Окружность построенная на меньшем основании трапеции как на диаметре построена

Окружность построенная на меньшем основании трапеции как на диаметре построена

В трапеции АBCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.

а) Докажите, что угол BАM равен углу CАD.

б) Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O.

Найдите площадь треугольника АOB, если АB = 6, а BC = 4BM.

а) Трапеция AMCD вписана в окружность, тогда углы CAD и MDA равны. Так как углы CAD и BAM равны половине дуги AM, то они равны между собой, что и требовалось доказать.

б) откуда тогда а Так как треугольники AOD и COB подобны, то тогда

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Окружность построенная на меньшем основании трапеции как на диаметре построена

Основания равнобочной трапеции относятся как 3:2. На большем основании как на диаметре построена окружность, высекающая на меньшем основании отрезок, равный половине этого основания. В каком отношении окружность делит боковые стороны трапеции?

Решение

Пусть окружность с центром O , построенная на большем основании AD равнобедренной трапеции ABCD как на диаметре, высекает на меньшем основании BC отрезок MN ( M между N и C ). Положим MC = a , тогда BN=a , MN=2a , BC=4a , AD = 6a , т.е. радиус окружности равен 3a . Если H – проекция вершины C трапеции на большее основание AD , а P – проекция точки O на основание BC , то
HD = (AD-BC) = (6a-4a) = a, PM = MN=a, CH=OP.
Прямоугольные треугольники CHD и OPM равны по двум катетам, поэтому CD=OM=3a Пусть окружность пересекает боковую сторону CD трапеции в точке K , отличной от C . Обозначим CK=x . Поскольку CKD и CMN – секущие, проведённые к окружности из одной точки,
CK· CD = CM· CN, x· 3a = a· 3a,
откуда x = a . Тогда
KD = CD-CK = 3a- a = 2a.
Следовательно, = . Аналогично для боковой стороны AB .

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4563

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Окружность построенная на меньшем основании трапеции как на диаметре построена

Вопрос по геометрии:

Окружность построенная на меньшем основании трапеции как на диаметре проходит через середины диагоналей и касается большего основания найти углы трапеции

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

ABCD — трапеция, АВ — верхнее основание и диаметр окружности
окружность пересекает диагонали в точках К и Е, причем DК=КВ, АЕ=АС.
Очевидно, что высота трапеции АН равна радиуса окружности, или АВ/2
уголАКВ = 90, т.к. опирается на диаметр
АК — медиана и высота треугольника DAB ⇒ ΔDAB равнобедренный ⇒ DA = AB.
AH=AB/2 ⇒ AH=DA/2, т.е. катет прямоугольного треугольника DHA равен половине гипотенузы ⇒ угол напротив него равен 30 градусов.
угол D трапеции = 30, тогда угол А = 150
аналогично доказывается, что угол С = 30, угол В = 150

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Источник

III.3. Задачи к теоретической карте № 3

№ 1.

1. 2. 3.
4.
В – точка касания Найти: АDВ .

5. 6.

№2.Биссектриса угла В треугольника АВС пресекает описанную окружность в точке D. Доказать, что треугольник АDC равнобедренный.

План доказательства.

1. (доказать).

2. .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№3.Доказать, что сторона треугольника, лежащая против угла в 30 0 , равна радиусу окружности, описанной около треугольника.

План доказательства.

1. .

2. Вид .

3.

Используемые факты из теоретической карты:

№4. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из
боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три дуги. Найти градусные меры этих дуг.

План решения.

1. BD АС.

2.

3.

4.

Ответ: 40 0 , 40 0 , 100 0

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№5. Через вершины Ви С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках К и М соответственно. Доказать, что ∆АВС

∆АМК. Найти МК и АМ, если АВ=2, ВС=4, АС=5, АК=1.

План доказательства.

1. Проведем .

2. .

3.

4.

5.

.

6. МК. 7. АМ. Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.№6. Окружность, построенная на стороне параллелограмма как на диаметре, проходит через середину соседней стороны и точку пересечения диагоналей. Найти углы параллелограмма.

План решения.

1. – ромб

2. – равносторонний.

3. .

4. .

Ответ: 60 0 , 120 0 .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№7. Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания и пересекает боковые стороны, деля их пополам. Найти меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен R.

План решения.

проведем АЕ, .

1.

2.

: СD 2 = 4R(R — ОР).

3. CP = R, PD = R – OP.

4. ∆CPD: OP 2 + 2R∙OP – 2R 2 =0, .

5. Трапеция ABCD – равнобедренная. ВС = 2ОР.

Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№8. Высоты остроугольного треугольника продлены до пересечения с описанной окружностью. Доказать, что отрезки этих линий от ортоцентра до окружности делятся соответственными сторонами пополам.

Точка К – ортоцентр треугольника АВС.

1. ∆ВНС:

2. ∆АРС:

3.

4. 5. . 6. КР=PN.

Аналогично доказывается, что .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№9.Окружность разделена точками A, B, C и D так, что Хорды и продолжены до пересечения в точке М. Найти угол АМВ.

1.

2.

3. .

Используемые факты из теоретической карты: 1.3.

10. На окружности взяты четыре точки. Середины образованных дуг попарно соединены отрезками. Доказать, что среди этих отрезков есть, по крайней мере, два перпендикулярных.

1. Выразить через и а затем через дуги

2.

Используемые факты из теоретической карты: 1.4.

№11. В окружность вписан четырехугольник. Его противоположные стороны CD и АВ, ВС и AD продолжены до взаимного пересечения в точках N и F. Доказать, что биссектрисы углов BFA и AND перпендикулярны.

1. .

2. .

3.

4. .

5. .

6. .

7. = =90°.

Используемые факты из теоретической карты:

№12. Через точку касания двух окружностей проведены две секущие, концы которых соединены хордами. Доказать, что эти хорды параллельны.

1. .

2. .

3. .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 1.5.

№13.В треугольнике АВС проведены высоты ВВ1 и СС1. Доказать, что
касательная в точке А к описанной окружности параллельна прямой В1С1.

План решения.

Используемые факты из теоретической карты: 1.5.

№14. Окружность проходит через вершины В, С, D трапеции ABCD и касается боковой стороны АВ в точке В. Основания трапеции а и b. Найти диагональ BD.

1.

2.

3.

.

4. .

5. . Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 1.5.

№15. Из точки С окружности на хорду АВ опущен перпендикуляр CD. Из концов хорды опущены перпендикуляры АЕ и BF на касательную к окружности в точке С. Доказать, что .

План доказательства.

1.

2. .

4.

.

5. . 6. BF. 7. .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 1.5.

№16. Дана точка Р, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см.
Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Каковы длины отрезков, на
которые делится хорда точкой Р?

1. .

2. ∙РТ.

3. = ∙ (18 – ).

4. ∙РТ= .

5.

Ответ: 6 и 12. Используемые факты из теоретической карты: 2.1.

№17. АС и ВD – диагонали ромба АВCD. Окружность описанная около
треугольника ABD, пересекает большую диагональ АС в точке Е. Определить диагонали ромба, если АВ = 20 см, СЕ = 7 см.

План решения.

1. АО 2 +ОВ 2 =АВ 2 .

2. АО∙ОЕ=ОВ 2 , АО∙(АО – ЕС) = ОВ 2 .

3. Решить систему уравнений

Ответ: 32 см, 24 см.

Используемые факты из теоретической карты: 2.1.

№ 18.Через точку Р диаметра АВ данной окружности проведена хорда CD, образующая с диаметром АВ угол 60°. Вычислить радиус окружности R, если

Дополнительное построение: ОК ^ DC.

1.СК. 2. КР. 3. ОР ( ОКР).

4. Выразить АР через ОР и R.

5. Выразить РВ через ОР и R.

6.Составить равенство АР·РВ = СР·РD.

7.Выразить R из составленного равенства.

Ответ:

Используемые факты из теоретической карты: 2.1;

№19. Из внешней точки проведена к окружности секущая длиной 12 см и
касательная, длина которой составляет два внутренних отрезка секущей.

Определить длину касательной.

План решения.

1. Выразить AD через АС и DС.

2. Выразить АВ через DС.

3. Составить уравнение.

Рис. 87

4. DС. 5. АВ.

Ответ:

Используемые факты из теоретической карты: 2.2.

№20. Полуокружность, построенная на меньшем катете, как на диаметре, делит биссектрису острого угла, прилежащего к этому катету, в отношении 1:3. Найти углы треугольника.

План решения.

1. КС – касательная, КВ – секущая,

выразить КС (в частях).

2. sin

3. Ответ: 30 0 , 60 0 .

Используемые факты из теоретической карты: 2.2.

№21. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. На отрезках гипотенузы, определенных основанием перпендикуляра, опущенного на гипотенузу из
вершины прямого угла, описаны как на диаметрах окружности. Найти длины отрезков катетов, находящихся внутри этих окружностей.

План решения.

1. .

2. КС (СD – касательная, СА – секущая).

4. Аналогично LB.

Ответ: . Используемые факты из теоретической карты: 2.2.

№22. На боковой стороне АВ равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность. Окружность пересекает основание АС в точке М, а
боковую сторону ВС в точке N. Найти длины отрезков СN и NM, если
АС=а, АВ=b.

План решения.

1. .

2. .

3. .

Ответ: ,

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 2.3.

Источник

Читайте также:  Бассейн прямоугольный каркасный высота 122
Поделиться с друзьями
Объясняем