Как выяснить объем тела

Содержание
  1. Формулы объема геометрических фигур
  2. Объем куба
  3. Объем призмы
  4. Объем параллелепипеда
  5. Объем прямоугольного параллелепипеда
  6. Объем пирамиды
  7. Объем правильного тетраэдра
  8. Объем цилиндра
  9. Объем конуса
  10. Объем шара
  11. Все формулы объемов геометрических тел
  12. 1. Расчет объема куба
  13. 2. Найти по формуле, объем прямоугольного параллелепипеда
  14. 3. Формула для вычисления объема шара, сферы
  15. 4. Как вычислить объем цилиндра ?
  16. 5. Как найти объем конуса ?
  17. 7. Формула объема усеченного конуса
  18. 8. Объем правильного тетраэдра
  19. 9. Объем правильной четырехугольной пирамиды
  20. 10. Объем правильной треугольной пирамиды
  21. 11. Найти объем правильной пирамиды
  22. Объем тела
  23. Понятие объема
  24. Объем прямоугольного параллелепипеда
  25. Объем призмы
  26. Готовые работы на аналогичную тему
  27. Объем цилиндра
  28. Объем шара
  29. Измерение объёма тела по формуле — возможные способы, единицы измерения
  30. Понятие объема тела
  31. Свойства объема тела
  32. Как вычислить объем тела: все формулы
  33. Примеры решения задач
  34. Задания для самостоятельной работы

Формулы объема геометрических фигур

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды:

Объем правильного тетраэдра

Формула объема правильного тетраэдра:

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра:

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса:

Объем шара

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.

Формула объема шара:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Все формулы объемов геометрических тел

1. Расчет объема куба

a — сторона куба

Формула объема куба, (V):

2. Найти по формуле, объем прямоугольного параллелепипеда

a , b , c — стороны параллелепипеда

Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.

Формула объема параллелепипеда, (V):

3. Формула для вычисления объема шара, сферы

R радиус шара

По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V):

4. Как вычислить объем цилиндра ?

h — высота цилиндра

r — радиус основания

По формуле найти объема цилиндра, есди известны — его радиус основания и высота, (V):

5. Как найти объем конуса ?

R — радиус основания

H — высота конуса

Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V):

7. Формула объема усеченного конуса

r — радиус верхнего основания

R — радиус нижнего основания

h — высота конуса

Формула объема усеченного конуса, если известны — радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса (V ):

8. Объем правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр — пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а — ребро тетраэдра

Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V):

9. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V):

10. Объем правильной треугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны — высота и сторона основания (V):

11. Найти объем правильной пирамиды

Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.

h — высота пирамиды

a — сторона основания пирамиды

n — количество сторон многоугольника в основании

Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V):

Источник

Объем тела

Вы будете перенаправлены на Автор24

  • Telegram
  • Whatsapp
  • Вконтакте
  • Одноклассники
  • Email

Понятие объема

Понятие объема тел будем связывать с такой геометрической фигурой, как куб. За единицу объема фигуры будем принимать объем куба с ребром, равным единице. Из этого очевидно, что объем куба будет равняться кубу длины его ребра. Введем несколько свойств, для понятия объема геометрических фигур.

Читайте также:  Как называется отношение объема форменных элементов к объему крови

У равных геометрических тел равные объемы.

Тело, состоящее из нескольких тел, имеет своим объемом сумму объемов тел, из которых оно состоит.

Одной из основных формул для вычисления объемов тел является формула вычисления объема тел с помощью определенного интеграла:

Здесь $S\left(x\right)$ — функция площади сечения фигуры плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ (рис. 1).

Выведем теперь объемы фигур, хорошо известных в курсе стереометрии. Для это будем рассматривать поиск объемов как задачи на использование формулы нахождения объема с помощью интеграла.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Доказать, что объем прямоугольного параллелепипеда определяется как произведение ширины, высоты и длины данного параллелепипеда.

Доказательство.

Обозначим высоту параллелепипеда через $c$, ширину через $b$ и длину через $a$. Выберем одну из вершин как начало координат и проведем ось $Ox$ через длину параллелепипеда (рис. 2.).

Проводя сечения, перпендикулярно $Ox$ будем получать прямоугольники с площадью $S\left(x\right)=bc$. Используя формулу для вычисления объема тел, получим

Объем призмы

Доказать, что объем призмы определяется как произведение площади основания этой призмы на высоту.

Доказательство.

Рассмотрим произвольную призму, проведем в ней высоту и построим ось $Ox$ через эту высоту, считая началом координат точку $O$ основания высоты (рис. 3).

Проводя сечения, перпендикулярно $Ox$ будем получать многоугольники с $S\left(x\right)=S_<осн>$. Используя формулу для вычисления объема тел, получим

Готовые работы на аналогичную тему

Объем цилиндра

Доказать, что объем цилиндра определяется как произведение площади основания цилиндра на его высоту.

Рассмотрим произвольный цилиндр, проведем в нем высоту и построим ось $Ox$ через эту высоту, считая началом координат точку $O$ основания высоты (рис. 4).

Проводя сечения, перпендикулярно $Ox$ будем получать окружности с $S\left(x\right)=\pi r^2$. Используя формулу для вычисления объема тел, получим

Объем шара

Доказать, что объем шара определяется следующей формулой

Доказательство.

Пусть нам дан шар с радиусом, равным $R$. Проведем через центр сферы произвольно ось $Ox$ (рис. 5).

Проведем через произвольную точку $O_1$ сечение, перпендикулярное оси $Ox.$ Данное сечение является окружностью. Обозначим ее радиус через $r$. Так как точка выбрана произвольно, то площадь окружности можно считать функцией от абсциссы $x$. Обозначим её через $S(x)$. Нам известно, что $S\left(x\right)=\pi r^2$. По теореме Пифагора, получим

Эта формула верна при всех $—R\le x\le R$

Вычисляя объем с помощью определенного интеграла, получим

Нужны еще материалы по теме статьи?

Воспользуйся новым поиском!

Найди больше статей и в один клик создай свой список литературы по ГОСТу

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19.04.2022

Источник

Измерение объёма тела по формуле — возможные способы, единицы измерения

Понятие объема тела

Объем является количественным параметром пространства, занятого телом или веществом.

Термин объема можно рассматривать совместно с понятием вместимости. Это обозначение для объема какого-то внутреннего пространства сосуда, коробки и тому подобного. Объем тела, как и вместимость некой емкости, зависит от таких характеристик, как:

Главным свойством объема принято считать аддитивность.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Аддитивность означает равенство объема какого-либо тела сумме объемов частей этого тела, которые не пересекаются между собой.

Согласно СИ, единицей измерения объема является метр кубический (м³). В процессе решения задач можно встретить единицы измерения объемов тел в виде см³, дм³, или литров. В иностранной литературе также используются указания объемов веществ, находящихся в жидком или сыпучем состоянии, в таких единицах измерения, как, например, галлон, баррель и другие.

Величина объема используется при составлении различных уравнений и неравенств. При этом данный параметр обозначают с помощью буквы V. Это сокращение от латинского слова volume, которое в переводе означает объем или наполнение.

Свойства объема тела

В процессе решения разнообразных задач по физике, алгебре и геометрии целесообразно использовать свойства, которыми обладает объем тела. Перечислим основные из них:

  1. Объем тела не может быть отрицательной величиной.
  2. В том случае, когда некое геометрическое тело состоит из определенного количества геометрических тел, не обладающих едиными внутренними точками, объем такого тела складывается из объемов составляющих его тел.
  3. Объем фигуры в виде куба с ребром, значение которого равно единице измерения длины, равен единице.
  4. Аналогичные друг другу геометрические тела обладают одинаковыми объемами.
  5. В том случае, когда тело имеет объем V1 и расположено в другом теле с объемом V2, справедливо следующее соотношение: \(V1 .
Читайте также:  Как найти объем многогранника вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра

Как вычислить объем тела: все формулы

Существует практический способ определения объема тела, включая тела, обладающие сложной формой и геометрией. Данная методика основана на законе Архимеда и предполагает погружение рассматриваемого тела в некую жидкость. По результатам следует измерить объем вытесненной телом жидкости. Данная величина равна объему измеряемого тела.

Формула расчета объема тела, исходя из известных величин массы и плотности:

Здесь m определяется, как масса, а \rho является средней плотностью тела.

В том случае, когда тела обладают простыми геометрическими формами, в решении задач допустимо использовать специальные формулы. К примеру, для того чтобы найти объем куба, ребро которого равно а, следует применить такую формулу: \(V=a^<3>\) .

