Общая часть окружностей или кругов

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Источник

    Две окружности на плоскости.
    Общие касательные к двум окружностям

    Взаимное расположение двух окружностей
    Общие касательные к двум окружностям
    Формулы для длин общих касательных и общей хорды
    Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

    Взаимное расположение двух окружностей

    Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

    Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

    r1 – r2 лежит внутри другой

    Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

    d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

    Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

    r1 – r2 лежит внутри другой

    Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

    d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

    Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

    d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

    Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

    Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

    Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
    две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

    Фигура Рисунок Свойства
    Две окружности на плоскости
    Каждая из окружностей лежит вне другой
    Внешнее касание двух окружностей
    Внутреннее касание двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точках
    Каждая из окружностей лежит вне другой
    Внешнее касание двух окружностей
    Внутреннее касание двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точках
    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

    Внешнее касание двух окружностей

    Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

    Внутреннее касание двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точках

    Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

    r1 – r2 лежит внутри другой

    Внутренняя касательная к двум окружностям
    Внутреннее касание двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точках
    Внешнее касание двух окружностей

    Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

    Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

    Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

    Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

    Внешняя касательная к двум окружностям
    Внутренняя касательная к двум окружностям
    Внутреннее касание двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точках
    Внешнее касание двух окружностей
    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

    Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

    Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

    Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

    Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

    Внешняя касательная к двум окружностям
    Внутренняя касательная к двум окружностям
    Внутреннее касание двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точках
    Внешнее касание двух окружностей
    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

    Фигура Рисунок Формула
    Внешняя касательная к двум окружностям
    Внутренняя касательная к двум окружностям
    Общая хорда двух пересекающихся окружностей

    Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

    Внешняя касательная к двум окружностям
    Внутренняя касательная к двум окружностям
    Общая хорда двух пересекающихся окружностей

    Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Внешняя касательная к двум окружностям
    Внутренняя касательная к двум окружностям
    Общая хорда двух пересекающихся окружностей

    Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

    Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

    Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

    Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

    Источник

    Читайте также:  Как узнать окружность круга если известен радиус
    Поделиться с друзьями
    Объясняем