Около треугольника mnp описана окружность

Около треугольника mnp описана окружность

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC = 90°.

а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус описанной окружности треугольника ABC равен 12, а cos∠BAC = 0,6.

а) Пусть тогда как углы при основании равнобедренного треугольника OBC. Из условия следует, что Тогда Откуда, по свойству вписанных углов, следует, что точки О, В, К, С лежат на одной окружности.

б) По условию, тогда Рассмотрим в нем В обозначениях пункта а): тогда так как четырехугольник OBKC вписанный.

Источник

Решение №798 В треугольнике MNP известно, что МM1 и РР1 – медианы …

В треугольнике MNP известно, что МM1 и РР1 – медианы, МM1= 9√3, РР1 = 6, ∠MOP = 150º. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника МОР.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Т.е. в каждой медиане всего 2 + 1 = 3 части, а нужная нам сторона (MO,OP) занимает 2 части и составляет \frac <2>от всей медианы.

По теореме косинусов найдём MP:

MP 2 = MO 2 + OP 2 – 2·MO·OP·cos∠MOP
MP 2 = (6√3) 2 + 4 2 – 2·6√3·4·cos150º
MP 2 =108 + 16 – 48√3· (-\frac<\sqrt<3>><2>) = 124 + 72 = 196
MP = √196 = 14

Дальше задача становится похожа на эту задачу из досрочного варианта 2020 года.
По расширенной теореме синусов найдём радиус окружности:

а = МР = 14
α = 150º

Источник

Задание 16. Математика ЕГЭ. В треугольнике АВС известно, что ∠ВАС = 60°, ∠АВС = 45°. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P. Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.

Задание. В треугольнике АВС известно, что ∠ВАС = 60°, ∠АВС = 45°. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.

Читайте также:  Прямоугольная призма с основанием параллелограмма

Решение:

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

Так как ∠АВС = 45°, а СР – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠ВСР = 45°. Угол ∠ВСР – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга ВР = 90°.

Так как ∠АВС = 45°, а АМ – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠ВАМ = 45°. Угол ∠ВАМ – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга ВМ = 90°.

Дуга МР равна сумме дуг ВР и ВМ, т. е. дуга МР = 180°. Угол ∠МNP – вписанный в окружность угол, следовательно, ∠МNP = 90°. Тогда треугольник ∆MNP – прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MNP. MP – гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника ∆MNP, следовательно, МР – диаметр окружности, тогда МР = 2R.

Используя теорему синусов, имеем, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности, получим

Следовательно, МР = 2R = 4√3.

Рассмотрим треугольник ∆АВС. Угол ∠ВАС = 60°, СР – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠АСР = 30°. Угол ∠АСР – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга АР = 60°.

Аналогично, угол ∠ВАС = 60°, BN – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠АBN = 30°. Угол ∠АBN – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга АN = 60°.

Дуга PN равна сумме дуг АР и АN, т. е. дуга РN = 120°. Угол ∠NМP – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу РN, тогда угол ∠NМP = 60°.

В прямоугольном треугольнике ∆MNP угол ∠NМP = 60°, значит, угол ∠МPN = 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Тогда площадь треугольника ∆MNP равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, т. е.

Источник

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Серединный перпендикуляр к отрезку
Окружность описанная около треугольника
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Читайте также:  Окружность на восемь отрезков

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Фигура Рисунок Свойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Площадь треугольника
Радиус описанной окружности
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ . (1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Источник

Читайте также:  Какое свойство имеют все точки окружности
Поделиться с друзьями
Объясняем