- Равнобедренный треугольник
- Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы
- Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы
- Равнобедренный треугольник (понятие):
- Свойства равнобедренного треугольника:
- Признаки равнобедренного треугольника:
- Формулы равнобедренного треугольника:
- Равнобедренный треугольник в природе, технике и культуре:
- Мировая экономика
- Справочники
- Востребованные технологии
- Поиск технологий
- О чём данный сайт?
- О Второй индустриализации
- Равнобедренные треугольники
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.
Равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .
Свойства равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равны
2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой
3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:
,
где – угол напротив основания.
4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой
5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию
Признаки равнобедренного треугольника
1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Источник
Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы
Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.
Равнобедренный треугольник (понятие):
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.
Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.
Рис. 1. Равнобедренный треугольник
АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,
∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании
По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).
Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.
Различают следующие виды равнобедренных треугольников:
– остроугольный – все углы острые;
– прямоугольный – угол при вершине прямой, а при основании углы острые;
– тупоугольный – угол при вершине тупой, а при основании углы острые;
– равносторонний (или правильный) – все стороны равны и все углы равны.
Свойства равнобедренного треугольника:
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Рис. 2. Равнобедренный треугольник
2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.
Рис. 3. Равнобедренный треугольник
АН1 = СН2 – высота, АМ1 = СМ2 – медиана, АL1 = СL2 – биссектриса, проведённые из углов при основании
3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Рис. 4. Равнобедренный треугольник
ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок
4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.
Рис. 5. Равнобедренный треугольник
R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности
Признаки равнобедренного треугольника:
– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;
– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;
– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;
– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
Формулы равнобедренного треугольника:
Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).
Рис. 6. Равнобедренный треугольник
Формулы длины основания (b):
,
,
.
Формулы длины равных сторон (а):
.
Формулы углов:
Рис. 7. Равнобедренный треугольник
,
,
.
Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:
Рис. 8. Равнобедренный треугольник
,
.
Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:
,
,
.
Равнобедренный треугольник в природе, технике и культуре:
Например, молекула сероводорода имеет структуру равнобедренного треугольника с атомом серы S в центре.
Рис. 1. Структура молекулы сероводорода
Длина боковой стороны – связи HS = 133,6 пм, а вершинный угол ∠HSH = 92,1°.
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Мировая экономика
Справочники
Востребованные технологии
- Концепция инновационного развития общественного производства – осуществления Второй индустриализации России на период 2017-2022 гг. (107 130)
- Экономика Второй индустриализации России (103 531)
- Программа искусственного интеллекта ЭЛИС (30 114)
- Этилен (этен), получение, свойства, химические реакции (30 075)
- Метан, получение, свойства, химические реакции (26 920)
- Крахмал, свойства, получение и применение (26 569)
- Природный газ, свойства, химический состав, добыча и применение (25 567)
- Целлюлоза, свойства, получение и применение (25 110)
- Пропилен (пропен), получение, свойства, химические реакции (24 001)
- Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы (23 752)
Поиск технологий
О чём данный сайт?
Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.
Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.
Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!
Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.
О Второй индустриализации
Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.
Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.
Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.
Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.
Источник
Равнобедренные треугольники
Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.
6. В равнобедренном треугольнике:
— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;
— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;
— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.
7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.
8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
$∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.
Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
- Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
$cos BOA= — cos BOC;$
$ctg BOA= — ctg BOC.$
В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.
Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)
Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:
Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:
Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A=<4>/<5>$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Источник