Какие фигуры можно описать окружностью

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Источник

    Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

    Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

    Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

    Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

    Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

    Центр описанной окружности

    Теорема. Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечениясерединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

    Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

    Центр Вписанная окружность

    Определение. Вписанная в выпуклый многоугольник окружность — это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружностикасательной).

    Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

    Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

    В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

    Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

    Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

    В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

    В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

    В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

    Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

    где S — площадь многоугольника, p — его полупериметр.

    Правильный n-угольник — формулы

    Формулы длины стороны правильного n-угольника

    1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

    a = 2r · tg 180°
    n
    a = 2r · tg π
    n

    2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

    a = 2 R · sin 180°
    n
    a = 2 R · sin π
    n

    Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

    Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

    r = a : (2tg 180° )
    n
    r = a : (2tg π )
    n

    Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

    Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

    R = a : (2sin 180° )
    n
    R = a : (2sin π )
    n

    Правильный треугольник

    Формулы правильного треугольника:

    1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности: a = 2r √3

    2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности: a = R√3

    3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

    4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

    5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:

    S = a 2 √3

    6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 3√3

    7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

    S = R 2 3√3

    8. Угол между сторонами правильного треугольника: α = 60°

    Правильный четырехугольнику — квадрат.

    Формулы правильного четырехугольника:

    1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности: a = 2r

    2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности: a = R√2

    3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

    4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

    5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны: S = a 2

    6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности: S = 4 r 2

    7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности: S = 2 R 2

    8. Угол между сторонами правильного четырехугольника: α = 90°

    Формулы правильного шестиугольника:

    1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

    2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности: a = R

    3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

    4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны: R = a

    5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

    S = a 2 3√3

    6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 2√3

    7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

    S = R 2 3√3

    8. Угол между сторонами правильного шестиугольника: α = 120°

    Значение числа (произносится «пи») — математическая константа, равная отношению

    длины окружности к длине её диаметра, оно выражается бесконечной десятичной дробью.

    Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14).

    53. Найдем длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу в n°

    Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

    Градусная мера угла в 1 радиан равна:

    Так как дуга длиной πR (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

    И наоборот

    Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

    Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

    И наоборот

    Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

    Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

    В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.

    Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

    Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

    Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

    Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

    Источник

    Читайте также:  Как скроить рукав для платья трапеция
    Поделиться с друзьями
    Объясняем