Около остроугольного треугольника авс описана окружность точка

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Около остроугольного треугольника авс описана окружность точка

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC = 90°.

а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус описанной окружности треугольника ABC равен 12, а cos∠BAC = 0,6.

а) Пусть тогда как углы при основании равнобедренного треугольника OBC. Из условия следует, что Тогда Откуда, по свойству вписанных углов, следует, что точки О, В, К, С лежат на одной окружности.

б) По условию, тогда Рассмотрим в нем В обозначениях пункта а): тогда так как четырехугольник OBKC вписанный.

Источник

Около остроугольного треугольника авс описана окружность точка

Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.

а) Докажите, что

б) Найдите KN, если а радиус окружности равен 12.

a) Равные дуги стягивают равны хорды; вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Поэтому достаточно доказать, что Пусть угол КВС равен α. Сумма острых углов прямоугольного треугольника BНC равна 90°, поэтому Центральный угол ВОА в два раза больше вписанного угла ВСА, опирающегося на ту же дугу АВ, поэтому Наконец, треугольник BОА равнобедренный, поскольку AO = OB как радиусы окружности, поэтому каждый из равных углов при его основании АВ равен Итак, поэтому Требуемое доказано.

б) Заметим, что Тогда:

Далее, как угол, опирающийся на диаметр. Диаметр равен удвоенному радиусу: Тогда как катет, лежащий против угла в 30° в прямоугольном треугольнике BKN.

Ответ:

Примечание Евгения Обухова (Москва).

Пункт а) это известный факт о том, что при изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.

Примечание Дмитрия Гущина.

Ученик, занимающийся в математическом кружке или посещающий факультатив по математике, узнает в задаче стандартную конструкцию: радиус описанной окружности и высоту, проведенные из одной вершины треугольника. Эти отрезки переходят друг в друга при симметрии относительно биссектрисы треугольника, исходящей из той же вершины. Поскольку при такой симметрии стороны угла также переходят в друг друга, угол КВС переходит в угол ABN. Отсюда и следует равенство хорд AN и СК.

Прямые, проходящие через вершину угла и симметричные относительно биссектрисы этого угла, называются изогональными. Материалы для занятия со школьниками по данной теме можно взять, например, в статье Д. Прокопенко «Изогональное сопряжение и педальные треугольники».

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Источник Читайте также:  Как узнать окружность круга если известен радиус Поделиться с друзьями Политика конфиденциальности Правообладателям Контакты