Одна сторона остроугольного треугольника равна радиусу описанной окружности найдите угол

Одна сторона треугольника равна радиусу

Здравствуйте, дорогие друзья! Здесь для вас представлено ещё несколько заданий на вписанный угол, об его свойстве уже было рассказано , посмотрите. Задачи простые, в одно-два действия. Возможно применение теоремы косинусов (показано в задаче для самостоятельного решения). Если давно подобных заданий не решали, то рекомендую вам последовательно изучить все статьи из рубрики «Вписанный угол, касательная». Итак, рассмотрим задачи:

27885. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 118 0 и 38 0 . Ответ дайте в градусах.

Искомый угол мы можем найти из треугольника ADC. Для этого нам необходимо найти все возможные углы, которые с ним связаны.

Воспользуемся свойством вписанного угла.

Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла опирающегося на туже дугу.

Угол BDA опирается на дугу, которой соответствует центральный угол в 118 0 , значит он будет равен 59 0 .

Можем вычислить угол ADC:

Угол DAЕ опирается на дугу, которой соответствует центральный угол в 38 0 , значит он будет равен 19 0 .

Теперь в указанном треугольнике нам известны два угла, можем найти третий искомый угол используя теорему о сумме углов треугольника:

*Во время решения подобных задач на самом экзамене, нет необходимости все действия расписывать так подробно. Главное помнить свойство вписанного угла и не ошибиться при вычислениях. Постройте крупный эскиз и подписывайте найденные углы, так будет проще и быстрее.

27886. Угол ACB равен 42 0 . Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124 0 . Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Можем вычислить угол ADC, он является смежным углу ADB. Угол ADB это вписанный угол, опирающийся на дугу АВ. По свойству вписанного угла он равен половине угловой меры этой дуги, то есть 62 0 .

Значит угол ADC=180 0 − 62 0 =118 0

DAE=180 0 −42 0 −118 0 =20 0

27919. Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

*По эскизу видно, что радиусу равна сторона АВ, угол С противолежащий ей, его и требуется найти.

Построим центр окружности, обозначим его О. Построим на хорде АВ центральный угол:

Так как АВ равна радиусу описанной окружности, значит треугольник АОВ является равносторонним. Известно, что в равностороннем треугольнике все его углы равны 60 градусам.

Далее применяем свойство вписанного угла:

27920. Угол C треугольника АВС, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30 о . Найдите сторону АВ этого треугольника.

Это задача обратная предыдущей. Эскиз:

Понятно, что центральный угол АОВ по свойству вписанного угла будет равен 60 градусам и треугольник АОВ является равносторонним.

Значит АО = ОВ = АВ = 3.

27921. Сторона АВ треугольника АВС равна 1. Противолежащий ей угол С равен 150 0 . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Построим центр окружности и соединим его с точками А и В:

По свойству вписанного угла центральный угол О (не содержащий точки С) будет в два раза больше угла АВС, то есть:

Значит угол АОВ будет равен 360 0 – 300 0 = 60 0 .

Следовательно треугольник АОВ равносторонний и АО = ОВ = АВ = 1.

Таким образом радиус окружности равен единице.

27922. Сторона АВ тупоугольного треугольника АВС равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

Эта задача является интерпретацией задачи 27859 (суть одна, по-другому поставлено условие). Посмотрите указанную задачу.

27855. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 118 0 и 38 0 . Ответ дайте в градусах.

27918. Сторона АВ треугольника АВС равна 1. Противолежащий ей угол С равен 30 0 . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

*В подобных заданиях возможно применение теоремы косинусов.

245385. Найдите центральный угол AOB, если он на 15 0 больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Сейчас видео о великом учёном. Его имя у нас больше ассоциируется с физикой, но и математиком он был безусловно.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких

Захожу в школу — никого.
Захожу в Вконтакт — опа! Весь мой класс!

Источник

Одна сторона остроугольного треугольника равна радиусу описанной окружности найдите угол

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 104, основание равно 192. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Для нахождения площади треугольника ABC воспользуемся формулой Герона:

Далее по формуле

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30, основание равно 36. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Далее по формуле имеем:

Приведем решение Александры Саяпиной.

Пусть AB — основание равнобедренного треугольника. По теореме косинусов найдем косинус угла A:

следовательно, Тогда по теореме синусов откуда

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 13, основание равно 24. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, воспользуемся формулой Герона:

Далее по формуле находим:

Приведем еще одно решение.

Проведем высоту CH прямоугольного треугольника ACH и найдем ее:

Следовательно,

Применим теорему синусов к треугольнику ABC, получим откуда

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 50, основание равно 60. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, воспользуемся формулой Герона:

Далее по формуле находим:

Приведем еще одно решение.

Проведем высоту CH прямоугольного треугольника ACH и найдем ее:

Следовательно,

Применим теорему синусов к треугольнику ABC, получим откуда

Приведем решение Павла Юкляева.

Треугольник ABC является остроугольным, поскольку 48 2 2 + 40 2 . В равнобедренном остроугольном треугольнике центр описанной окружности О лежит на высоте, проведенной к основанию.

Проведем высоту CH, найдем ее из прямоугольного треугольника ACH:

Из прямоугольного треугольника AOH получим: а тогда