Как вычислить объем по площади сечения



Вычисление объемов

2.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикуляр­ными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x) − интегрируемая функция.

2.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограни­чен­ной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a 2 и y = 2 − x вокруг оси OX.

Решение. Найдем точки пересечения параболы y = 2xx 2 и прямой y = 2 − x . Решим систему:

Получим две точки пересечения: х1 = 1, у1 = 1; х2 = 2, у2 = 0. Сделаем чертеж (рис. 19).

П р и м е р. Вычислить объем тела, ограни­чен­ного поверхностями:

; z = 0; z = 3.

− однополостной гипербо­лоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллипсы

(рис. 20) с полуосями

Как известно, площадь эллипса Sab, тогда S(h) = 2π(h 2 +1) 0 ≤ h ≤ 3

Источник

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть выражена как функция от х (в виде S=S(x)), то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси Ох плоскостями х=а, х=b, находится по формуле:

Вычисление объема тела вращения

Если криволинейная трапеция ограничена кривой y=f(x) и прямыми х=а, х=b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вычисляется по формуле

Если криволинейная трапеция ограничена кривыми y1=f1(x), y2=f2(x) и прямыми х=а, х=b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вычисляется по формуле

Пример. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , у=0, х=3

Вычислим объём полученного тела по формуле:

Входной контроль

1.Запишите вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений

2.Запишите вычисление объема тела вращения

Ход работы

1.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой и прямой х=2

2.Найти объем фигуры, полученной вращением части синусоиды, заключенной между точками, абсциссы которых ,

Читайте также:  Как найти молярный объем кислорода

3. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми и

Выходной контроль

1 вариант

1.(3 балла) Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , у=0, х=5

2. (4 балла) Найти объем фигуры, полученной вращением части косинусоиды, заключенной между точками, абсциссы которых ,

3.(4 балла) Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми и

2 вариант

1.(3 балла) Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , у=0, х=4

2.(4 балла) Найти объем фигуры, полученной вращением части косинусоиды, заключенной между точками, абсциссы которых ,

3.(4 балла) Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми и

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов

Процент результативности (правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

балл (отметка) вербальный аналог 11 90 ÷ 100 5 отлично 9-10 80 ÷ 89 4 хорошо 8 70 ÷ 79 3 удовлетворительно Менее 8 менее 70 2 неудовлетворительно

Практическое занятие № 18

Тема: Приближённое вычисление определённого интеграла

Цель: Научиться приближённо вычислять определённые интегралы

Теоретические основы

При решении физических и технических задач приходится находить опре­деленные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов.

Для приближённого вычисления интеграла функции f(x) используются методы приближённого интегрирования, наиболее употребительные из них основаны на замене интеграла конечной суммой.

Формула прямоугольников

Допустим, что Положим приближенно

высотой является левая ордината,

высотой является правая ордината,

где , т.е. площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , аппроксимируется (заменяется)площадью прямоугольника, высота которого равна значению в средней точке основания трапеции .

b
а b

Погрешность формулы: ,

где k -наибольшее значение на отрезке [a, b]. а 2 = – 1.

2. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b – коэффициент мнимой части.

Читайте также:  Excel глючит при больших объемах данных

Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b № 0) называют чисто мнимыми.

Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть – действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 – коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 – 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть – 3i, число – 3 – коэффициент при мнимой части.

3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.

Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.

4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;

(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1.

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;

(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

5. Правило умножения комплексных чисел.

(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i.

Из определений 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i 2 = – 1.

Действительно: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bdi 2 = (ac – bd) + (ad + bc)i.

Например, (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i 2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Читайте также:  Как найди объем цилиндра

6. Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di № 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:

Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c 2 + d 2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.

Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Входной контроль

1. Дайте определение комплексного числа

2. В чем заключаются действия над комплексными числами в алгебраической форме?

Ход работы

1.Решите квадратные уравнения:

1) 2) 3)

2.Изобразите комплексные числа на координатной плоскости:

3.Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел заданных в алгебраической форме

1) 2) z 1 =7+2 i и z 2 =3+7 i

Выходной контроль

1 вариант

1.Решите квадратные уравнения:

1) (1 балл) 2) (1 балл)

2.Изобразите комплексные числа на координатной плоскости:

1) (1 балл) z=3+i 2) (1 балл) z=-4+i 3) (1 балл) z=-i 4) z=7

3.Выполнить сложение(1 балл), вычитание(1 балл), умножение(2 балла) и деление(3 балла) комплексных чисел заданных в алгебраической форме

2 вариант

1.Решите квадратные уравнения:

1) (1 балл) 2) (1 балл)

2.Изобразите комплексные числа на координатной плоскости:

1)(1 балл) z=2+5i 2) (1 балл) z=7-i 3) (1 балл) z=3i 4) (1 балл) z=5

3.Выполнить сложение(1 балл), вычитание(1 балл), умножение(2 балла) и деление (3 балла) комплексных чисел заданных в алгебраической форме

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов

Процент результативности (правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

балл (отметка) вербальный аналог 12-13 90 ÷ 100 5 отлично 10-11 80 ÷ 89 4 хорошо 9 70 ÷ 79 3 удовлетворительно Менее 9 менее 70 2 неудовлетворительно

Практическое занятие № 20

Тема: Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Цель: Научиться выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем