Какова сумма углов прямоугольного треугольника

Чему равна сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 о

Доказательство

Докажем, что в \(\triangle KLM\) \(\angle K+\angle L+\angle M=180^\circ\)

Через вершину L проведем прямую а, параллельную KM.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Углы, обозначенные цифрой 1 — накрест лежащие при \(а\parallel KМ\) и секущей KL. То есть они равные, как и углы, обозначенные цифрой 2 — накрест лежащие при а\parallel KМ и секущей МL.

Тогда \(\angle1+\angle2+\angle3=180^\circ\) т.к. составляют развернутый угол при вершине L.

Следствия

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\) (т.к. в прямоугольном треугольнике один из углов прямой, сумма двух других равна \(180^\circ-90^\circ=90^\circ\) ).
2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен величине \(45^\circ\) .
3. В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\) .
4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или 90 градусов.
5. Внешний угол треугольника равен сумме двух его углов, не смежных с ним.

Теорема о сумме углов для прямоугольного треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух его углов, не смежных с ним.

\(\angle KML+\angle BML=180^\circ\) (смежные)

Источник

Сумма углов прямоугольного треугольника

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 233.

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 233.

Сумма углов любого треугольника – величина устойчивая. Но прямоугольный треугольник выделяется среди прочих набором специфических свойств. Сумма углов не является исключением, поэтому стоит поговорить об этом свойстве прямоугольных треугольников, чтобы не возникало вопросов в дальнейшем изучении.

Треугольник

Несмотря на свою обособленность от прочих фигур, треугольник является таким же многоугольником, как и прямоугольник, квадрат или ромб. Все отличие только в количестве углов. Существует формула, по которой определяется сумма углов любого многоугольника в зависимости от количества сторон, поговорим о ней немного позже.

Итак, треугольник это фигура, имеющая три стороны и три угла. Традиционно, одна из сторон считается основанием, а две другие стороны зовутся боковыми. Обозначение не является принципиальным, поэтому любая из сторон треугольника принимается за условное основание. Такое обозначение нужно только для облегчения понимания чертежа.

Треугольник в математике считается минимально возможно фигурой. Любая из возможных фигур может быть разбита на треугольники. Это свойство иногда используется при решении задач.

Сумма углов треугольника

Есть два варианта нахождения общей суммы углов треугольника:

• Математический анализ. За столь страшными словами кроется обычная простая формула:

180*(n-2)- где n – количество сторон многоугольника.

• Второй способ – геометрический. Именно таким образом было в первый раз выведено утверждение о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим его подробнее.

Рис. 2. Рисунок к задаче

Пусть треугольник АВС – произвольный треугольник с основанием АС. Тогда построим прямую ВD, проходящую через точку В, параллельно основанию. Тогда получается две параллельные прямые: АС и ВD с двумя секущими АВ и ВС.

Рассмотрим углы при секущих прямых. Сумма трех углов при вершине В будет равна 180 градусам, так как они представляют собой развернутый угол. Тогда внутренние углы треугольника будут равные накрест лежащим наружным углам. То есть сумма углов треугольника равняется градусной мере развернутого угла и равняется 180 градусам.

Важно понимать, что наружные углы нельзя называть внешними углами треугольника, так как внешние углы получаются с помощью продолжения одной из сторон треугольника, а прямая ВD продолжением стороны треугольника не является.

Общая формула суммы углов многоугольника получается с помощью разбиения фигуры на треугольники и подсчета сумм углов получившихся малых фигур.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник содержит угол в 90 градусов. Такой угол зовут прямым, отсюда и название фигуры. Чему равна сумма углов прямоугольного треугольника? Так же,как и в любом другом треугольнике – 180 градусам. Но если один из углов определен и равен 90 градусам, то можно определить сумму двух оставшихся:

180-90=90 – то есть сумма непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Но непрямые углы это нематематическое определение. Может ли в прямоугольном треугольнике еще один угол быть прямым? Если бы такой угол мог существовать, то он был бы равен 90 градусам. То есть оставшийся третий угол:

90-90=0 – и третий угол в этом случае был бы нулевым, что невозможно. Так же, как и невозможно существование тупого угла в прямоугольном треугольнике. Потому что тупой угол всегда больше 90 градусов.

Значит, можно сделать вывод о том, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам.

Рис. 3. Острые углы прямоугольного треугольника

Что мы узнали?

Мы поговорили о формуле суммы углов прямоугольного треугольника. Вывели ее геометрическим способом и определили аналитический способ вывода, который вытекает из геометрического. Рассказали, почему невозможно существование тупоугольного прямоугольного треугольника.

Источник

Сумма углов треугольника — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: АВС (рис. 220).

Доказать: A+B +C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда KBA =A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aMBC =C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

KBA +ABC +MBC = 180°. ОтсюдаA +B +C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, то1 =2.

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Решение:

Пусть ( — градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Тогда

Ответ:

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Из треугольника АОС находим:

Замечание. Если то, рассуждая аналогично, получим формулу: Если, например,

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, (рис. 226).

Докажем, чтоACB = 90°. Обозначим A = ,В = . Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как АМС — равнобедренный, тоA =ACM = как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, СМВ — равнобедренный и B =BCM = . Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 + 2, с другой — равна 180°. Отсюда 2 + 2 = 180°, 2( + ) = 180°, + = 90°. НоACB = + , поэтому

ACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) C=90°,A=,B=.

Проведем отрезок СМ так, чтоACM=, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aBCM дополняетACM до 90°. Поскольку ACM =A = , тоBCM =. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = АВ.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия Аналитическая геометрия Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Внешний угол треугольника
• Свойство точек биссектрисы угла
• Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
• Четырехугольник и его элементы
• Перпендикулярные прямые в геометрии
• Признаки равенства треугольников
• Признаки равенства прямоугольных треугольников
• Соотношения в прямоугольном треугольнике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник