Окружность радиуса 3 2 касается середины стороны bc треугольника abc

Окружность радиуса 3 2 касается середины стороны bc треугольника abc

Окружность радиуса 3 проходит через вершину B , середины сторон AB и BC , а также касается стороны AC треугольника ABC . Угол BAC — острый, и sin BAC = . Найдите площадь треугольника ABC .

Решение

Пусть M и N — середины сторон BC и AB соответственно, K — точка касания описанной окружности треугольника BMN со стороной AC , O —центр окружности, R=3 — её радиус. Отрезок MN — средняя линия треугольника ABC , поэтому MN || AC , значит, BNM = BSC . По теореме синусов
BM=2R sin BNM = 2R sin BAC = 2· 3· = 2, BC=2BM = 4.
По теореме о касательной секущей
CK = = =2 .

Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из центра O окружности на прямую BC . Тогда P — середина BM , поэтому MP=BP=1 и CP=CM+MP = 2+1=3 . Из порямоугольного треугольника BOP находим, что
OP= = =2 .

Прямоугольные треугольники OKC и CPO равны по двум катетам ( OK=CP=3 и CK=OP=2 ), поэтому COK = OCP , а т.к. KCO=90 o — COK , то OCP+ KCO = 90 o . Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный. Тогда
AB= = =12, AC= =8 .
Следовательно,
SΔ ABC= AC· BC = · 8 · 4 = 16 .

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6143

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Окружность радиуса 3 2 касается середины стороны bc треугольника abc

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 2R и CM = 3R.

Читайте также:  Около тупоугольного треугольника abc описана окружность

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 2 .

а) Пусть вписанная окружность касается стороны BC в точке K. Обозначим BK = x. Пусть S — площадь треугольника, p — полупериметр. Тогда

С другой стороны, по формуле Герона

Из уравнения получаем, что R = x. Стороны треугольника ABC равны 5R, 4R и 3R, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.

б) Пусть I и O — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Точка O — середина гипотенузы AC = 5R = 10, и OM = AOAM = 5 − 2R = 1.

Ответ: б)

Источник

планиметрия — Чему равняется $%AC$%?

Окружность радиуса $%3/2$% касается середины стороны $%BC$% треугольника $%ABC$% и пересекает сторону $%AB$% в точках $%D$% и $%E$%, так что $%AD:DE:EB = 1:2:1$%. Чему может равняться $%AC$%, если угол $%BAC = 30$% градусов?

задан 12 Авг ’15 23:21

serg55
9.0k ● 1 ● 52 ● 268
95&#037 принятых

2 ответа

Из условия задачи следует, что центр заданной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонами $%AB$% и $%BC$%, то есть окружность концентрична описанной окружности. Введём обозначения: $%O$% — центр окружностей, $%M$% — середина $%BC$%, $%N$% — середина $%AB$%.

Рассмотрим случай остроугольного $%\triangle ABC$%.

Используем теорему Пифагора: $%3=OB^2=ON^2+BN^2=ON^2+4EN^2$%, $%\frac94=OE^2=ON^2+EN^2$%. Отсюда $%ON=\sqrt<2>$%.

Аналогично рассматриваем случай тупоугольного $%\triangle ABC$%.

отвечен 13 Авг ’15 0:11

По свойству хорды и касательной, $%BD\cdot BE = BM^2$%, т.е. $%\frac34 AB \cdot \frac14 AB =\frac14 BC^2$%, то есть $%\frac<\sqrt3>2 AB = BC$%. Так как $%\angle A=30^\circ$%, то высота $%BK$% к стороне $%AC$% равна $%\frac12 AB$%, а длина $%AK$% равна $%\frac<\sqrt3>2 AB$%. По теореме Пифагора из тр-ка $%BKC$% получаем $%KC=\frac<\sqrt2>2 AB$%, следовательно, $%AC=\frac<\sqrt3 \pm \sqrt2>2 AB$%.

Читайте также:  Прямоугольные ступеньки для крыльца

Осталось увязать $%AB$% и известный нам радиус окружности. Так как $%R=OA=OB=\sqrt3$%, а $%OD=OE=\frac32$%, то из теорем Пифагора для треугольников $%ANO$% и $%DNO$% получаем $%NO^2=3 -AB^2/4 = 9/4 — AB^2/16$%. Отсюда $%AB=2$%.

Подставляя $%AB$% в формулу абзацем выше, окончательно получаем $%AC=\sqrt3 \pm \sqrt2$%.

Источник

Окружность радиуса 3 2 касается середины стороны bc треугольника abc

Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

а) Пусть E — середина стороны CB, F — середина стороны AB. По свойству описанного четырехугольника то есть

C другой стороны, по теореме косинусов для треугольника ABC получаем, что

Из двух последних равенств находим, что

то есть Решая это уравнение как квадратное относительно AB, получаем, что или В первом случае получаем, что тогда Во втором случае получаем, что тогда В обоих случаях треугольник ABC прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) Пусть стороны треугольника ABC равны 3x, 4x и 5x. Он прямоугольный, поэтому его площадь равна а с другой стороны площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр, то есть Приравнивая эти выражения получаем, что x = 1. Тогда площадь треугольника ABC равна

Приведем решение пункта б) Ирины Шраго.

По доказанному в пункте а) четырехугольник ACEF является прямоугольной трапецией, тогда возможны два случая. Либо CE = 2r = 2, BC = 2 · CE = 4 и, учитывая соотношение получим AC = 3 и AB = 5. Либо AF = 2r = 2, AB = 2 · AF = 4 и, учитывая соотношение получим AC = 3 и BC = 5. В любом случае периметр треугольника ABC равен 3 + 4 + 5 = 12, а его площадь

Источник

Окружность радиуса 3 2 касается середины стороны bc треугольника abc

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 2R и CM = 3R.

Читайте также:  Как число пи связано с окружностью

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 2 .

а) Пусть вписанная окружность касается стороны BC в точке K. Обозначим BK = x. Пусть S — площадь треугольника, p — полупериметр. Тогда

С другой стороны, по формуле Герона

Из уравнения получаем, что R = x. Стороны треугольника ABC равны 5R, 4R и 3R, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.

б) Пусть I и O — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Точка O — середина гипотенузы AC = 5R = 10, и OM = AOAM = 5 − 2R = 1.

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем