- Окружность построенная на медиане вм равнобедренного треугольника авс как на диаметре второй раз
- Окружность построенная на медиане вм равнобедренного треугольника авс как на диаметре второй раз
- Окружность построенная на медиане вм равнобедренного треугольника авс как на диаметре второй раз
- Окружность построенная на медиане вм равнобедренного треугольника авс как на диаметре второй раз
- Окружность построенная на медиане вм равнобедренного треугольника авс как на диаметре второй раз
Окружность построенная на медиане вм равнобедренного треугольника авс как на диаметре второй раз
Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.
а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = EК. Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда
(*), причём:
Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:
Тогда
Ответ: б)
Источник
Окружность построенная на медиане вм равнобедренного треугольника авс как на диаметре второй раз
Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.
Решение . а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = EК. Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда
(*), причём:
Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:
Тогда
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | |||||||||||||
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | |||||||||||||
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Источник Окружность построенная на медиане вм равнобедренного треугольника авс как на диаметре второй разОкружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K. а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK. б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17. а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = EК. Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать. б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда Подставляя полученные соотношения в (*), получаем: Тогда Приведём другое решение пункта б). Пусть Приведём третье решение пункта б). Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 2α, AB = x. Тогда из прямоугольного треугольника ANM находим: Из последнего уравнения получаем те же ответы, что и в предыдущем решении x = 16 (постороннее решение) или x = 18. Приведём еще одно решение пункта б). Рассмотрим прямоугольный треугольник Последнее уравнение уже дважды решено выше. Источник Окружность построенная на медиане вм равнобедренного треугольника авс как на диаметре второй разОкружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K. а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK. б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17. Решение . б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда Подставляя полученные соотношения в (*), получаем: Тогда Приведём другое решение пункта б). Пусть Приведём третье решение пункта б). Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 2α, AB = x. Тогда из прямоугольного треугольника ANM находим: Из последнего уравнения получаем те же ответы, что и в предыдущем решении x = 16 (постороннее решение) или x = 18. Приведём еще одно решение пункта б). Рассмотрим прямоугольный треугольник Последнее уравнение уже дважды решено выше.
|