Вычислить объем некого прямоугольного параллелепипеда можно путем умножения длины, ширины и высоты. Запишем другие распространенные формулы для расчета объемов геометрических фигур:

  • прямоугольный параллелепипед, формула объема: \(V=abc\) (произведение длин трех сторон):

  • призма, формула объема: \( V=Bh\) (произведение площади основания и высоты):

    параллелепипед, формула объема: \(V=abc<\sqrt >, <\beginK=1&+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&-\cos ^<2>(\alpha )-\cos ^<2>(\beta )-\cos ^<2>(\gamma )\end>: \)

  • эллипсоид, формула объема: \(V=<\frac <4><3>>\pi abc\) :

  • прямой круговой цилиндр, формула объема: \(V=\pi r^<2>h\) :

  • тело вращения, формула объема: \(V=\pi \cdot \int _^f(x)^<2>\mathrm x\) :

В том случае, когда необходимо определить объем, которым обладает некое тело, имеющее сложную форму, нужно разбить мысленно данное тело на отдельные части. Такие части целого должны иметь простую форму. Далее следует сложить вычисленные объемы простых тел. Результат будет являться значением объема начального тела.

Примеры решения задач

Имеется пара шаров. Радиус первого шара в 5 раз превышает радиус второго шара.

Требуется определить, во сколько раз площадь поверхности второго шара меньше по сравнению с площадью поверхности первого шара

Рассчитать площадь поверхности можно по формуле:

Тогда запишем отношения площадей пары шаров:

Сравним радиусы геометрических фигур:

Таким образом, первый шар имеет площадь поверхности, которая в 25 раз больше по сравнению с аналогичной характеристикой второго шара.

На рисунке изображены конусы. Назовем их \(K_1\) и \(K_2\) .

Полная поверхность \(K_1\) по площади относится к площади полной поверхности \(K_2\) как 4:1.

Фигура \(K_1\) обладает радиусом, который в 4 раза больше образующей \(K_1\) и в 2 раза больше радиуса \(K_2\) .

Требуется вычислить, как относится образующая \(K_2\) к образующей \(K_1.\)

Представим, что образующая конуса равна 1, а радиус основания обозначим, как R. Тогда можно записать следующее соотношение:

Запишем отношения площадей полной поверхности заданных конусов:

Согласно условию задачи, имеем:

Даны два прямоугольных параллелепипеда. Объем первой фигуры равен 105. Известно, что первый параллелепипед по высоте превышает второй в 7 раз. Ширина второй фигуры в 2 раза больше по сравнению с аналогичным параметром первой фигуры. Первый параллелепипед длиннее в три раза, чем второй. Необходимо вычислить объем, который имеет второй параллелепипед.

Обозначим высоту, ширину и длину геометрических фигур с помощью букв а, b, с соответственно. Вспомним формулу, по которой можно найти объем прямоугольного параллелепипеда:

Применительно к нашей задаче, запишем:

\(a_1=7a_2, b_2=2b_1, c_1=3c_2\)

Даны два конуса. Площадь боковой поверхности первой геометрической фигуры относится к площади боковой поверхности второй фигуры как 3:7. Первый конус обладает радиусом, который относится к радиусу второго конуса, как 15:7. Необходимо определить, как относится образующая первого конуса к образующей второго конуса.

Составим формулу для расчета площади боковой поверхности конуса:

Запишем отношения площадей боковых поверхностей для первого и второго конусов:

Зная, что отношение радиусов двух геометрических фигур равно 15:7, получим:

\(\frac=\frac<15>7, то \dfrac37=\dfrac <15>7\cdot \dfrac \quad\Rightarrow\quad \dfrac=\dfrac37\cdot \dfrac7<15>=\dfrac15=0,2\)

Имеется пара шаров. Объем первой фигуры составляет 54. Радиус второй фигуры в 3 раза меньше по сравнению с радиусом первой. Нужно определить объем второго шара.

Запишем формулу, согласно которой можно определить объем шара:

Составим отношение объемов двух фигур:

По условиям задачи:

Имеется некая емкость конусообразной формы. Ее заполнили до половины с помощью 75 гр жидкости. Необходимо вычислить вес жидкости, которую нужно добавить в емкость, чтобы заполнить ее до верхнего края.

Вспомним формулу объема из курса физики:

Предположим, что O является центром основания большего конуса. Пусть Q — центр основания меньшего конуса, а S обозначает общую вершину данных фигур. В одной плоскости построим радиусы OA и QB:

\(\triangle SQB\sim \triangle SOA\)

Можно сделать вывод, что:

\(m=V\rho=\dfrac13\cdot \pi\cdot OS\cdot OA^2\cdot \rho= \dfrac 13\cdot \pi\cdot 2QS\cdot (2QB)^2\cdot \rho= 8\cdot \left(\dfrac13\cdot \pi\cdot QS\cdot QB^2\cdot \rho\right)=8\cdot 75=600 \ <\small<\text<грамм>>>\)

Таким образом, потребуется долить в емкость:

Изображена четырехугольная пирамида. Ее высота равна h. Отметим точку сбоку на ребре геометрической фигуры так, чтобы она была удалена на \frac13h от плоскости основания. Данную точку пересекает плоскость, которая параллельна плоскости основания и отделяет от пирамиды аналогичную фигуру меньшего размера. Объем начальной пирамиды равен 54. Требуется вычислить объем меньшей пирамиды, которая получилась в результате.

Назовем точку, через которую проведена плоскость, A’ на ребре AS. Параллельность плоскости и основания является причиной пересечения боковых граней по прямым A’B’, \ B’C’, \ C’D’, \ D’A’, параллельным соответственно AB, \ BC, \ CD, \ DA. В этом случае SA’B’C’D’ является правильной четырехугольной пирамидой.

Исследуем плоскость ASO. Построим \(A’H\parallel SO\) , где SO представляет собой высоту начальной фигуры. В таком случае:

В результате получилось расстояние, которое равно \(\frac13SO:\)

\(\triangle AA’H\sim \triangle ASO\)

\(\dfrac=\dfrac=3 \quad\Rightarrow\quad SA=3AA’ \quad\Rightarrow\quad SA’=\dfrac23SA\)

\(\triangle ASB\sim \triangle A’SB’\)

\(\dfrac23=\dfrac=\dfrac \quad\Rightarrow\quad A’B’=\dfrac23AB\)

Запишем отношения объемов пирамид:

В результате объем малой фигуры составит:

Задания для самостоятельной работы

Имеется пара конусов. Вторая фигура обладает радиусом, который в три раза больше по сравнению с радиусом первой фигуры. Второй конус выше первого в шесть раз. Объем второй фигуры равен 18. Требуется вычислить, чему равен объем первого конуса.

Формула определения объема конуса:

Запишем отношения объемов двух фигур:

Исходя из условий задачи:

\(\dfrac<18>=\left(\dfrac<3r_1>\right)^2\cdot \dfrac<6h_2>= \dfrac19\cdot 6=\dfrac23 \quad\Rightarrow\quad V_1=\dfrac23\cdot 18=12\)

Дано два шара. Объем первого шара в 343 раза больше по сравнению с объемом второго шара. Нужно вычислить, во сколько раз радиус первой фигуры больше, чем радиус второй фигуры.

Запишем формулу для нахождения объема шара:

Составим отношения объемов данных шаров:

Сделаем вывод, что радиус первого шара в 7 раз больше по сравнению с радиусом второго шара.

На рисунке изображены два цилиндра. Первый из них обладает площадью боковой поверхности, равной 16. Радиус второй фигуры больше в 4 раза по сравнению с радиусом первой фигуры. Второй цилиндр ниже, чем первый цилиндр, в 5 раз. Требуется вычислить площадь боковой поверхности второго цилиндра.

Запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра, которую уже проходили ранее:

Составим отношение площадей боковых поверхностей двух фигур:

Имеется некая емкость конусообразной формы. Объем этой емкости составляет 2700 мл. Требуется рассчитать количество жидкости, налитой в емкость, если ее уровень в 3 раза меньше по сравнению с высотой емкости.

Введем обозначения, как на рисунке:

\(QB\parallel OA и \triangle SQB\sim \triangle SOA\)

Соотношение объемов жидкости до определенной линии и емкости:

На рисунке изображены фигуры в виде шаров. Первый шар имеет радиус 6. Второй шар имеет радиус 2. Нужно вычислить, во сколько раз объем первой фигуры превышает объем второй фигуры.

Запишем формулу для расчета объема шара, который не может изменяться:

Составим отношение объемов двух шаров:

В результате объем первого шара в 27 раз больше по сравнению с объемом второго шара.

Источник

Читайте также:  Champion lmh5640 объем масла
Поделиться с друзьями
Объясняем