Образ окружности это прямая

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Глава 3. Конформные отображения

Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного

Пусть дана аналитическая в области $D$ функция $f(z)$. Возьмем точку $z_0\in D$, пусть производная функции в этой точке не равна нулю $$f'(z_0)\ne0.$$

Функция $w=f(z)$ отображает область $D$ на плоскости z на множество $E$ в плоскости $w$.

Точке $z_0\in D$ соответствует точка $w_0=f(z_0)\in E$.

Аргумент $\arg f'(z_0)$ есть угол поворота касательной к любой кривой, проведенной через точку $z_0$ при ее отображении с помощью функции $w=f(z)$ на плоскость $w$.

Модуль $|f'(z_0)|$ можно рассматривать как величину масштаба в точке $z_0$ при отображении $w$. Если $|f'(z_0 )|>1$, то происходит растяжение бесконечно малого элемента, выходящего из точки $z_0$. Если $|f'(z_0 )| 0\rightarrow |w| 0) \rightarrow w_0=0. $$

Функция $w=z^n$ отображает расширенную комплексную плоскость $z$ на расширенную комплексную плоскость $w$.

Не является конформным при $z=0$, так как $$w’=n\,z^ =0 \,\, \mbox <при >z=0.$$

Не является однолистной, так как всякая точка $w$, отличная от $w=0$ и $w=\infty$, имеет $n$ различных прообразов. Для однолистности отображения следует брать на плоскости $z$ лишь сектор вида $$k\cdot\displaystyle\frac<2\pi>\leqslant \mbox\,z\leqslant(k+1)\cdot\displaystyle\frac<2\pi>,\,\, k\in \mathbb Z_<>.$$

Исследуем поведение функции около точки $z=0$. При помощи степенной функции $$ w=z^n $$ угол с вершиной в начале координат плоскости $z$ отображается в угол с вершиной в начале координат плоскости $w$ c раствором в $n$ раз большим: $$ z=\rho e^<\mathbf i \varphi>\,\, \rightarrow \,\, w = z^n=\rho^n e^<\mathbf i n\varphi>. $$ Отображение будет взаимно однозначным, если раствор угла на плоскости $w$ будет не более $2\pi$.

Найти в какую область преобразуется квадрат $$ 0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 1 $$ функцией $w=z^2+z-1$.

Решение. Выделим вещественную и мнимую части: $$ \begin u=x^2-y^2+x-1, v=2xy+y. \end $$

Определим образы участков границ данного квадрата: \begin OA:\quad\left\<\begin y=0, 0\le x\le1 \end\right.\quad\hbox<дает>\quad \left\<\begin u=x^2+x-1, v=0. \end\right. \end это отрезок вещественной оси $-1\le u\le 1$. \begin AB:\quad\left\<\begin x=1, 0\le y\le1 \end\right.\quad\hbox<дает>\quad \left\<\begin u=1-\dfrac9, 0\le v\le3 \end\right.\hskip17.5pt \end это часть параболы в первом квадранте.

Образы отрезков $BC$ и $CO$ также являются дугами парабол: \begin\label BC:\quad u=\frac14\big(v^2-9\big),\quad 1\le v\le 3, \end \begin\label CO:\quad u=-1-v^2,\quad 0\le v\le1. \end Так как точка $z=\displaystyle\frac12(1+i)$ переходит в точку $w=i-\displaystyle\frac12$, то внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Ответ: Внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Радикал

Рассмотрим функцию \begin w=\sqrt[n], \end обратную степенной функции $z=w^n$.

Примем, что $$w=\infty \mbox < при >z=\infty.$$

Во всех точках расширенной плоскости $z$, кроме точек $z=0$ и $z=\infty$ (где эта функция соответственно равна $w=0$ и $w=\infty)$, эта функция $n$-значна и все ее $n$ различных значений для каждого фиксированного $z=re^$ (не равные 0 и $\infty$) дает формула: $$ w=\sqrt[n]\cdot e^ <\scriptstyle n>> =\sqrt[n]\cdot e^ <\scriptstyle n>>\cdot e^<\scriptstyle n>>\quad\hbox <при>\quad k=0,1,\dots,n-1. $$

Через $w_k$ обозначим множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$. В результате получим $n$ функций $w_k$, $k=0,2,\dots,n-1$, называемых ветвями многозначной функции $w=\sqrt[n]$. $$ w_k= \sqrt[n]\cdot e^ <\scriptstyle n>>\cdot e^<\scriptstyle n>>\quad\hbox <при>\quad k=0,1,\dots,n-1. $$

Рассмотрим какую-нибудь ветвь $w_k$ функции и заставим точку $z$ описать в плоскости какую-нибудь замкнутую кривую.

Если эта кривая не содержит внутри себя точку $z=0$ (сплошная кривая на рисунке), то непрерывно изменяющийся аргумент точки $z$ вернется к прежнему значению с возвращением точки $z$ в исходное положение. В силу этого и ветвь $w_k$ радикала останется прежней (т.е. мы вернемся к прежнему значению корня в исходной точке).

Картина изменится, если кривая $l$ будет содержать внутри себя точку $z=0$ (пунктирная кривая на рисунке). В этом случае после полного обхода кривой $l$ аргумент точки $z$ в исходном положении увеличится на $\pm 2\pi k$ (в зависимости от того, совершается ли обход кривой против или по часовой стрелки), в силу чего мы от значения $w_k$ корня в исходной точке перейдем либо к значению $$ w_k\cdot e^<\scriptstyle n>>=w_,$$ либо к значению $$ w_k\cdot e^<-i\tfrac<\scriptstyle2\pi><\scriptstyle n>>=w_. $$

Читайте также:  Теория по прямоугольным треугольникам 7 класс

Повторяя обход вокруг начала координат в том или ином направлении достаточное количество раз, мы можем перейти от исходной ветви $w_k$ радикала к любой другой ветви. Очевидно, что после $n$ обходов начала координат в одном направлении мы возвращаемся к исходной ветви радикала.

Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее переводит от одной ветви многозначной функции к другой ветви, называется точкой разветвления этой функции. Таким образом, точка $z=0$ будет точкой разветвления функции $w=\sqrt[n]$.

Из сказанного следует, что мы можем выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$ функции $w=\sqrt[n]$ только в такой области $D$, которая не содержит ни одной замкнутой кривой, заключающей внутри себя точку $z=0$.

Расширенная плоскость $z$ с любым разрезом от точки $z=0$ до точки $z=\infty$ и, в частности, с разрезом вдоль положительной части вещественной оси (левая часть рисунка) не содержит ни одной замкнутой кривой, обходящей точку $z=0$. На ней можно выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$, $k=0,1,\dots,n-1$, радикала, принимающих каждая одно из значений $\sqrt[n]$.

Эти ветви будут однолистно отображать расширенную плоскость $z$ с разрезом вдоль положительной части вещественной оси на секторы $$ k\frac<2\pi>n 0$.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция обратна показательной, бесконечнозначна, все ее значения вычисляются по формуле $$ w=\mboxz=\mbox|z|+i\mboxz=\mbox|z|+i(\mboxz+2\pi k),\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots\ . $$ Дополнительно примем, что $w=\infty$ при $z=0$ и $z=\infty$.

Обозначив через $w_k$ множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$, получим бесконечное множество функций, которые называются ветвями многозначной функции $w=\mboxz$ $$ w_k= \mbox|z|+i\mboxz=\mbox|z|+i(\mboxz+2\pi k),\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots\ . $$

Бесконечнозначность логарифма связана с бесконечнозначностью его мнимой части $\mboxz$. Поэтому область не должна допускать обхода начала координат по непрерывной кривой, так как при таком обходе значение $\mboxz$ изменяется на $2\pi$. Область указанного типа будет сектором концентрического кольца: $$ 0 0,\ 0 1$.

Для того чтобы лучше представить себе рассматриваемое отображение, положим $$ z=re^,\quad w=u+iv $$ и произведя соответствующие замены в функции Жуковског и отделив вещественные и мнимые части, получим два вещественных равенства, зависящие от двух параметров $$ u=\frac12\left(r+\frac1r\right)\cos\varphi,\quad v=\frac12\left(r-\frac1r\right)\sin\varphi. $$

Рассмотрим две упомянутые выше области $|z| 1$.

В области $|z| 0$ функция Жуковского отобразит на нижнюю полуплоскость $\mathfrak w 0$.

Рассмотрим теперь в области $|z|>1$ окружности $|z|=r$, где $1 1$ на всю плоскость $w$ с разрезом вдоль вещественной оси от точки $w=-1$ до точки $w=1$. При этом верхний полукруг отображается на верхнюю полуплоскость, а нижний полукруг — на нижнюю полуплоскость.

Обратная к функции Жуковского функция $$ w=z+\sqrt $$ двузначна, что обусловлено двузначностью квадратного корня. Каждую точку $z$ она отображает в две точки $w_1$ и $w_2$, связанные условием $w_1w_2=1$. Легко показать, что точки $z=-1$ и $z=1$ будут точками разветвления этой функции. Таким образом, в любой области, не содержащей замкнутых кривых, обходящих лишь одну из этих точек, можно выделить две однозначные ветви обратной функции. Этому условию, в частности, удовлетворяет вся плоскость $z$ с разрезом вдоль отрезка $[-1,1]$ вещественной оси. Ветви обратной функции однолистно отображают плоскость $z$ с указанным разрезом либо на круг $|w| 1$ и аналитичны.

Тригонометрические функции

Теорема Римана. Основные принципы конформных отображений

Теорема 1 (Римана).

Всякую односвязную область $D$ комплексной плоскости $z$, граница которой состоит более чем из одной точки, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга $|w| tfkp/chapter3.txt · Последние изменения: 2022/01/13 22:15 — nvr

Источник

Конформные отображения. Элементарные функции комплексного переменного 1 страница

Лекция №4.

Геометрически функция комплексного переменного w=f(z) задает отображение некоторого множества z – плоскости на некоторое множество w -плоскости. Точка wÎG называется образом точки z при отображении w=f(z), точка zÎDпрообразом точки w.

Если каждому z соответствует лишь одно значение w=f(z), то функция называется однозначной(w=|z|, w= , w=Rez и т.д.) Если некоторым z соответствует более чем одно значение w, функция называется многозначной(w=Argz).

Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то функция w=f(z) называется однолистнойв области D.

Читайте также:  Как составить уравнение окружности по трем точкам

Другими словами, однолистная функция w=f(z) взаимно однозначно отображает область D на G. При однолистном отображении w=f(z) прообраз любой точки wÎG состоит из единственного элемента: : . Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной w, определенную на G. Она обозначается и называется обратной функцией.

Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f(z) называют многолистной в области D.

Если отображение w=f(z) является многолистным на D (например, w=z n ), то в этом случае некоторым значениям wÎG соответствует более, чем одна точка zÎD: f(z)=w. Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.

Однозначная на области D функция w=f(z) называется ветвью многозначной функции F, если значение f в любой точке zÎD совпадает с одним из значений F в этой точке.

Для того, чтобы выделить однозначные ветви многозначной функции, поступают следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w=f(z) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка zÎD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w=f(z). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .

Понятие о конформном отображении

Пример .Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z=2i при отображении .

■ Находим производную и ее значение в данной точке .

Коэффициент растяжения k равен модулю производной: .

Угол поворота j равен аргументу производной. Точка лежит в четвертой четверти, следовательно, . ■

Пример 3.5.Определить, какая часть плоскости при отображении w=z 2 растягивается, а какая – сжимается.

■ Находим производную w¢=2z. Коэффициент растяжения в любой точке z равен k=|w¢(z)|=2|z|. Множество точек комплексной плоскости, для которых k>1, то есть 2|z|>1 или , образует часть плоскости, которая при отображении растягивается. Следовательно, при отображении w=z 2 внешность круга растягивается, а внутренняя часть — сжимается. ■

Отображение w=f(z) называется конформным (т.е. сохраняет форму) в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжения окрестности точки.

Всякое отображение, устанавливаемое посредством аналитической функции f(z) является конформным во всех точках, где .

Отображение называется конформным в области, если оно конформно в каждой точке этой области.

Конформное отображение, при котором направление отсчета углов сохраняется, называется конформным отображением Ι рода. Конформное отображение, при котором направление отсчета углов меняется на противоположное, называется конформным отображением ΙΙ рода (например, ).

В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи.

Первая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении – прямая задача.

Вторая заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую заданную линию или область – обратная задача.

При решении прямой задачи учитывается, что образом точки z при отображении w=f(z) является точка w, такая, что w =f(z), то есть результат подстановки z в f(z). Поэтому для нахождения образа множества нужно решить систему, состоящую из двух соотношений. Одно из них задает отображающую функцию w=f(z), другое – уравнение линии, если решается задача нахождения образа линии, или неравенство, определяющее множество точек прообраза, если решается задача отображения областей. В обоих случаях процедура решения сводится к исключению переменной z из двух заданных соотношений.

Правило 3.3. Для нахождения образа линии, заданной уравнением F(x,y)=0 (или в явном виде y=j(x)), при отображении w=f(z) необходимо:

2. Из системы исключить х и у. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.4. Для нахождения образа данной линии при отображении w=f(z) необходимо:

1. Записать уравнение линии в параметрической форме z=z(t) или в комплексной форме .

2. В зависимости от вида уравнения линии рассмотреть соответствующий случай:

— если линия задана в параметрической форме, подставить выражение z(t) в w=f(z);

— если линия задана в комплексной форме, то выразить z из w=f(z), то есть , и . Затем следует подставить z и в уравнении линии. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.5. Для нахождения образа данной области следует воспользоваться одним из двух способов.

1. Записать уравнение границы данной области. Найти образ границы заданной области по правилам 3.3 или 3.4.

2. Выбрать произвольную внутреннюю точку заданной области и найти ее образ при данном отображении. Область, которой принадлежит полученная точка, является искомым образом заданной области.

Читайте также:  Точка пересечения медиан параллелограмма

2. Подставить полученное в п.1. выражение в неравенство, определяющее заданную область. Полученное соотношение — искомый образ.

Пример.Найти образ окружности |z|=1 при отображении с помощью функции w=z 2 .

1 способ (по правилу 3.3).

1. Пусть z=x+iy, w=u+iv. Тогда u+iv =x 2 —y 2 +i2xy. Получаем:

2. Исключим х и у из этих уравнений. Для этого возведем первое и второе уравнения в квадрат и сложим:

Учитывая третье уравнение системы, получаем: u 2 +v 2 =1 или |w| 2 =1, то есть |w|=1. Итак, образом окружности |z|=1 является окружность |w|=1, проходимая дважды. Это следует из того, что поскольку w=z 2 , то Argw=2Argz+2pk. Поэтому когда точка z описывает полную окружность |z|=1, то ее образ описывает окружность |w|=1 дважды.

2 способ (по правилу 3.4).

1. Запишем уравнение единичной окружности в параметрическом виде: z=e it (0£t£2p).

2. Подставим z=e it в соотношение w=z 2 : w=e i 2 t =cos2t+isin2t. Следовательно, |w| 2 =cos 2 2t+sin 2 2t=1, то есть |w|=1 – уравнение образа. ■

Пример . Найти уравнение образа прямой у=х при отображении w=z 3 .

■ Так как кривая задана в явном виде, то применим правило 3.3.

Значит,

2. В полученную систему подставим у=х: Исключая х из этих уравнений, получим v=-u.

Итак, образом биссектрисы I и III координатных углов системы хОу является биссектриса II и IV координатных углов системы uOv. ■

1. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида

где а, b— комплексные постоянные.

Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga, а растяжение во всех точках равно . Если a=1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b. Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .

В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:

w=w2+b=re i j z+b — параллельный перенос на вектор .

Следовательно, отображение w=az+b изменяет линейные размеры любой фигуры плоскости в |a| раз, поворачивает эту фигуру на угол j=arga вокруг начала координат и смещает ее в направлении вектора на его величину.

Линейное отображение обладает круговым свойством, то есть переводит окружности z-плоскости в окружности w -плоскости (и обратно); прямые переводит в прямые.

Пример.Найти образ оси Оу при отображении w=2iz-3i.

1 способ (по правилу 3.4). Уравнение оси выберем в параметрической форме.

1. Так как в действительной форме уравнение оси Oy: x=0, -¥ 2 . (4.4)

Точкой, симметричной точке z – центру окружности, очевидно, является бесконечно удаленная точка.

Принцип соответствия обхода границ (отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями)

Если при дробно-линейном отображении прямая или окружность g переходит в прямую или окружность ,то область D, которую ограничивает g, преобразуется в одну из двух областей, которые ограничивает . При этом имеет место принцип соответствия обхода границ: если при каком-то обходе линии g область D оказывается слева (справа), то при соответствующем обходе линии область тоже должна оказаться слева (справа).

или .

Преобразуем: —w-wi+2i-2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+i Û — искомая функция. ■

Пример.Найти образ области D: при отображении .

■ Область D есть пересечение полуплоскости и внешности круга — полуплоскость Rez x , т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного. Поэтому наряду с обозначением expz используют также обозначение e z .

(теорема сложения) .

.

.

.

expzпериодическая функция с основным периодом 2pi, т.е.

Если так, что , то .

Если так, что , то .

Поэтому не существует.

expz — многолистная функция. Областями однолистности показательной функции являются полосы шириной не больше 2p, параллельные действительной оси:

.

Если, например, , то .

Показательная функция является аналитической на , (expz)¢=expz.

Пример.Найти действительную, мнимую часть, модуль и главное значение аргумента для числа e 2- i .

■ Используем определение показательной функции комплексного переменного. Пусть z=2-i, x=Rez=2, y=Imz=-1.

Тогда . Следовательно,

, .

Можно также вместо определения использовать теорему сложения и формулу Эйлера (1.7). ■

Дата добавления: 2014-11-06 ; Просмотров: 52372 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем