Какие значения имеет эксцентриситет окружности

Эксцентриситет (математика)

Эксцентрисите́т (обозначается “ e ” или “ε”) — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности.

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку F и прямую d и зададим вещественное число e > 0 . Тогда геометрическое место точек, для которых расстояние до точки F и до прямой d отличается в e раз, является коническим сечением. Точка F называется фокусом конического сечения, прямая d — директрисой, число e — эксцентриситетом.

В зависимости от эксцентриситета, получится:

Другие определения

Для окружности полагают e = 0 , так как для эллипса эксцентриситет ещё можно определить через отношение большой ( a ) и малой ( b ) полуосей: e 2 = 1 − b 2 / a 2 . При e = 0 кривая круговая (полуоси равны), при 0 — эллиптическая.

Так же для эллипса и гиперболы эксцентриситет ещё можно определить как отношение расстояний между фокусами к большей или действительной оси.

Литература

  • А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Эксцентриситет (математика)» в других словарях:

Гипербола (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Гипербола. Гипербола и её фокусы … Википедия

Коническое сечение — Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса) … Википедия

Конические сечения — Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола. Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс,… … Википедия

Фокус (в математике) — Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола. Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс,… … Википедия

Эллипс — Не следует путать с Эллипсис. Эллипс, его фокусы и главные оси … Википедия

Малая полуось — Не следует путать с термином «Эллипсис». Эллипс и его фокусы Эллипс (др. греч. ἔλλειψις недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1… … Википедия

Эллипс (геометрич.) — Не следует путать с термином «Эллипсис». Эллипс и его фокусы Эллипс (др. греч. ἔλλειψις недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1… … Википедия

Гиппарх — Для этой статьи не заполнен шаблон карточка. Вы можете помочь проекту, добавив его … Википедия

Глоссарий теории графов — Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Теория графов Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) … Википедия

Астрономия — (от греческих слов άστρον, светило, и νόμος, закон) наука о небесных светилах. В обширном значении этого слова А. включает в себе исследование всего того, что можно знать о небесных светилах: солнце, луне, планетах, кометах, падающих звездах,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Читайте также:  Единичная окружность тангенс котангенс знаки

Источник

# Эксцентриситет

Эксцентриситет (в математике) — числовая характеристика конического сечения, характеризующая степень его отклонения от окружности. Окружность имеет нулевой эксцентриситет, эксцентриситет величиной менее единицы присущ эллипсам, равный единице — параболе, более единицы — гиперболе.

Согласно первому закону Кеплера, орбиты планет представляют собой эллипсы с Солнцем в одном из их полюсов. Поскольку эллипс есть частный случай конического сечения, то к орбитам планет тоже применимо понятие эксцентриситета. В данном случае он говорит о степени сжатости орбит.

Орбиты планет Солнечной системы имеют, как правило, невысокий эксцентриситет. Самый низкий эксцентриситет у орбиты Венеры (0,007), самый высокий — у орбиты Меркурия (0,205). Он стал чемпионом по планетному эксцентриситету после того, как Плутон с его эксцентриситетом 0,244 переквалифицировали в карликовые планеты. Эксцентриситет Марса — 0,093, что делает его орбиту одной из самых эксцентричных в Солнечной системе после Меркурия. Любопытно, что в течение долгого времени орбита Марса становилась более эксцентричной. Эксцентриситет земной орбиты равен 0,017, так что она довольно близка к окружности. У некоторых астероидов и комет орбиты очень вытянуты, их эксцентриситеты мало отличаются от единицы.

В технике существует понятие эксцентриситета, совершенно отличающееся от математического понятия. Оно относится к эксцентрикам — цилиндрическим валам со смещенной осью вращения. В этом случае эксцентриситетом называется расстояние между осью вращения и осью вала.

Источник

Эксцентриситет (математика) — Eccentricity (mathematics)

В математика, то эксцентриситет из коническая секция неотрицательное действительное число, однозначно характеризующее его форму.

Более формально две конические секции похожий если и только если у них такая же неординарность.

Можно представить себе эксцентриситет как меру того, насколько коническое сечение отклоняется от круглого. Особенно:

  • Эксцентриситет круг является нуль.
  • Эксцентричность эллипс который не является кругом больше нуля, но меньше 1.
  • Эксцентриситет парабола равно 1.
  • Эксцентриситет гипербола больше 1.

Содержание

Определения

Любое коническое сечение можно определить как геометрическое место точек, расстояние от которых до точки (фокус) и линии (директриса) находится в постоянном соотношении. Это отношение называется эксцентриситетом, обычно обозначаемым как е .

Эксцентриситет также можно определить в терминах пересечения плоскости и конус с двойным ворсом связанный с коническим сечением. Если конус ориентирован так, чтобы его ось была вертикальной, эксцентриситет равен [1]

е = грех ⁡ β грех ⁡ α , 0 α 90 ∘ , 0 ≤ β ≤ 90 ∘ , < displaystyle e = < frac < sin beta>< sin alpha>>, 0

где β — угол между плоскостью и горизонталью, а α — угол между образующей наклона конуса и горизонталью. За β = 0 < displaystyle beta = 0> плоское сечение — круг, для β = α < Displaystyle бета = альфа> парабола. (Плоскость не должна совпадать с вершиной конуса.)

В линейный эксцентриситет эллипса или гиперболы, обозначаемой c (или иногда ж или же е ), это расстояние между его центром и любым из двух фокусы. Эксцентриситет можно определить как отношение линейного эксцентриситета к большая полуось а : то есть, е = c а < displaystyle e = < frac >> (без центра линейный эксцентриситет для парабол не определен).

Читайте также:  Как решить задачу с касательными к окружности

Альтернативные названия

Эксцентриситет иногда называют первая эксцентриситет отличить его от второй эксцентриситет и третий эксцентриситет определен для эллипсов (см. ниже). Эксцентриситет также иногда называют числовой эксцентриситет.

В случае эллипсов и гипербол линейный эксцентриситет иногда называют полуфокальное разделение.

Обозначение

Обычно используются три условных обозначения:

  1. е за неординарность и c для линейного эксцентриситета.
  2. ε за неординарность и е для линейного эксцентриситета.
  3. е или же ϵ за неординарность и ж для линейного эксцентриситета (мнемоника для полу-жокальное разделение).

В этой статье используются первые обозначения.

Значения

Коническое сечение Уравнение Эксцентриситет ( е ) Линейный эксцентриситет ( c )
Круг Икс 2 + у 2 = р 2 < displaystyle x ^ <2>+ y ^ <2>= r ^ <2>> 0 < displaystyle 0> 0 < displaystyle 0>
Эллипс Икс 2 а 2 + у 2 б 2 = 1 < displaystyle < frac > >> + < frac > >> = 1> или же у 2 а 2 + Икс 2 б 2 = 1 < displaystyle < frac > >> + < frac > >> = 1> куда b>»> а > б < displaystyle a>b> б»> 1 − б 2 а 2 < displaystyle < sqrt <1 - < frac > >>>>> а 2 − б 2 < displaystyle < sqrt -b ^ <2>>>>
Парабола Икс 2 = 4 а у < displaystyle x ^ <2>= 4ay> 1 < displaystyle 1>
Гипербола Икс 2 а 2 − у 2 б 2 = 1 < displaystyle < frac > >> — < frac > >> = 1> или же у 2 а 2 − Икс 2 б 2 = 1 < displaystyle < frac > >> — < frac > >> = 1> 1 + б 2 а 2 < displaystyle < sqrt <1 + < frac > >>>>> а 2 + б 2 < displaystyle < sqrt + b ^ <2>>>>

Здесь для эллипса и гиперболы а — длина большой полуоси и б — длина малой полуоси.

Когда коническое сечение задано в общей квадратичной форме

А Икс 2 + B Икс у + C у 2 + D Икс + E у + F = 0 , < displaystyle Ax ^ <2>+ Bxy + Cy ^ <2>+ Dx + Ey + F = 0,>

следующая формула дает эксцентриситет е если коническое сечение не является параболой (с эксцентриситетом, равным 1), не вырожденная гипербола или вырожденный эллипс, а не воображаемый эллипс: [2]

е = 2 ( А − C ) 2 + B 2 η ( А + C ) + ( А − C ) 2 + B 2 < Displaystyle е = < sqrt < frac <2 < sqrt <(AC) ^ <2>+ B ^ <2>>>> < eta (A + C) + < sqrt <(AC) ^ <2>+ B ^ <2>>>>>>>

куда η = 1 < displaystyle eta = 1> если детерминант матрицы 3 × 3

[ А B / 2 D / 2 B / 2 C E / 2 D / 2 E / 2 F ] < displaystyle < begin A & B / 2 & D / 2 B / 2 & C & E / 2 D / 2 & E / 2 & F end >>

отрицательный или η = − 1 < displaystyle eta = -1> если этот определитель положительный.

Эллипсы

Эксцентричность эллипс строго меньше 1. Когда круги (с эксцентриситетом 0) считаются эллипсами, эксцентриситет эллипса больше или равен 0; если кругам присвоена специальная категория и они исключены из категории эллипсов, то эксцентриситет эллипса строго больше 0.

Пусть для любого эллипса а быть длиной его большая полуось и б быть длиной его малая полуось.

Мы определяем ряд связанных дополнительных понятий (только для эллипсов):

Имя Символ с точки зрения а и б с точки зрения е
Первая эксцентриситет е < displaystyle e> 1 − б 2 а 2 < displaystyle < sqrt <1 - < frac > >>>>> е < displaystyle e>
Второй эксцентриситет е ′ < displaystyle e '> а 2 б 2 − 1 < displaystyle < sqrt << frac > >> — 1>>> е 1 − е 2 < displaystyle < frac < sqrt <1-e ^ <2>>>>>
Третья эксцентриситет е ″ = м < displaystyle e '' = < sqrt >> а 2 − б 2 а 2 + б 2 < displaystyle < frac < sqrt -b ^ <2>>> < sqrt + b ^ <2>>>>> е 2 − е 2 < displaystyle < frac < sqrt <2-e ^ <2>>>>>
Угловой эксцентриситет α < displaystyle alpha> потому что − 1 ⁡ ( б а ) < displaystyle cos ^ <- 1>left ( < frac > right)> грех − 1 ⁡ е < displaystyle sin ^ <- 1>e>

Другие формулы эксцентриситета эллипса

Эксцентриситет эллипса — это, проще всего, отношение расстояния c между центром эллипса и каждым фокусом до длины большой полуоси а .

Эксцентриситет — это также отношение большой полуоси. а на расстоянии d от центра к директрисе:

Эксцентриситет можно выразить через сплющивание ж (определяется как ж = 1 − б / а < displaystyle f = 1-b / a> для большой полуоси а и малая полуось б ):

е = ж ( 2 − ж ) . < displaystyle e = < sqrt >.>

(Уплощение можно обозначить как грамм в некоторых предметных областях, если ж линейный эксцентриситет.)

Определите максимальный и минимальный радиус р Максимум < displaystyle r _ < text >> и р мин < displaystyle r _ < text >> как максимальное и минимальное расстояния от любого фокуса до эллипса (то есть расстояния от любого фокуса до двух концов большой оси). Затем с большой полуосью а , эксцентриситет определяется выражением

е = р Максимум − р мин р Максимум + р мин = р Максимум − р мин 2 а , < displaystyle e = < frac > — r _ < text >> > + r _ < text >>> = < frac > — r _ < text >> <2a>>,>

это расстояние между фокусами, деленное на длину большой оси.

Гиперболы

Эксцентриситет гипербола может быть любым действительным числом больше 1 без верхней границы. Эксцентриситет прямоугольная гипербола является 2 < displaystyle < sqrt <2>>> .

Квадрики

Эксцентриситет трехмерного квадрика эксцентриситет назначенного раздел этого. Например, на трехосном эллипсоиде меридиональный эксцентриситет представляет собой эллипс, образованный сечением, содержащим как самую длинную, так и самую короткую оси (одна из которых будет полярной осью), и экваториальный эксцентриситет представляет собой эксцентриситет эллипса, образованного сечением, проходящим через центр, перпендикулярным полярной оси (т.е. в экваториальной плоскости). Но: конические сечения могут встречаться и на поверхностях более высокого порядка (см. Изображение).

Небесная механика

В небесная механика для связанных орбит в сферическом потенциале приведенное выше определение неформально обобщено. Когда апоцентр расстояние близко к перицентр расстояние, считается, что орбита имеет низкий эксцентриситет; когда они сильно различаются, орбита считается эксцентричной или имеет эксцентриситет, близкий к единице. Это определение совпадает с математическим определением эксцентриситета эллипсов в Кеплерове, т. Е. 1 / р < displaystyle 1 / r> потенциалы.

Аналогичные классификации

Ряд классификаций в математике используют терминологию, полученную из классификации конических сечений по эксцентриситету:

  • Классификация элементов из SL2(Р) как эллиптический, параболический и гиперболический — и аналогично для классификация элементов PSL2(R), настоящий Преобразования Мебиуса.
  • Классификация дискретных распределений по отношение дисперсии к среднему; видеть кумулянты некоторых дискретных распределений вероятностей для подробностей.
  • Классификация уравнения в частных производных по аналогии с классификацией конических сечений; видеть эллиптический, параболический и гиперболический уравнения в частных производных. [3]

Источник

Читайте также:  Прямоугольная спальня как поставить кровать
Поделиться с друзьями
Объясняем