292. Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром вписанной окружности. Найдите углы треугольника.
293. Центральный угол сектора равен 60°, а радиус равен R. Найдите радиус круга, вписанного в этот сектор.
294. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен г. Найдите радиус большей окружности.
295. Даны два круга — один внутри другого. Через их центры проведен в большем круге диаметр, который окружностью меньшего круга делится на три части: 5, 8 и 1. Найдите расстояние между центрами кругов.
296. Из конца А диаметра АС окружности опущен перпендикуляр АР на касательную, проведенную через лежащую на окружности точку В, отличную от А и С. Докажите, что АВ — биссектриса угла РАС.
297. Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние от точки их пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.
298. Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Докажите, что отрезок секущей, заключенный между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.
299. Окружность касается одной стороны прямого угла с вершиной О и пересекает вторую сторону в точках А и В. Найдите радиус окружности, если ОА = а и ОВ = Ь.
300. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром О. Докажите, что А АОВ + Z. COD = 180°.
301. В данный круг, радиус которого равен 3, вписано шесть равных кругов, из которых каждый касается данного круга; кроме того, каждый из этих шести кругов касается двух соседних. Найдите радиусы кругов.
302. Шесть равных кругов касаются внешним образом круга радиуса 1 и, кроме того, каждый из этих шести кругов касается двух соседних. Найдите радиусы кругов.
303. Стороны треугольника относятся, как 5:4:3. Найдите отношения отрезков сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью.
304. Даны две концентрические окружности радиусов 1 и 3 с общим центром О. Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, выходящими из точки О.
305. Через центр окружности, вписанной в трапецию, проведена прямая,

параллельная основаниям. Докажите, что отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен четверти периметра трапеции.
306. На отрезке АВ как на диаметре построена окружность. Докажите, что из всех точек окружности, отличных от А и В, отрезок АВ виден под прямым углом.
307. Равные хорды окружности с центром О пересекаются в точке М. Докажите, что МО — биссектриса угла между ними.
308. Через концы диаметра окружности проведены две хорды, пересекающиеся на окружности и равные 12 и 16. Найдите расстояния от центра окружности до этих хорд.
309°. Продолжения равных хорд АВ и CD окружности соответственно за точки Б и С пересекаются в точке Р. Докажите, что треугольники APD и ВРС — равнобедренные.
310°. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине А треугольника АВС пересекают прямую
ВС в точках Р и Q (рис. 13). Докажите, что окружность, построенная на отрезке PQ как на диаметре, проходит через точку А.

Читайте также:  Если диагонали то этот параллелограмм является прямоугольником у квадрата

311. Докажите, что отличная от А точка пересечения окружностей, построенных на сторонах АВ и АС треугольника АВС как на диаметрах, лежит на прямой ВС.
312°. Из точки М, лежащей вне двух концентрических окружностей, проведены четыре прямые, касающиеся окружностей в точках А, В, С и D. Докажите, что точки М, А, В, С, D расположены на одной окружности.
313°. Две прямые, проходящие через точку М, лежащую вне окружности с центром О, касаются окружности в точках А и В. Отрезок ОМ делится окружностью пополам. В каком отношении отрезок ОМ делится прямой АВ?
314. Окружность проходит через вершину С и середины D и Е сторон ВС и АС равностороннего треугольника АВС. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и ВС, — касательная к окружности.
315. Хорда, перпендикулярная диаметру окружности, делит его в отношении 1:3. Под какими углами видна хорда из концов этого диаметра?
316. Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, высекает на двух других сторонах равные отрезки. Докажите, что треугольник равнобедренный.
317. Даны две равные касающиеся окружности. Под каким углом пересекаются прямые, одна из которых касается этих окружностей в разных точках, а вторая проходит через центр одной из окружностей и касается другой?
318. Через данную в круге точку проведите хорду, которая делилась бы этой точкой пополам.
319. В данном круге проведены две равные параллельные хорды, расстояние между которыми равно радиусу данного круга. Найдите острый угол между прямыми, соединяющими концы хорд.
320. Даны две круга. Их общие внутренние касательные взаимно пер-пендикулярны. Хорды, соединяющие точки касания, равны 3 и 5. Найдите расстояние между центрами кругов.
321. Пусть г — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, Ъ и гипотенузой с.
Докажите, что г = ^ .
322. Пусть г — радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов прямоугольного треугольника со сторонами а, Ъ, с. Докажите,
323. В треугольник АВС вписана окружность. Пусть х — расстояние от вершины А до ближайшей точки касания, ВС = а. Докажите, что х = р — а, где р — полупериметр треугольника.
324. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Докажите, что радиусы и касательные, проведенные через концы образовавшихся хорд, попарно параллельны.
325. На сторонах О А и ОВ четверти АОВ круга построены как на диаметрах полуокружности АСО и ОСВ, пересекающиеся в точке С. Докажите, что:
1) прямая ОС делит А АОВ пополам;
2) точки А, С и В лежат на одной прямой;
3) дуги АС, СО и СВ равны между собой.
326. В шестиугольнике, описанном около окружности, даны пять после-довательных сторон: a, b, с, d, е. Найдите шестую сторону.
327. Стороны треугольника АВС касаются некоторой окружности в точках k, Р и М, причем точка М расположена на стороне ВС. Найдите угол КМР, если А ВАС = 2а.
328. АВ— диаметр окружности, АС и BD — параллельные хорды этой окружности. Докажите, что АС = BD и CD также диаметр окружности.
329. Докажите, что прямая, проходящая через центры вневписанных окружностей треугольника АВС, касающихся сторон АВ и АС, перпендикулярна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и вершину А.
330. Две окружности пересекаются в точках А и В; AM и AN — диаметры окружностей. Докажите, что точки М, N к В лежат на одной прямой.
331. Найдите центр данной окружности с помощью чертежного угольника.
332. ВМ и CN — высоты треугольника АВС. Докажите, что точки В, N, М и С лежат на одной окружности.
333. Окружность, построенная на биссектрисе AD треугольника АВС как на диаметре, пересекает стороны АВ и АС соответственно в точках М и N, отличных от А. Докажите, что AM = AN.
334. Через точку А проведена прямая, пересекающая окружность с диаметром АВ в точке К, отличной от А, а окружность с центром В — в точках М и N. Докажите, что МК = KN.
335. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника АВС, точки В и С, а также точка пересечения биссектрис внешних углов с вершинами В и С лежат на одной окружности.
336. Точки А, В, С и D последовательно расположены на окружности, причем центр О окружности расположен внутри четырехугольника ABCD (рис. 14). Точки К, L, М и N — середины отрезков АВ, ВС, CD и AD соответственно. Докажите, что
A KON + A MOL = 180°.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем