Около трапеции можно описать окружность только если она

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Читайте также:  Как собрать душевую кабину cube прямоугольная 120 80 с низким поддоном

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Свойства окружности, описанной вокруг трапеции

Окружность, описанная около трапеции

Трапеция — это выпуклый четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны.

Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Поэтому окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции.

Как найти радиус описанной окружности

Самый распространенный способ найти радиус окружности, описанной около трапеции — через радиус окружности, описанной около треугольника, имеющего 3 любые общие вершины с данной трапецией.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Каждая диагональ делит трапецию на два треугольника. Описанная окружность проходит через все вершины трапеции, значит она проходит через все вершины каждого из этих треугольников и также является для них описанной окружностью.

Если известны угол и диагональ трапеции

где R — радиус описанной окружности,

а — сторона треугольника,

α — угол треугольника, противолежащий стороне а.

Например, если известна диагональ BD=а и острый угол трапеции ABCD ∠CDA=β, то можем найти радиус описанной окружности.

Рассмотрим треугольник BCD. Сторона BD известна. \(∠BCD=180°-∠CDA=180°-β\) .

Если известны диагональ, стороны трапеции и площадь одного из треугольников

где R — радиус описанной окружности,

а, b, c — стороны треугольника,

S — площадь треугольника.

Если известны длины сторон треугольника

где R — радиус описанной окружности,

а, b, c — стороны треугольника,

p — ½ периметра треугольника.

Как найти центр описанной окружности

Центр описанной окружности может лежать как внутри трапеции, так и вне ее. Определить его местонахождение помогает угол между диагональю трапеции и боковой стороной.

Читайте также:  Окружность головы ребенка вязание

Если угол прямой

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр описанной окружности будет лежать на середине большего основания. Тогда большее основание будет равно диаметру описанной окружности.

где R — радиус описанной окружности,

а — большее основание трапеции.

Если угол острый

Если диагональ трапеции и боковая сторона образуют острый угол, то центр описанной около трапеции окружности лежит внутри трапеции.

Если угол тупой

Если диагональ трапеции и боковая сторона образуют тупой угол, то центр описанной около трапеции окружности будет лежать вне трапеции за ее большим основанием.

Задачи с решениями

Дано: трапеция с описанной окружностью. Периметр трапеции равен 22 см, а ее средняя линия — 5 см.

Найти: боковую сторону трапеции.

Решение: Так как около трапеции описана окружность, эта трапеция — равнобедренная. Удвоенная средняя линия трапеции равна сумме ее оснований (10 см). Сумма двух боковых сторон равна 22-10=12 (см). Боковая сторона трапеции равна 6 см.

Ответ: 6 см.

Дано: основания трапеции ВС=11 см и AD=21 см. Диагональ трапеции ВD=20 см.

Найти: радиус описанной окружности.

Решение: найдем радиус окружности, описанной около \(ΔABD. R=\frac<2\sin\angle A>.\)

  1. Трапеция ABCD равнобедренная, AB=CD, так как описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.
  2. ВЕ — высота трапеции. Отрезок \(АЕ=(21-11):2=5 (см)\) по свойству равнобедренной трапеции. Отрезок ЕD=21-5=16 (см).
  3. Треугольник BED прямоугольный. ∠BED=90°. По теореме Пифагора \(BE=\sqrt<20^2-16^2>=12 (см).\)
  4. Треугольник АBE также прямоугольный. ∠BED=90°. По теореме Пифагора \(АВ=\sqrt<5^2+12^2>=13 (см).\)
  5. \(sin∠BAD=\frac<12><13>\) по определению синуса.
  6. \(R=\frac<2\sin\angle A>=10\frac56 (см).\)

Источник

Президентский ФМЛ №239

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Теорема

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Доказательство

Рассмотрим произвольный вписанный четырехугольник $ABCD$.

Углы $A$ и $C$ вписанные, поэтому $\angle A=\frac<1><2>\buildrel\,\,\frown\over, \angle C=\frac<1><2>\buildrel\,\,\frown\over$.

Но так как $\buildrel\,\,\frown\over+\buildrel\,\,\frown\over=360^\circ$, то $\angle A+\angle C=\dfrac<1><2>(\buildrel\,\,\frown\over+\buildrel\,\,\frown\over)=180^\circ$.

Пусть в произвольном четырёхугольнике $ABCD$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle A+\angle C=180^\circ.$

Докажем, что такой четырёхугольник можно вписать в окружность.

Заметим, что $ABCD$ – выпуклый, так как в противном случае один из его углов был бы больше $180^\circ$.

Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: $A, B$ и $D$.

Это возможно, так как около любого треугольника можно описать окружность.

Докажем, что эта окружность проходит через вершину $C$.

Предположим, что это не так.

Тогда вершина $C$ лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай.

В этом случае можно продолжить стороны $BC$ и $DC$ до пересечения с окружностью (получим соответственно точки $F$ и $E$).

Тогда $\angle C=\frac<1><2>(\buildrel\,\,\frown\over+\buildrel\,\,\frown\over)$, и, следовательно, $\angle C>\frac<1><2>\buildrel\,\,\frown\over$.

Так как $\angle A=\frac<1><2>\buildrel\,\,\frown\over$, то $\angle A+\angle C>\frac<1><2>(\buildrel\,\,\frown\over+\buildrel\,\,\frown\over)=\frac<1><2>\cdot360^\circ=180^\circ$.

Итак $\angle A+\angle C>180^\circ$.

Но это противоречит условию и, значит, предположение ошибочно.

Рассмотрим второй случай.

Пусть вершина $C$ лежит вне круга.

Тогда прямые $BC$ и $CD$ являются либо секущими, либо касательными к данной окружности.

Пусть они пересекают окружность в точках $F$ и $E$ соответственно.

Пусть точка $F$ лежит на дуге $\buildrel\,\,\frown\over$, а точка $E$ на дуге $\buildrel\,\,\frown\over$ (остальные случаи расположения точек $F$ и $E$ доказываются аналогично).

Источник

Вписанная в трапецию окружность

Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

O — точка пересечения

биссектрис трапеции ABCD.

3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

и точка O лежит на средней линии трапеции.

4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

5.

6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:

Источник

Читайте также:  Coreldraw стрелки на окружности
Поделиться с друзьями
Объясняем