Одно важное свойство окружности

Содержание
  1. Окружность
  2. Основные термины
  3. Касательная
  4. Свойства касательной
  5. Хорда
  6. Свойства хорд
  7. Свойства окружности
  8. Теорема о касательной и секущей
  9. Теорема о секущих
  10. Углы в окружности
  11. Свойства углов, связанных с окружностью
  12. Длины и площади
  13. Вписанные и описанные окружности
  14. Окружность и треугольник
  15. Окружность и четырехугольники
  16. Что такое круг: определение, свойства, формулы
  17. Определение круга
  18. Свойства круга
  19. Свойство 1
  20. Свойство 2
  21. Свойство 3
  22. Свойство 4
  23. Одно замечательное свойство окружности
  24. Математика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании
  25. Профессиональные компетенции педагога в рамках Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» №273-ФЗ от 29.12.2012
  26. Профессиональные компетенции педагога в рамках Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» №273-ФЗ от 29.12.2012
  27. «Обзор традиционных и современных методик для формирования навыков арифметических вычислений в уме у младших школьников»
  28. Описание презентации по отдельным слайдам:
  29. Дистанционные курсы для педагогов
  30. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  31. Другие материалы
  32. Вам будут интересны эти курсы:
  33. Оставьте свой комментарий
  34. Автор материала
  35. Дистанционные курсы для педагогов
  36. Подарочные сертификаты

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Источник

    Что такое круг: определение, свойства, формулы

    В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства одной из основных геометрических фигур – круга. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его радиус, диаметр, периметр и площадь (полную и сектора).

    Определение круга

    Круг – это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью (т.е. лежащих внутри окружности). На рисунке ниже всё, что закрашено бирюзовым цветом, является кругом.

    Сектор круга – область внутри круга, которая образована двумя радиусами и дугой между ними.

    Сегмент круга – область, образованная в результате деления круга хордой, которая в свою очередь является частью секущей (прямой), пересекающей круг.

    • AB – секущая;
    • CD – хорда (отрезок, соединяющий две любые точки окружности).

    Свойства круга

    Свойство 1

    Центр круга совпадает с центром ограничивающей его окружности. Чаще всего, обозначается буквой O.

    Свойство 2

    Радиус круга (R) является, в т.ч., радиусом граничной окружности. Это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой, лежащей на его границе, т.е. на окружности.

    Хорда, проходящая через центр круга называется его диаметром (d).

    Свойство 3

    Периметр круга равняется длине ограничивающей его окружности.

    Свойство 4

    Круг по сравнению с другими фигурами имеет наибольшую площадь при заданном периметре.

    Источник

    Одно замечательное свойство окружности

    Столичный центр образовательных технологий г. Москва

    Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

    от 3 170 руб. 1900 руб.

    Количество часов 300 ч. / 600 ч.

    Успеть записаться со скидкой

    Форма обучения дистанционная

    Курс профессиональной переподготовки

    Математика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

    Курс повышения квалификации

    Профессиональные компетенции педагога в рамках Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» №273-ФЗ от 29.12.2012

    • Сейчас обучается 24 человека из 14 регионов

    Курс повышения квалификации

    Профессиональные компетенции педагога в рамках Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» №273-ФЗ от 29.12.2012

    «Обзор традиционных и современных методик для формирования навыков арифметических вычислений в уме у младших школьников»

    Описание презентации по отдельным слайдам:

    Одно замечательное свойство окружности
    6 класс
    Наглядная геометрия

    Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же положительное расстояние.

    Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

    Более 3 000 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

    Акция до 31 августа

    • Опытные онлайн-репетиторы
    • Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ
    • По всем школьным предметам 1-11 класс

    «Начало учебного года современного учителя»

    Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

    Дистанционные курсы для педагогов

    311 лекций для учителей,
    воспитателей и психологов

    Получите свидетельство
    о просмотре прямо сейчас!

    Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

    5 906 604 материала в базе

    Другие материалы

    Вам будут интересны эти курсы:

    Оставьте свой комментарий

    Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

    Добавить в избранное

    • 21.05.2018 2356
    • PPTX 836.8 кбайт
    • 44 скачивания
    • Оцените материал:

    Настоящий материал опубликован пользователем Аглюлина Кристина Владиславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Автор материала

    • На сайте: 5 лет и 11 месяцев
    • Подписчики: 2
    • Всего просмотров: 13190
    • Всего материалов: 7

    Московский институт профессиональной
    переподготовки и повышения
    квалификации педагогов

    Дистанционные курсы
    для педагогов

    663 курса от 490 рублей

    Выбрать курс со скидкой

    Выдаём документы
    установленного образца!

    • Опытные онлайн-репетиторы
    • Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ
    • По всем школьным предметам 1-11 класс

    «Организация развивающей образовательной среды в условиях реализации ФГОС ДО»

    «Ораторское искусство. Как говорить так, чтобы Вас было интересно слушать?»

    Подарочные сертификаты

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

    Источник

    Читайте также:  Какие брови подойдут для прямоугольного лица
    Поделиться с друзьями
    Объясняем