Окружность касается сторон ав треугольника авс у которого угол с 90

Окружность касается сторон ав треугольника авс у которого угол с 90

В треугольнике АВС : АС = . Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС , середины сторон АВ и ВС и вершина В лежат на одной окружности.

Решение

Пусть О — центр окружности, описанной около треугольника АВС , С1 и А1 — середины сторон АВ и ВС соответственно, тогда ОС1 и ОА1 — серединные перпендикуляры к этим сторонам (см. рис.). Так как отрезок ОВ виден из точек С1 и А1 под углом 90 o , то эти точки лежат на окружности с диаметром ОВ .
Таким образом, мы доказали, что четыре из пяти указанных в условии задачи точек лежат на одной окружности, не используя условия АС = . Покажем теперь, что если это условие выполняется, то на рассматриваемой окружности лежит также и точка I — центр окружности, вписанной в треугольник АВС .
Это можно сделать различными способами.
Первый способ.

Пусть ВВ1 — биссектриса треугольника АВС , тогда = = (см. рис.). Учитывая, что АС = + = AC1+CA1 , получим, что AC1=AB1 и CA1=CB1 .
Поскольку AI — биссектриса угла А , то она совпадает с высотой и медианой равнобедренного треугольника AB1C1 , поэтому, треугольник IB1C1 также равнобедренный, то есть IC1=IB1 . Аналогично доказывается, что IA1=IB1 . Следовательно, IC1=IA1 .
Таким образом, в треугольниках BIC1 и BIA1 : BI — общая сторона, С1BI = A1BI , IC1=IA1 . Следовательно, BC1I= BA1I или BC1I+ BA1I=180 o
(Это следует, например, из решения задачи на построение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из этих сторон, или из теоремы синусов, примененной к рассматриваемым треугольникам: = = = , откуда sin BC1I= sin BA1I .).
Первый случай реализуется, если ВС1 = ВА1 , то есть треугольник АВС — равносторонний. Тогда центры его описанной и вписанной окружностей совпадают. Во втором случае четырехугольник BC1IA1 является вписанным, что и требовалось.
Второй способ.

Докажем сначала, что в данном треугольнике центр I вписанной окружности делит пополам отрезок BB2 , где точка B2 — вторая точка пересечения прямой BI c окружностью, описанной около треугольника АВС (см. рис.).
Используем равенство B2A=B2I=B2C , справедливое для любого треугольника ( ), из которого следует, что B2 — центр окружности радиуса R , описанной около треугольника AIC . По следствию из теоремы синусов для этого треугольника, учитывая, что угол AIC между биссектрисами треугольника АВС равен 90 o + , получим: B2I=R= = .
Кроме того, если окружность, вписанная в треугольник АВС , касается стороны АВ в точке C2 , то BC2= . Учитывая, что АС = , получим: BC2= . Тогда, из прямоугольного треугольника BC2I получим, что BI= .
Таким образом, доказано, что B2I=BI .

Теперь заметим, что при гомотетии с центром В и коэффициентом 2 образом рассмотренного ранее треугольника BC1A1 является данный треугольник ВСА (см. рис.). Это означает, что при указанной гомотетии центр окружности, вписанной в треугольник BC1A1 , переходит в центр окружности, вписанной в треугольник АВС . По доказанному выше, BI1=II1 (так как треугольник BC1A1 подобен треугольнику ВСА , то для него также выполняется соотношение A1C1= (BC1+BA1) ), то точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BC1A1 , что и требовалось.
Это утверждение, называемое «теоремой трилистника», можно доказать, например, так (см. рис. 10.6 в): B2A = B2C , так как эти хорды стягивают равные дуги окружности; B2A = B2I , так как AIB2= B2AI= ( A+ B) .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2009
Класс
Класс 10
задача
Номер 06.4.10.6

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС

Пусть Р – точка касания окружности со стороной ВС треугольника АВС, M и N – точки касания с продолжениями сторон АВ и АС.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

AМ=AB+BМ=AB+BР;
АN = АМ,

Задача ЕГЭ №16, Профильный уровень

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АВС, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Пусть L, K, M, N, P, Q – точки касания

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

б) Найдем , если, r

Поскольку и – квадраты, МС=4, QC=8,

Точка С делит сторону в отношении Тогда .

Проведем СН, причем СН – высота треугольника АВС.

Источник

Окружность касается сторон ав треугольника авс у которого угол с 90

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.

а) Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO — биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому ∠OAD = 45°. Следовательно, ∠BAC = 90°.

б) Обозначим BF = x. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE = AD = 2, CF = CD = 10 и BE = BF = x. По теореме Пифагора BC 2 = AC 2 + AB 2 , или (10 + x) 2 = 12 2 + (2 + x) 2 . Из этого уравнения находим, что x = 3. Тогда

Ответ :

Аналоги к заданию № 502296: 502316 511378 Все

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что и

а) Пусть O — центр вписанной окружности треугольника Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO — биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому Следовательно,

б) Обозначим По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, и По теореме Пифагора или Из этого уравнения находим, что Тогда

Следовательно,

Ответ :

Аналоги к заданию № 502296: 502316 511378 Все

Источник

Окружность касается сторон ав треугольника авс у которого угол с 90

Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.

а) Пусть окружность делит сторону AB на три равные части (рис. 1)

и делит сторону BC на три равные части

Тогда по свойству секущих

б) Пусть окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке M (рис. 2). Поскольку

Пусть AH — высота треугольника, тогда

Таким образом,

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Окружность касается сторон ав треугольника авс у которого угол с 90

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и ∠KMN = 45°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.

б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем длины катета AC.

б) Найдите радиус второй окружности.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 2R и CM = 3R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 2 .

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 4.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD= R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R= 5 и CD =15.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что BAC + AKC=90°.

а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если а

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.

а) Докажите, что треугольник BCK — равнобедренный.

б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность радиуса с центром на стороне AC треугольника ABC касается сторон AB и BC, равных соответственно 10 и 24.

а) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

б) Найдите высоту, опущенную из вершины прямого угла треугольника ABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.

б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK = 16.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точки A1, B1 и C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.

а) Докажите, что отличная от A1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1, лежит на окружности, описанной около треугольника B1AC1.

б) Известно, что AB = AC = 10 и BC = 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1 и B1AC1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота,

б) Найдите A1H, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.

а) Докажите, что ∠CAN = ∠CMN.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.

б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 20 и BC = 15.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.

а) Докажите, что AD = 4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон BC, AB и AC в точках K, L и M соответственно. Прямая KM вторично пересекает в точке P окружность радиуса AM с центром A.

а) Докажите, что прямая AP параллельна прямой BC.

б) Пусть Q — точка пересечения прямых KM и AB, а T — такая точка на отрезке PQ, что Найдите QT .

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Угол BAC треугольника ABC равен Сторона BC является хордой такой окружности с центром O и радиусом R, которая проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

а) Докажите, что около четырёхугольника ABOC можно описать окружность.

б) Известно, что в четырёхугольник ABOC можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если R = 6,

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка I — центр окружности S1, вписанной в треугольник ABC, точка O — центр окружности S2, описанной около треугольника BIC.

а) Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

б) Найдите косинус угла BAC, если радиус описанной окружности треугольника ABC относится к радиусу окружности S2 как 3:5.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH — высота этого треугольника.

а) Докажите, что углы ABH и CBO равны.

б) Найдите BH, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH — высота этого треугольника.

а) Докажите, что углы ABH и CBO равны.

б) Найдите BH, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дан треугольник ABC со сторонами и Точки M и N — середины сторон AB и AC соответственно.

а) Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC, касается одной из средних линий.

б) Найдите общую хорду окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая описана около треугольника AMN.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дан треугольник ABC со сторонами AC = 30, BC = 40 и AB = 50. Вписанная в него окружность с центром I касается стороны BC в точке L, M — середина BC, AP — биссектриса треугольника ABC, O — центр описанной около него окружности.

а) Докажите, что P — середина отрезка LM.

б) Пусть прямые OI и AC пересекаются в точке K, а продолжение биссектрисы AP пересекает описанную окружность в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника OKCQ.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O, величина угла AOC составляет 120°.

а) Докажите, что около четырехугольника BDOE можно описать окружность.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если а

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе AP треугольника и пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что угол MOC равен углу NOK.

б) Найдите периметр треугольника ABC, если отношение площадей трапеции AMNP и треугольника ABC равно 2:7, MN = 2, AM + PN = 6 .

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AC в точках M и N соответственно, E и F — середины сторон AB и AC соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D.

а) Докажите, что треугольник DFN равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника BED, если AB = 20 и ∠ABC = 60°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, касающаяся сторон AB и BC треугольника ABC, пересекает сторону AC в точках M и P, причем

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, если а центр окружности лежит на высоте к стороне BC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC биссектриса угла B пересекает описанную окружность этого треугольника в точке F. Точка E — центр окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон AB и BC (вневписанной окружности). Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

а) Докажите, что отрезки AF и OF равны.

б) Найдите длину отрезка CF, если OE = 14.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Вписанная в треугольник ABC окружность с центром O касается сторон AB и AC в точках M и N соответственно. Прямая BO пересекает окружность, описанную около треугольника CON вторично в точке P.

а) Докажите, что точка P лежит на прямой MN.

б) Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 24.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 2 : 5, а BN = 14.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C1 и B1 соответственно.

а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB1C1.

б) Найдите радиус данной окружности, если ∠A = 45°, B1C1 = 6 и площадь треугольника AB1C1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB1C1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 13, BC = 7 и

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольник ABC вписана окружность радиуса 4, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 8 и CM = 12.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1

б) Вычислите радиус данной окружности, если и площадь треугольника АВ1С1 в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.

а) Докажите, что AE параллельно BD.

б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A1, биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1, биссектриса угла C пересекает описанную окружность в точке C1.

б) Известно, что Найдите B1C1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 4, ВС = 3 вписана окружность с центром О, касающаяся сторон ВС, АС и АВ треугольника в точках R, Q, P соответственно.

а) Докажите, что AO · BO · CO = 10.

б) Найдите площадь треугольника PQR.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка О1 — центр вписанной окружности равнобедренного треугольника АВС, а точка О2 — центр вневписанной окружности, касающейся основания ВС.

а) Докажите, что расстояние от середины отрезка О1О2 до точки С вдвое меньше О1О2.

б) Известно, что радиус первой окружности в пять раз меньше радиуса второй. В каком отношении точка касания первой окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АН1 и СН2, затем провели луч НМ, который пересекает окружность, описанную около треугольника АВС, в точке К, где М — середина АС, а Н — точка пересечения высот.

а) Докажите, что НМ = МК.

б) Найдите площадь треугольника ВСК, если AC = 1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А.

а) Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС.

б) Пусть AM = 3, CM = 2, Q — точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т — такая точка на отрезке РQ, что Найдите QT.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.

б) Найдите площадь четырехугольника BOMN, если CN = 8, AM : MC = 1 : 3.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC AB = 3, Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что площадь четырёхугольника ABLM равна 2, LM = 1.

а) Докажите, что треугольник KNC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KNC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до стороны BC, если B1C1 = 12 и

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В окружности с центром O проведена хорда AB, на которой выбрана точка M. Вторая окружность, описанная около треугольника MAO, повторно пересекает первую окружность в точке K.

а) Докажите, что BM = MK.

б) Найдите площадь треугольника OMK, если OM = 11 и BK = 12.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дана окружность с центром в точке O и радиусом 5. Точка K делит диаметр AD в отношении 1 : 4 , считая от точки D. Через точку K проведена хорда BC перпендикулярно диаметру AD. На меньшей дуге AB окружности взята точка M.

а) Докажите, что BM · CM 2 .

б) Найдите площадь четырёхугольника ACBM, если дополнительно известно, что площадь треугольника BCM равна 24.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В каждый угол равнобедренного треугольника ABC, в котором вписана окружность единичного радиуса, точки О1, О2 и О3 центры этих окружностей. Найдите:

а) радиус окружности, вписанной в треугольник ABC;

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике АВС известно, что АВ = АС = 10, ВС = 12. На стороне АВ отметили точки М1 и М2 так, что AM1

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Окружность, описанная около треугольника ACD пересекает сторону AB в точке E.

а) Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника CDE, если AB = 8, BC = 7, AC = 6.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На окружности с центром O и диаметром MN, равным 34, взята точка K на расстоянии 15 от этого диаметра. Хорда KE пересекает радиус OM в точке F под углом, равным

а) Докажите, что KF : FE = 125 : 29.

б) Найдите площадь треугольника KEN.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точки D и E — середины сторон AC и BC треугольника ABC соответственно. На отрезке DE как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон AC и BC в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что биссектрисы углов MEN и NDM пересекаются на этой окружности.

б) Найдите MN, если известно, что AB = 14, BC = 10, AC = 6.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Отрезок AP — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.

б) Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC1, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH = 120°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану BM на три равные части.

а) Докажите, что BC : CA : AB = 5 : 10 : 13.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если BM = 12.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, проходящая через вершину B треугольника ABC, касается стороны AC в точке D, такой, что BD — биссектриса угла B, и пересекает стороны AB и BC в точках E и F соответственно.

б) Найдите отношение площадей треугольников AED и DFC, если известно, что AE : CF = 2 : 3.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.

а) Докажите, что треугольники MNH и ABC подобны.

б) Найдите BN, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.

а) Докажите, что треугольники MNH и ABC подобны.

б) Найдите BN, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что

a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.

б) Найдите CN, если BC = 3, AC = 5, CM = 2.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.

а) Докажите, что BM = CM.

б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На стороне KM остроугольного треугольника PKM (PKPM) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту PS в точке T, PS = 8, TS = 6, H — точка пересечения высот треугольника PKM.

б) Полуокружность пересекает стороны PK и PM в точках L и N соответственно. Найдите коэффициент подобия треугольников PKM и PNL, если радиус полуокружности равен 20.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике KLM биссектрисы внешних углов при вершинах K и M пересекаются в точке N. Через точки K, N и M проведена окружность с центром в точке O.

а) Докажите, что точки K, L, M и O лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KLM, если площадь треугольника KMO равна а угол KLM равен 120°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Высота BH треугольника ABC в раз больше радиуса описанной около треугольника ABC окружности с центром O.

а) Доказать, что прямая, проходящая через точки K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки H на стороны AB и BC соответственно, проходит через точку O.

б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если AB = 6,

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC угол C — тупой, угол B равен 45° и AH — высота. Прямая AH пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке D.

а) Докажите, что дуги BC и DA равны.

б) Найдите BC, если AC = 8 и площадь треугольника BDH равна 9.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность вписана в треугольник ABC, P — точка касания окружности со стороной AB, точка M — середина AB.

а) Докажите, что

б) Найдите углы треугольника, если MC = MA, AC > BC,

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной в него окружности. На стороне ВС отмечена такая точка M, что СM = АС

а) Докажите, что прямые АВ и ОM параллельны.

б) Найдите площадь четырёхугольника АВMО, если угол AСB прямой и АС = 4.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Прямая, проходящая через середину M стороны BC треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, причём

а) Докажите, что

б) Найдите медиану MN треугольника CKM, если BC = 20, CK = 8.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AB опущена высота CH. В треугольнике ACH проведена биссектриса CE угла ACH.

а) Докажите, что треугольник BCE — равнобедренный.

б) Найдите EO, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, и известно, что AC = 8, BC = 6.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки I и J — центры окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD соответственно.

а) Докажите, что прямые BI и DJ параллельны.

б) Найдите IJ, если AC = 12,

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Источник

Читайте также:  Замена трапеции дворников шевроле кобальт
Поделиться с друзьями
Объясняем