Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности

Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности

Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A . Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку A , пересекается с другой их общей касательной в точке B . Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.

Подсказка

Если r и R — радиусы окружностей, то AB = .

Решение

Пусть r и R — радиусы окружностей ( r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

Поскольку CD = 2 , то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Если O 1 и O 2 — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O 1 BO 2 , опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O 1 O 2 . Следовательно,

Отсюда находим, что O 2 A = 8.

Пусть r и R — радиусы окружностей ( r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

Поскольку CD = 2 , то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Если O 1 и O 2 — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O 1 BO 2 , опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O 1 O 2 . Следовательно,

Отсюда находим, что O 2 A = 8.

Пусть r и R — радиусы окружностей ( r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

Поскольку CD = 2 , то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Если O 1 и O 2 — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O 1 BO 2 , опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O 1 O 2 . Следовательно,

Отсюда находим, что O 2 A = 8.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 367

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности

Задание 16. Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

Читайте также:  Как работать с единичной окружностью тригонометрия

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны √15 и 15.

а)Две окружности разного радиуса касаются внешним образом в точке C, причем , AC = BC. Также , так как AD – диаметр первой окружности и , так как BE–диаметр второй окружности. Далее, O1D = O1C как радиусы, значит, , (как вертикальные), (так как треугольник BCO2 –равнобедренный). Следовательно, . Эти же углы являются накрест лежащими для прямыхAD, BE и секущей BD. Значит, по признаку параллельности прямых.

б)По условию задания , тогда . Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Пусть CD = x, AC = y. Тогда:

Рассмотрим подобные треугольники BCE и DCA (по двум углам), для которых запишем отношение:

Значит, . По условию задания AC = CB, следовательно, и

Источник

Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, ADAB. Аналогично получаем, что BCAB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Читайте также:  Прямоугольные треугольники равны если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника

Треугольники BKC и AKD подобны, Пусть тогда

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,

Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:

Тогда

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.

Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.

Из первого решения известно, что Из подобия треугольников AKD и AKB следует таким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB

Источник

Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй окружности в точке В. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — трапеция.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4.

а) Пусть прямая КМ — общая касательная двух окружностей, причём точка M лежит на отрезке AB. Тогда по свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, Следовательно, точка К лежит на окружности диаметром AB, а значит,

Углы AKD и BKC прямые, поэтому AD и BC — диаметры первой и второй окружностей соответственно. Значит, неравные отрезки AD и BC перпендикулярны касательной АB, следовательно, они параллельны. Таким образом, четырёхугольник ABCD — трапеция.

б) Пусть точки О и Q — центры первой и второй окружностей соответственно, а точки E и H — проекции точек О и D соответственно на прямую BC. Тогда в прямоугольном треугольнике OEQ:

В прямоугольном треугольнике DCH:

В прямоугольном треугольнике BDH:

Читайте также:  Торт на дембель кремовый прямоугольный

По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника BDC, равен

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Окружность радиуса 2 касается окружности радиуса 4

Окружность радиуса 2 касается окружности радиуса 4 в точке B. Прямая, проходящая через точку B, пересекает окружность меньшего радиуса в точке А, а окружность большего радиуса — в точке С. Найдите ВС, если АC = 3√2

Решение:
Рисунок №1.

Рисунок №2.

Пусть О1 и О2 — центры меньшей и большей окружностей соответственно.
Поскольку угол АВО1 равен углу CBO2 и треугольники ∆АВО1 и ∆СВО2 равнобедренные, то эти треугольники подобны и коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, т. е.
r:R=0,5
Если окружности касаются внутренним образом, (рисунок №1) то
ВС = 2АС = 6√2,
что невозможно, т. к. хорда ВС большей диаметра этой окружности, равного 8.

Если окружности касаются внешним образом (рисунок №2), то
BС = 2/3AC=2/3∙3√2=2√2

Видео урока, где рассмотрено решение этой задачи и не только.
Кликните СЮДА, чтобы посмотреть видео.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем