Каким может быть угол при основании равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Равнобедренный треугольник (понятие):

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).

Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Различают следующие виды равнобедренных треугольников:

– остроугольный – все углы острые;

– прямоугольный – угол при вершине прямой, а при основании углы острые;

– тупоугольный – угол при вершине тупой, а при основании углы острые;

– равносторонний (или правильный) – все стороны равны и все углы равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник

2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АН₁ = СН₂ – высота, АМ₁ = СМ₂ – медиана, АL₁ = СL₂ – биссектриса, проведённые из углов при основании

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок

4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

Признаки равнобедренного треугольника:

– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Формулы равнобедренного треугольника:

Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).

Рис. 6. Равнобедренный треугольник

Формулы длины основания (b):

,

,

.

Формулы длины равных сторон (а):

.

Формулы углов:

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

,

,

.

Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

,

.

Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:

,

,

.

Равнобедренный треугольник в природе, технике и культуре:

Например, молекула сероводорода имеет структуру равнобедренного треугольника с атомом серы S в центре.

Рис. 1. Структура молекулы сероводорода

Длина боковой стороны – связи HS = 133,6 пм, а вершинный угол ∠HSH = 92,1°.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Мировая экономика

Справочники

Востребованные технологии

• Концепция инновационного развития общественного производства – осуществления Второй индустриализации России на период 2017-2022 гг. (107 130)
• Экономика Второй индустриализации России (103 531)
• Программа искусственного интеллекта ЭЛИС (30 114)
• Этилен (этен), получение, свойства, химические реакции (30 075)
• Метан, получение, свойства, химические реакции (26 920)
• Крахмал, свойства, получение и применение (26 569)
• Природный газ, свойства, химический состав, добыча и применение (25 567)
• Целлюлоза, свойства, получение и применение (25 110)
• Пропилен (пропен), получение, свойства, химические реакции (24 001)
• Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы (23 752)

Поиск технологий

О чём данный сайт?

Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.

Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.

Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!

Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.

О Второй индустриализации

Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.

Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.

Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.

Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.

Источник

Равнобедренный треугольник

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные и равнобедренные.

Чем же эти виды треугольников такие уж особенные?

Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными «действующими лицами» задач ЕГЭ первой части.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии.

Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

Равнобедренный треугольник — коротко о главном

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого есть две равные стороны.

• \( \displaystyle AB=BC\) – боковые стороны
• \( \displaystyle AC\) – основание

Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \displaystyle \angle A\ =\angle C\);

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой: \( \displaystyle BH\) — высота, медиана и биссектриса.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;

Если в некотором треугольнике совпадают высота и биссектриса или высота и медиана или медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Определение равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон.

Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник?

Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Высота равнобедренного треугольника

Высота — это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Итак, провели высоту. Что же получилось?

Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, даже самом «кособедренном» треугольнике.

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Видишь, два прямоугольных треугольника (Δ. и Δ. ) – одинаковые!

Или, как математики любят говорить? Равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Доказательство равенства треугольников

Посмотри внимательно, у нас есть:

И, значит, \( \displaystyle AH\text< >=\text< >CH\)!

Да мы просто найдём и \( \displaystyle AH\), и \( \displaystyle CH\) из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что \( \displaystyle AB=BC\))

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle C\);
• Высота, проведенная к основанию \( \displaystyle (ВH)\), совпадает с медианой и биссектрисой
• \( \displaystyle AH=CH\)
• \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – делит угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник.

Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?

То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

Признаки равнобедренного треугольника

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник –равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

Если в каком-то треугольнике высота и медиана, или высота и биссектриса, или биссектриса и медиана, проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:

Если совпадают высота и биссектриса, то:

Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

Как пользоваться признаками равнобедренного треугольника при решении задач

• Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник;
• Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек… 🙂 );
• Если оказалось, что высота разделила сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами;
• Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный;
• Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана разделила угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике.

Давай посмотрим, как это выглядит в задачах.

2 задачи на равнобедренный треугольник

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) стороны \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle AC\) равны, а \( \displaystyle \angle BAC=70<>^\circ \).

Найти \( \displaystyle \angle ABC\).

Решение

Что здесь основание? Конечно, \( \displaystyle BC\).

Вспоминаем, что если \( \displaystyle AB=AC\), то и \( \displaystyle \angle B=\angle C\).

Источник