Окружность по клеткам как начертить

Подготовка к ОГЭ. «Углы на клетках»

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Углы на клетках

Как построить прямой угол по клеткам? Очень просто! – скажете вы. – Отметим точку, вершину угла, от неё чертим вправо или влево луч, затем ещё один луч вверх или вниз. Угол между горизонталью и вертикалью – прямой. А можно и по диагоналям соседних клеток.

Всё верно. А если один из лучей уже построен и он не горизонтальный, не вертикальный и не проходит по диагоналям клеток? Как начертить второй луч, чтобы угол между ними был прямым?

Найдём узел сетки, через который проходит начерченный луч. На нашем рисунке до такого узла от начала луча нужно пройти 3 клетки ВЛЕВО и 1 клетку ВНИЗ. Поэтому чтобы получился прямой угол, надо от начала луча отсчитать 1 клетку ВЛЕВО и 3 клетки ВВЕРХ. Почему? Обозначим упомянутые нами точки – А, В и О. Построим векторы ОА и ОВ. Координаты вектора ОА равны (-3; -1), вектора ОВ (-1; 3). Их скалярное произведение равно 0, поэтому они перпендикулярны.

Можно отсчитывать клетки и так: 1 клетку ВПРАВО и 3 клетки ВНИЗ. Тогда вектор ОВ имеет координаты (1; -3), при этом скалярное произведение векторов ОА и ОВ также равно 0.

Вывод. Векторы с координатами ( a ; b ) и (- b ; a ), или ( a ; b ) и ( b ; — a ), — перпендикулярны.

Рассмотрим несколько задач, связанных с умением находить прямой угол на рисунке.

№ 1 . Найти угол АВС на рисунке.

Решение. На первом рисунке угол АОС построен на диагоналях соседних клеток. На втором рисунке векторы ОА и ОС имеют координаты соответственно (3; -4) и (4; 3). Поэтому на первом и втором рисунках центральный угол АОС – прямой, а вписанный угол АВС, опирающийся на ту же дугу, равен его половине, то есть 45 ° . На третьем рисунке угол АОС – половина прямого, то есть 45 ° , а угол АВС соответственно равен 22,5 ° .

№ 2. Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Чему равен угол между прямыми АС и В D ?

Решение. Отрезок В D переместим параллельно вниз на одну клетку. Появляется отрезок АМ, равный В D . Угол между прямыми АС и В D равен углу между АС и АМ на втором рисунке. Соединим отрезком точки С и М. Получается, что угол АМС – прямой и АМ = МС. Треугольник АСМ прямоугольный равнобедренный, поэтому искомый угол равен 45°.

Читайте также:  Как разделить прямоугольную трапецию на 4 равные трапеции

№ 3. Найти тангенс угла, изображенного на рисунке.

Решение. Выделим на этом рисунке узлы сетки – точки А и С. Рассмотрим треугольник АВС. Заметим, что он является прямоугольным, к тому же катет ВС в 2 раза больше катета АС. Отсюда следует, что тангенс угла В равен 1:2 = 0,5.

Правильный треугольник и описанная около неё окружность, построенные на клетках, несут в себе много интересных свойств. Известно, что радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной а, равен , а радиус вписанной в него окружности — , то есть в два раза меньше. Отсюда следует, что хорда, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через его середину, является стороной правильного треугольника. Другими словами, острый вписанный угол, опирающийся на хорду, перпендикулярную радиусу и проходящую через его середину, равен 60 ° , а центральный угол и тупой вписанный угол, опирающиеся на эту хорду, — 120 ° .

Рассмотрим несколько примеров задач, решаемых на основе этого свойства.

1) Угол АВС на рисунке равен 60 ° , так как хорда АС проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему.

2) Угол АВС на рисунке является половиной угла в 60 ° из предыдущей задачи и равен 30 ° .

3) Угол АВС на следующем рисунке равен 120 ° . При этом четырёхугольник АВСО является ромбом и его острый угол равен 60 °.

Полезным при решении задач на клетках является знание углов правильных многоугольников. Рассмотрим правильный шестиугольник и правильный восьмиугольник. Около них описаны окружности. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 ° , угол между диагоналями-диаметрами равен 60 ° , угол между двумя соседними диагоналями, исходящими из одной вершины, равен 30 ° , меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне, а с другими соседними сторонами — угол 30 ° . Каждый угол правильного восьмиугольника равен 135 °, угол между соседними диагоналями-диаметрами равен 45°.

Найдите на следующих рисунках градусные меры отмеченных углов.

Источник

Геометрия клетчатой бумаги

Урок 27. Наглядная геометрия 5–6 классы ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Геометрия клетчатой бумаги»

Клеточки на бумаге позволяют многие построения проводить только с помощью линейки, причём на этой линейке может даже не быть делений. Но всегда нужно помнить свойства геометрических фигур, ведь именно они позволяют использовать клеточки в полной мере.

Читайте также:  Единица измерения длины окружности это

Давайте разделим отрезок пополам. Для этого начертим прямоугольник так, чтобы данный отрезок был его диагональю. Мы знаем, что диагонали прямоугольника при пересечении делятся пополам. Тогда проведём в нашем прямоугольнике вторую диагональ и таким образом разделим отрезок на два равных отрезка.

Много интересного можно получить из экспериментов с прямоугольным треугольником на клетчатой бумаге.

Изобразим произвольный прямоугольный треугольник. А затем повернём его на , например, против часовой стрелки.

Измерим угол между большими сторонами (гипотенузами) получившихся треугольников. Для этого воспользуемся транспортиром. Приложим его таким образом, чтобы точка пересечения сторон совместилась с серединой основания транспортира, а одна из сторон прошла через начало отсчёта на шкале транспортира. Теперь находим штрих на шкале, через который проходит другая сторона. Помним, что мы используем ту шкалу, на которой располагается .

Видим, что этому штриху соответствует , а значит, угол между большими сторонами треугольников прямой.

Таким образом, поворачивая треугольник на , мы тем самым поворачиваем все его элементы, в том числе и стороны, на тот же угол, значит, угол между большими сторонами также равен .

Используя результат этого опыта, выполним задание. Постройте перпендикуляр к отрезку, соединившему два любых узла клетчатой бумаги.

Решение. Проведём отрезок, который соединяет два произвольных узла бумаги в клетку. Затем достроим отрезок до прямоугольного треугольника так, чтобы данный отрезок являлся гипотенузой, то есть большей стороной, а затем повернём треугольник на вокруг произвольной точки.

Получается, что гипотенуза получившегося треугольника является перпендикуляром к заданному отрезку.

Иногда бывают случаи, когда надо нарисовать окружность, а циркуля нет, но есть бумага в клетку.

На одном из предыдущих занятий мы с вами познакомились с правилом (, , ), которое позволяет изобразить окружность на клетчатой бумаге от руки. Правда, речь шла об окружности, радиус которой равен 5 клеткам.

Сейчас мы выведем правило, с помощью которого от руки можно изобразить окружность, радиус которой равен 13 клеткам.

Для удобства с помощью циркуля начертим окружность с радиусом 13 клеток с центром в узле клеток.

Итак, возьмём узел клетчатой бумаги на данной окружности. Отступив на 1 клетку вправо и на 5 клеток вверх, поставим вторую точку. Отступая от второй точки вправо на 1 клетку и вверх на 2 клетки, ставим третью точку. Далее, отступив 4 клетки вправо и 4 клетки вверх, находим четвёртую точку. Отступив 2 клетки вправо и 1 клетку вверх, поставим 5 точку. Шестая точка находится на расстоянии 5 клеток вправо и 1 клетки вверх от пятой точки.

Если соединить эти шесть точек плавной линией, получим четверть окружности.

Читайте также:  Окружность головы по данным воз

Чтобы достроить окружность нам надо повторить эти действия ещё три раза, изменяя направление движения.

Правило, с помощью которого можно построить окружность с радиусом, равным 13и клеткам, можно записать следующим образом: , , , , .

Вернёмся к выполнению заданий. Найдите площадь прямоугольного треугольника (с катетами клетки и клетки), если все его вершины лежат в узлах клеток, а две стороны проходят по сторонам клеток. Площадь одной клетки примем за единицу.

Решение. Изобразим прямоугольный треугольник так, чтобы все его вершины лежали в узлах клеток, а две стороны проходили по сторонам клеток.

Затем достроим этот треугольник до прямоугольника так, чтобы вершины нашего треугольника совпали с вершинами прямоугольника, а стороны, которые являются катетами нашего треугольника, лежали на сторонах прямоугольника. Затем сосчитаем количество клеточек в прямоугольнике. Их 12. То есть площадь прямоугольника равна 12 (ед. кв.).

Заметим, что построенный прямоугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Тогда площадь нашего треугольника равна половине площади прямоугольника. А это (ед. кв.).

Следующее задание. Начертите два разных прямоугольных треугольника, площади которых равны 2 клеткам.

Решение. Давайте изобразим два прямоугольника, площади которых равны 4 клеткам.

Это прямоугольник со сторонами, равными 1 клетке и 4 клеткам. И квадрат со стороной, равной 2 клеткам.

Теперь в прямоугольнике проведём диагональ, которая разделит его на два равных прямоугольных треугольника. Площадь каждого из них будет равна (кл.).

Проведём диагональ в квадрате. Она разделит его на два равных прямоугольных треугольника. Площадь каждого из них будет равна (кл.).

Так, мы получили два различных прямоугольных треугольника, площадь каждого из которых равна двум клеткам.

Эта задача показывает, что для равенства фигур ещё недостаточно равенства их площадей.

Сейчас мы с вами познакомимся с формулой Пика, которая названа именем математика Георга Пика. В 16 лет он окончил школу и поступил в Венский университет. В возрасте 17 лет была опубликована его первая работа. Круг его математических интересов был очень широк. 67 его работ посвящены многим разделам математики.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника.

C помощью формулы Пика можно вычислить площадь произвольного многоугольника с вершинами в узлах клетки. Формула имеет вид:

Здесь – число узлов внутри многоугольника, – число узлов на границе многоугольника, включая вершины.

Найдём площадь изображённого многоугольника. Для этого сосчитаем число узлов внутри многоугольника. Оно равно 10. Теперь сосчитаем число узлов на границе, включая вершины. Оно равно 7.

Подставим полученные значения в формулу: (ед. кв.).

Получили, что площадь данного многоугольника равна (ед. кв.).

Выполним задание. Найдите площадь многоугольника, изображённого на рисунке.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем