Какие треугольник называется равнобедренным

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.

Равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Свойства равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равны

2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой

3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:

,

где – угол напротив основания.

4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой

5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Равнобедренный треугольник (понятие):

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).

Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Различают следующие виды равнобедренных треугольников:

– остроугольный – все углы острые;

– прямоугольный – угол при вершине прямой, а при основании углы острые;

– тупоугольный – угол при вершине тупой, а при основании углы острые;

– равносторонний (или правильный) – все стороны равны и все углы равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник

2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АН₁ = СН₂ – высота, АМ₁ = СМ₂ – медиана, АL₁ = СL₂ – биссектриса, проведённые из углов при основании

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок

4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

Признаки равнобедренного треугольника:

– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Формулы равнобедренного треугольника:

Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).

Рис. 6. Равнобедренный треугольник

Формулы длины основания (b):

,

,

.

Формулы длины равных сторон (а):

.

Формулы углов:

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

,

,

.

Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

,

.

Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:

,

,

.

Равнобедренный треугольник в природе, технике и культуре:

Например, молекула сероводорода имеет структуру равнобедренного треугольника с атомом серы S в центре.

Рис. 1. Структура молекулы сероводорода

Длина боковой стороны – связи HS = 133,6 пм, а вершинный угол ∠HSH = 92,1°.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Мировая экономика

Справочники

Востребованные технологии

• Концепция инновационного развития общественного производства – осуществления Второй индустриализации России на период 2017-2022 гг. (107 130)
• Экономика Второй индустриализации России (103 531)
• Программа искусственного интеллекта ЭЛИС (30 114)
• Этилен (этен), получение, свойства, химические реакции (30 075)
• Метан, получение, свойства, химические реакции (26 920)
• Крахмал, свойства, получение и применение (26 569)
• Природный газ, свойства, химический состав, добыча и применение (25 567)
• Целлюлоза, свойства, получение и применение (25 110)
• Пропилен (пропен), получение, свойства, химические реакции (24 001)
• Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы (23 752)

Поиск технологий

О чём данный сайт?

Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.

Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.

Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!

Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.

О Второй индустриализации

Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.

Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.

Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.

Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.

Источник

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Содержание:

1. Свойства равнобедренного треугольника.
2. Признаки равнобедренного треугольника.
3. Формулы равнобедренного треугольника:
   • формулы длины стороны;
   • формулы длины равных сторон;
   • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

• Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
• Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
• Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

• Дан Δ ABC.
• Из точки В проведем высоту BD.
• Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD.Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
• Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
• В Δ ABDи ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD(из Теоремы 1).
• АВ = ВС — боковые стороны равны.
• Стороны АD = СD, т.к. точка Dотрезок делит пополам.
• Следовательно Δ ABD =ΔBCD.
• Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

Вывод:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

• Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Доказательство от противного.

• Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
• Пусть Δ A₁B₁C₂ = Δ ABC, у которого вершина C₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C₁ относительно прямой A₁B₁. По предположению вершины C₁ и C₂ не совпадают. Пусть D – середина отрезка C₁C₂. Δ A₁C₁C₂ и Δ B₁C₁C₂ – равнобедренные с общим основанием C₁C₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой C₁C₂. A₁D и B₁D имеют разные точки A₁ и B₁, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C₁C₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
• Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны.
2. Сумма углов треугольника 180°.
3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• a — углы при основании
• b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

• b = 2a \sin( \beta /2)= a \sqrt
• b = 2a \cos \alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

• L — высота=биссектриса=медиана
• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• a — углы при основании
• b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Площадь равнобедренного треугольника

• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

Источник