Около треугольника abc описана окружность касательная к окружности

геометрия — Непростая задача по геометрии

Около треугольника $%ABC$% описана окружность. Касательная к окружности в точке $%B$% пересекает прямую $%AC$% в точке $%D$%, причём точка $%C$% лежит между точками $%A$% и $%D$%. Найдите площадь треугольника $%BCD$%, если $%\angle BDC=\arcsin\frac<21><29>$%, $%BD=29$%, а расстояние от центра окружности до прямой $%AC$% равно 10.

задан 10 Ноя ’21 3:00

cs_puma
2.6k ● 3 ● 23
97&#037 принятых

вроде решается. получилось $%S=\frac<21(61-5\sqrt<21>)><4>$%. если не ошибся.

если никто не напишет решение, то ближе к ночи изложу своё.

2 ответа

Похоже, что в условии задачи неудачно подобрали числовые данные, так как ответ выходит не очень красивый. Проверил прямым вычислением и измерением в Mathcad и Живой Геометрии.

Добавил ещё вариант с центром окружности вне треугольника. Ответ совпал с указанным @Rams

отвечен 10 Ноя ’21 16:58

Есть еще одно расположение, где центр описанной окружности находится вне треугольника. Там приблизительно 91,63

Не понимаю, зачем предлагают задачи, где в ответе возникает квадратный корень 768201.

Как говорилось в одном известном фильме: «Зачем нужна дорога, если она не ведёт к Храму?» (с) 🙂

@falcao Просто составители задачи схалтурили, не проверили свои «хорошие» ответы!

зачем предлагают задачи, где в ответе возникает квадратный корень 768201

Мы же не знаем где предлагают эти задачи и чем можно пользоваться!

@mihailm: я не могу вообразить себе обстоятельств, где использование таких чисел было бы оправдано. Разве если надо «настрогать» сто вариантов однотипных задач с разными цифрами.

Как-то на форуме был интеграл от рациональной функции, где знаменатели дробей были семизначными. И такое случается. Условие составлялось на компьютере, в качестве параметра подставляли номер зачётки 🙂

не могу вообразить себе обстоятельств, где использование таких чисел было бы оправдано

Особо доставший препода/учителя учащийся))

1 случай — центр окружности лежит внутри треугольника.

проведём высоту $%BE$%. $%H_1$% — пересечение окружности и высоты. $%H$% — ортоцентр.

из прямоугольного треугольника $%BED$% находим, что $%BE=21$%, $%DE=20$%.

по свойствам ортоцентра $%BH=2OG=20$% и $%HE=EH_1=1$% .

по свойству пересекающихся хорд $%CE\cdot EA=BE\cdot EH_1$% .

по свойству касательной и секущей имеем, что $%DC\cdot AC = DB^2$%.

пусть $%EC=a$%, $%EA=b$% . тогда получаем систему $$ \begin a\cdot b = 21\cdot 1 \\ (20-a)\cdot(20+b)=29^2 \end $$ с ответом из комментария окарался. но тут пересчитывать не буду.

2 случай — центр окружности лежит вне треугольника.

Читайте также:  Прямоугольный пластиковый контейнер для мусора с крышкой

система получается аналогичная после построения дополнительного треугольника. расписывать подробности не стану. система выглядит так $$ \begin a\cdot b = 21\cdot 41 \\ (20-a)\cdot(20+b)=29^2 \end $$

Источник

Около треугольника abc описана окружность касательная к окружности

Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O . Касательная к окружности в точке C пересекается с прямой, делящей пополам угол B треугольника, в точке K , причём угол BKC равен половине разности утроенного угла A и угла C треугольника. Сумма сторон AC и AB равна 2 + , а сумма расстояний от точки O до сторон AC и AB равна 2. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Докажите, что точки K и B лежат по одну сторону от прямой AC , а центр O — вне треугольника ABC .

Решение

Пусть указанная касательная пересекает продолжение биссектрисы угла B в точке K так, что точки K и B лежат по разные стороны от прямой AC . Если H — точка пересечения прямой BK с окружностью, то

(как угол между касательной и хордой). Тогда

Поскольку по условию задачи BKC = (3 A — C ), то

Отсюда находим, что C = 90 o . В этом случае точка O — середина AB и, если P — середина AC , то OP = 2, BC = 4, что невозможно, т.к. AB + AC = 2 + BC . Следовательно, точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC .

С помощью рассуждений, аналогичным приведённым выше, установим, что A = 30 o .

Предположим теперь, что центр O лежит внутри треугольника. Пусть Q — середина AB . Тогда

Поэтому BC = 2 PQ 2 , что невозможно, т.к. 2 + \sqrt<2 + \sqrt<3>>). \end —>

Центр O не может лежать и на стороне AC , т.к. в этом случае BC = 4, что невозможно. Следовательно, центр O лежит вне треугольника ABC .

Предположим, что точки O и B лежат по разные стороны от прямой AC . Опишем окружность около четырёхугольника AQPO ( AO = R — её диаметр) и обозначим OAP = . Тогда

По условию задачи

Отсюда следует, что

Возведём обе части полученных равенств в квадрат и сложим их почленно:

Аналогично для случая, когда точки O и C расположены по разные стороны от прямой AB .

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 796

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Около треугольника abc описана окружность касательная к окружности

2021-08-20
Теорема Паскаля для треугольника. Докажите, что касательные к описанной окружности треугольника, проведённые в его вершинах, пересекают прямые, содержащие противоположные стороны, в точках, лежащих на одной прямой.


Первый способ. Пусть касательные к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящие через точки $A$, $B$ и $C$, пересекаются с прямыми $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A_<1>$, $B_<1>$ и $C_<1>$ соответственно. Тогда

(см. задачу 3991). Перемножив эти равенства, получим, что

Читайте также:  Если прямая касательная окружности то она имеет только 2 общие точки с окружностью

Следовательно, по теореме Менелая (см. задачу 5231) точки $A_<1>$, $B_<1>$ и $C_<1>$ лежат на одной прямой.
Второй способ. Пусть касательная, проведённая в точке $A$ к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника $ABC$, пересекает прямую $BC$ в точке $A_<1>$. Аналогично определим точки $B_<1>$ и $C_<1>$. Обозначим $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=\beta$, $\angle ACB=\gamma$. Воспользуемся тригонометрической формой теоремы Менелая.
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. По теореме об угле между касательной и хордой

Следовательно, по теореме Менелая в тригонометрической форме (см. задачу 5355) точки $A_<1>$, $B_<1>$ и $C_<1>$ лежат на одной прямой.
Аналогично для любого другого случая.

Источник

Около треугольника abc описана окружность касательная к окружности

Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.

а) Докажите, что треугольник BCK — равнобедренный.

б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если

а) Угол KBC равен углу BAC как угол между касательной и хордой. Прямые AB и CK параллельны. Следовательно, ∠ABC = ∠BCK. Получаем, что треугольники ABC и BCK подобны. Следовательно,

Значит, треугольник BCK — равнобедренный.

б) Треугольники ABC и BCK подобны, коэффициент подобия равен Отношение площадей В треугольнике ABC имеем:

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Около треугольника abc описана окружность касательная к окружности

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому:

откуда p = AM, где Р — периметр, p — полупериметр треугольника.

б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

Ответ:

Примечание: указанная в решении формула легко может быть получена из следующих соображений где O1 — центр окружности с радиусом r1. При этом

Тогда

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен

Ответ:

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и ∠KMN = 45°.

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда

Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Ответ:

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.

б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.

а) Пусть Так как — центр вписанной окружности треугольника ABC, то — биссектрисы углов и значит, Угол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому (см. рис.).

Так как (по построению), то тогда Углы CBK и KAC опираются на один и тот же отрезок CK и равны друг другу: Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки лежат на одной окружности.

б) Обозначим через радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника Пусть H — проекция точки O на сторону AB (см. рис.), тогда Так как точки лежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника ABK совпадает с радиусом описанной окружности треугольника и равен Из треугольника ABK по теореме синусов: Тогда

Так как то

Источник

Читайте также:  Прямоугольный бассейн вид сверху
Поделиться с друзьями
Объясняем