Окружность радиус окружности задачи

Содержание
  1. Задачи по геометрии с окружностями
  2. Задачи для тренировки и самопроверки.
  3. Длина окружности
  4. Длина окружности
  5. Задачи на длину окружности
  6. Задачи на площадь круга
  7. Нахождение радиуса круга: формула и примеры
  8. Формулы вычисления радиуса круга
  9. 1. Через длину окружности/периметр круга
  10. 2. Через площадь круга
  11. Примеры задач
  12. Как решать задания на окружность?
  13. В этой теме я хотел бы рассказать об основных понятиях, которые необходимо знать при решении заданий на окружность.
  14. 1. Вся окружность составляет 360°.
  15. 2. Площадь круга находится по формуле: S = πr 2 (π = 3.14, r – радиус круга). Радиус – это отрезок, который соединяет центр окружности и точку, лежащую на окружности.
  16. 3. Все радиусы в одной окружности равны. Все диаметры в одной окружности равны.
  17. 4. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
  18. 5. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
  19. 6. Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу равны.
  20. 7. Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром, описанной около него окружности.
  21. 8. Радиус, проведенный из точки касания, всегда лежит под углом 90° к касательной.
  22. 9. Если окружность вписана в некоторый угол х, то центральный угол окружности, который опирается на те же точки находится как 180° – х.
  23. 10. Если окружность вписана в некоторый угол х, то вписанный угол окружности, который опирается на те же точки находится как (180° – х)/2.

Задачи по геометрии с окружностями

Раздел предназначен для подготовки к экзамену и тренировки в решении задач.
Все задания снабжены ответами и рисунками, которые изначально скрыты.

Задачи для тренировки и самопроверки.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник ABC, равен \(5\sqrt<3>.\) Найдите AB.

Равносторонний треугольник является правильным многоугольником. У него есть центр, который совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей. Если сторона треугольника равна a, то радиусы этих окружностей можно найти по формулам \[ R = \dfrac<\sqrt<3>>\;и\; r = \dfrac<2\sqrt<3>>.\] Таким образом, эта задача решается по известным формулам:\[AB = a =r\cdot2\sqrt <3>=5\sqrt<3>\cdot2\sqrt <3>= 30.\] Однако, если вы забыли эти формулы, ничто не мешает рассмотреть прямоугольные треугольники с углами 30° и 60°, синусы и косинусы которых вы знаете.

Ответ: AB = 30

Окружности радиусов 4 и 13 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L внутренним образом. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=22,5°.

При построении чертежа вспоминаем, что точка касания и центры окружностей находятся на одной прямой. Тогда по чертежу видно, что искомая площадь треугольника KMO1 равна разности площадей треугольника MO2L и треугольников KO1L и MO2O1: \[S_ = S_ — S_ — S_ \] В каждом из этих тругольников известны две стороны и легко определяется угол между ними, поэтому площади будем находить по формуле \(S = \dfrac><2>\), где а и b — длины упомянутых сторон треугольника.

Ответ: \(S_ = 9\sqrt<2>\)

Окружности радиусов 11 и 21 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2=60°. Найдите AB.

Зная углы при вершинах равнобедренных треугольников AO1C и BO2C, можем вычислить угол ВСА.
BСO2 = (180° − ∠BO2C)/2 = (180° − 120°)/2 = 30°.
АСO1 = (180° − ∠АO1C)/2 = (180° − 60°)/2 = 60°.
BСA = 180° − ∠BCO2 − ∠AСO1 = 180° − 30° − 60° = 90°.

Читайте также:  Прямоугольный параллелепипед у которого все стороны равны это

Таким образом получаем, что треугольник АВС – примоугольный, и искомый отрезок АВ является его гипотенузой, которую можно было бы найти по теореме Пифагора, если бы нам были известны величины катетов АС и ВС.

При вычислении углов треугольника AO1C получили, что углы при его основании по 60°, это означает, что треугольник равносторонний и АС = АO1 = 11, AC 2 = 121.
Чтобы найти ВС 2 используем теорему косинусов для треугольника ВО2С: \[BC^2 = BO_2^2+CO_2^2-2\cos<\angle BO_2C>\cdot BO_2\cdot CO_2 = \\ = 21^2+21^2-2\cdot\cos<120^\circ>\cdot21\cdot21 = \\ = 2\cdot441-2\cdot(-\frac<1><2>)\cdot441 =1323.\] Тогда \(AB^2 = AC^2+BC^2 = 1323+121=1444.\) \(AB = \sqrt <1444>= 38.\)

Ответ: AB = 38

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=15°.

Строим на чертеже все элементы, упомянутые в условии задачи, а также проводим линию центров О1О2 и опускаем из точки О2 перпендикуляр на прямую ВС. O2H – высота треугольника BCO2. Следовательно, его площадь может быть найдена по формуле \[S = \frac<2>\] ВС = ВА + АС, поэтому нужно найти длины этих хорд обеих окружностей. Их легко определить из равнобедренных треугольников ABO1 и ACO2, боковые стороны которых равны известным радиусам окружностей, а углы при основаниях по 15°:
ABO1 = 15° по условию задачи;
BAO1 = ∠ABO1 = 15° — углы при основании равнобедренного треугольника ABO1;
CAO2 = ∠BAO1 = 15° — вертикальные углы;
ACO2 = ∠CAO2 = 15° — угды при основании равнобедренного треугольника ACO2.
Основания АВ и АС в этих треугольниках можно определить по теореме косинусов или через прямоугольные треугольники, на которые их делят высоты, такие как, например, треугольник AO2H. Любым способом получим
\[AB = 2\cdot3\cdot\cos <15^\circ>= 6\cos<15^\circ>\\AC = 2\cdot5\cdot\cos <15^\circ>= 10\cos<15^\circ>.\] Высоту О2Н также определяем из прямоугольного треугольника AO2H: \[O_2H = AO_2\cdot\sin <15^\circ>= 5\cdot\sin<15^\circ>.\] Вычисляем площадь \[S = \frac <(6\cos<15^\circ>+ 10\cos<15^\circ>)\cdot5\sin<15^\circ>> <2>= \\ =\frac<16\cos<15^\circ>\cdot5\sin<15^\circ>> <2>= \\ = \frac<80\sin<15^\circ>\cos<15^\circ>> <2>= \frac<40\sin<30^\circ>> <2>= \frac<40\cdot1> <2\cdot2>= 10. \] При вычислении была использована тригонометрическая формула 2sinαcosα = sin2α.

Достраиваем на чертеже линию центров О1О2 и высоту треугольника BCO2. Так как в этом случае треугольник получился тупоугольным, эта высота расположена вне треугольника.
Площадь треугольника также может быть найдена по формуле \[S = \frac<2>.\] ВС = ACАB.
О2Н = CO2ċsin∠BCO2.

Для определения длин отрезков AC и АB и величины угла BCO2 также рассматриваем равнобедренные треугольники ABO1 и ACO2.

Ответ: S = 10 или S = 2,5

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной \(14\sqrt<3>.\) Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.

Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF делят его на 6 равных равносторонних треугольников со стороной \(14\sqrt<3>\).

Подробнее о правильных многоугольниках см. здесь.

Ответ: 28

Чтобы повторить свойства окружностей перейдите к страницам Окружность. Основные понятия. и
Углы и отрезки в окружности.

Повторить свойства правильных многоугольников можно здесь.

Читайте также:  Общая хорда окружностей касающихся внешним образом

Если возникают вопросы — обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

Источник

Длина окружности

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):

C = π.
D

Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

где C — длина окружности, π — константа, D — диаметр окружности, R — радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Решение: Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см).

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:

теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м).

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π:

R = C ,
2π

следовательно, радиус будет равен:

R 7,85 = 7,85 = 1,25 (м).
2 · 3,14 6,28

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Решение: Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2 ).

Ответ: 12,56 см 2 .

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2 ).

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

S = π D 2 ≈ 3,14 · 7 2 = 3,14 · 49 =
4 4 4

= 153,86 = 38,465 (см 2 ).
4

Ответ: 38,465 см 2 .

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .

Решение: Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

Источник

Нахождение радиуса круга: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус круга (окружности) и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формулы вычисления радиуса круга

1. Через длину окружности/периметр круга

Радиус круга/окружности рассчитывается по формуле:

C – это длина окружности/периметр круга; равняется удвоенному произведению числа π на его радиус:

C = 2 π R

π – число, приближенное значение которого равно 3,14.

2. Через площадь круга

Радиус круга/окружности вычисляется таким образом:

S – это площадь круга; равна числу π , умноженному на квадрат его радиуса:

S = π R 2

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Источник

Как решать задания на окружность?

В этой теме я хотел бы рассказать об основных понятиях, которые необходимо знать при решении заданий на окружность.

Но для начала давайте разберемся с понятиями круг и окружность.

Окружность – линия, каждая точка которой равноудалена от центра.

Круг – часть плоскости, которая лежит внутри окружности.

Другими словами, окружность – это контур круга (то, что мы рисуем циркулем). Круг – та часть листа бумаги, которая остается внутри.

1. Вся окружность составляет 360°.

Это означает, что если окружность разбита на несколько дуг (дуга – часть окружности), то их сумма всегда равна 360°.

Например, в этом задании необходимо найти длину дуги АВ.

Так как сумма всех дуг равна 360°, то АВ + АС + ВС = 360. Причем две из них (АС и ВС) известны. Поэтому мы можем легко найти дугу АВ: 360 – 130 – 115.

2. Площадь круга находится по формуле: S = πr 2 (π = 3.14, r – радиус круга). Радиус – это отрезок, который соединяет центр окружности и точку, лежащую на окружности.

Най­ди­те площадь круга радиусом 4. (В от­ве­те укажите площадь, деленную на π.)

А вот здесь и главная подсказка “деленную на π“. Значит при нахождении площади не нужно подставлять 3,14.

S = π·4 2 = 16π. В ответ запишем только 16.

3. Все радиусы в одной окружности равны. Все диаметры в одной окружности равны.

4. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

5. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

6. Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу равны.

Угол АВС равен углу АМС, так как они опираются на одну дугу АС.

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром, описанной около него окружности.

Это связано с тем, что угол В = 90°. При этом он является вписанным углом. Вписанный угол в 2 раза меньше дуги АС, на которую он опирается. Поэтому дуга АС = 180°, а это половина окружности. То есть АС – диаметр.

8. Радиус, проведенный из точки касания, всегда лежит под углом 90° к касательной.

Из точки А проведены две касательные к окружности – АВ и АС. Радиус ОВ будет перпендикулярен касательной АВ, а радиус ОС – перпендикулярен касательной АС.

9. Если окружность вписана в некоторый угол х, то центральный угол окружности, который опирается на те же точки находится как 180° – х.

Окружность вписана в угол А = 95°, который касается ее в точках В и С. Центральный угол ВОС будет равен 180 – 95 = 85°.

10. Если окружность вписана в некоторый угол х, то вписанный угол окружности, который опирается на те же точки находится как (180° – х)/2.

Окружность вписана в угол А = 70°, который касается ее в точках В и С. Вписанный угол ВМС будет равен (180 – 70)2 = 55°.

Эти правила помогут Вам решить практически все задания на тему Окружностей.

Источник

Читайте также:  Торт на день рождения мужу прямоугольный
Поделиться с друзьями
Объясняем