Около окружности описана трапеция abcd боковая сторона ab перпендикулярна

Около окружности описана трапеция abcd боковая сторона ab перпендикулярна

Решение на рисунке. Очень хорошая задача. Побольше бы таких, а то тут все больше — «найти синус по катету и гипотенузе :)))», я такие и не читаю.

Ответ получается очень простой, и довольно странный — я пытаюсь представить себе, что будет, если точка D находится очень далеко от А (при фиксированном АВ, конечно). И не могу :(((

Суть решения такова.

Для начала считаем основания a и b заданными.

1. Находится связь между прощадью трапеции Sabcd и прощадью треугольника CMD, равной S. Тут можно сделать очень глупую ошибку. Точка М не лежит на диаметре окружности, перпендикулярном основаниям. Поэтому всё, что у нас есть — подобие треугольников МВС и МАD. Ясно, что их стороны пропорциональны основаниям.

Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними. Проще всего это увидеть, если построить треугольник BDE, как показано на чертеже. DE II AC. Площадь BDE равна площади трапеции (у них общая высота и одинаковые средние линии), а стороны у него — диагонали трапеции. Пользуясь этим, получаем

S = Sabcd *a*b/(a + b)^2;

2. Выражаем площадь трапеции через периметр и радиус вписанной окружности. При этом помним, что суммы противоположных сторон трапеции равны. Получаем

3. Последнее необходимое соотношение получаем из треугольника АВК, где ВК II CD; При этом ВК = a + b — 2*r; АВ = 2*r; AK = a — b;

Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем

Читайте также:  Прямоугольные септики для канализации

Собирая всё это, получаем

Я пытался найти чисто геометрическое обоснование этому ответу, но не нашел.

Источник

Около окружности описана трапеция ABCD, боковая сторона AB перпендикулярна основаниям, M- точка пересечения диагоналей трапеции.

Площадь треугольника CMD равна S.Найдите радиус окружности.

Решение на рисунке. Очень хорошая задача. Побольше бы таких, а то тут все больше — «найти синус по катету и гипотенузе :)))», я такие и не читаю.

Ответ получается очень простой, и довольно странный — я пытаюсь представить себе, что будет, если точка D находится очень далеко от А (при фиксированном АВ, конечно). И не могу :(((

Суть решения такова.

Для начала считаем основания a и b заданными.

1. Находится связь между прощадью трапеции Sabcd и прощадью треугольника CMD, равной S. Тут можно сделать очень глупую ошибку. Точка М не лежит на диаметре окружности, перпендикулярном основаниям. Поэтому всё, что у нас есть — подобие треугольников МВС и МАD. Ясно, что их стороны пропорциональны основаниям.

Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними. Проще всего это увидеть, если построить треугольник BDE, как показано на чертеже. DE II AC. Площадь BDE равна площади трапеции (у них общая высота и одинаковые средние линии), а стороны у него — диагонали трапеции. Пользуясь этим, получаем

S = Sabcd *a*b/(a + b)^2;

2. Выражаем площадь трапеции через периметр и радиус вписанной окружности. При этом помним, что суммы противоположных сторон трапеции равны. Получаем

3. Последнее необходимое соотношение получаем из треугольника АВК, где ВК II CD; При этом ВК = a + b — 2*r; АВ = 2*r; AK = a — b;

Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем

Собирая всё это, получаем

Я пытался найти чисто геометрическое обоснование этому ответу, но не нашел.

Источник

Задание 16. Математика ЕГЭ. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. Точка E принадлежит стороне AB, прямые CD и CE перпендикулярны.

Задание.

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. Точка E принадлежит стороне AB, прямые CD и CE перпендикулярны.

Читайте также:  Трапеция на дворники фиат альбеа

а) Докажите, что прямая BH параллельна прямой ED.

б) Найдите отношение BH к ED, если угол BCD = 150 0 .

Решение:

а) Докажите, что прямая BH параллельна прямой ED.

1 способ:

Рассмотрим четырехугольник ABCH. Так как угол ABC = 90 0 , угол AHC = 90 0 и сумма этих углов равна 180 0 , то около четырехугольника ABCH можно описать окружность.

Вписанный угол ABH опирается на дугу AH, вписанный угол ACH опирается на дугу AH. Следовательно, угол ABH равен углу ACH.

Рассмотрим четырехугольник AECD. Так как угол ECD = 90 0 , угол EAD = 90 0 и сумма этих углов равна 180 0 , то около четырехугольника AECD можно описать окружность.

Вписанный угол ACD опирается на дугу AD, вписанный угол AED опирается на дугу AD. Следовательно, угол ACD равен углу AED.

Рассмотрим ΔOBH и ΔOED:

По 1 признаку подобия треугольников, ΔOBH подобен ΔOED, получаем BH параллельна ED.

2 способ:

Рассмотрим треугольник ΔOBC и треугольник ΔOAD:

Следовательно, треугольник ΔOBC подобен треугольнику ΔOAD, тогда

OB : OA = OC : OD (1)

Рассмотрим треугольник ΔOEC и треугольник ΔOAH:

Следовательно, треугольник ΔOEC подобен треугольнику ΔOAH, тогда

OE : OA = OC : OH (2)

Разделим почленно первое равенство на второе:

Следовательно, треугольник ΔOBH подобен треугольнику ΔOED, тогда BH параллельна ED.

б) Найдите отношение BH к ED, если угол BCD = 150 0 .

Так как угол BCD = 150 0 , то

Треугольник ΔOCB – прямоугольный, тогда

Так как угол BCD = 150 0 и угол ECD = 90 0 , то

Источник

Около окружности описана трапеция abcd боковая сторона ab перпендикулярна

Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.

а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.

Читайте также:  Калькулятор для определения длины окружности

б) Найти отношение BH к ED, если

а) Продлим AB и DC до пересечения в точке O. Тогда треугольники OBC, OCE, OHA, OAD подобны по двум углам ( и прямому). Значит, Перемножая первые два и последние два отношения, находим откуда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, заключаем, что прямые BH и ED параллельны.

б) Заметим, что Далее имеем:

Приведем другое решение пункта б).

Угол ADO равен 45°, поэтому прямоугольный треугольник АОD равнобедренный. Значит, его высота АН является медианой: ОН = НD. Прямые ЕD и параллельны, тогда, по теореме Фалеса, ОВ = ВЕ. Значит, ВН — средняя линия треугольника ЕOD, а тогда ВН — половина ЕD.

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Около окружности описана трапеция abcd боковая сторона ab перпендикулярна

Задание 26. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой CD, если AD = 6, ВС = 5.

Продлим стороны AB и CD так, чтобы они пересеклись в точке T. Пусть . По условию задания BC=5, AD=6, следовательно,

QD = AD-BC = 6-5 = 1

Из прямоугольного треугольника QCD, имеем:

Тот же самый угол можно выразить и так:

А, учитывая, что , можно записать отношение:

Далее, так как TE – касательная к окружности (по условию задания), а TD – секущая, то по теореме о касательной и секущей, имеем:

Треугольники TPE и TAD подобны по двум углам: , угол T – общий. Значит, . Следовательно,

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем