Как вычислить объем меньшего шарового сегмента

Нахождение объема шарового сегмента

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить объем сегмента шара, а также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение сегмента шара

Сегмент шара (или шаровый сегмент) – это часть шара, отсеченная плоскостью. На чертеже ниже закрашен зеленым цветом.

• R – радиус шара;
• r – радиус основания сегмента;
• h – высота сегмента; это длина перпендикуляра от центра его основания (точка O₂) до точки на поверхности шара.

Формулы для нахождения объема шарового сегмента

Пояснения:

• В формулах ниже используется радиус шара (R) или радиус основания сегмента (r). Поэтому, если изначально дан их диаметр (d), то чтобы найти требуемый радиус, нужно соответствующий диаметр разделить на два.
• Число π округленно равняется до 3,14.

Через радиус шара и высоту сегмента

Чтобы найти объем (V) сегмента шара, необходимо знать радиус шара и высоту сегмента.

Через радиус основания сегмента и его высоту

Вычислить объем (V) шарового сегмента можно, зная его высоту и радиус основания (круга).

Данная формула получена следующим образом:

Радиус шара можно выразить через радиус основания сегмента и его высоту:

Таким образом, заменив R в первой формуле для расчета объема на выражение выше, получаем:

Пример задачи

Найдите объем сегмента шара, если известно, что его высота равняется 4 см, а радиус шара –

Решение

В данном случае с учетом известных значений нам подходит первая формула:

Источник

Объем шарового сегмента

Чтобы найти объём шарового сегмента, достаточно запомнить одну несложную формулу, которая включает два неизвестных параметра (если считать вместе с π – три). Но для начала давайте вспомним, что описывает каждое слово из обозначенного понятия.

Рассчитать объем шарового сегмента

Формулы и определения

Объём (от лат. volume – «наполнение») – это количественная характеристика пространства, которое занимает тело или вещество.

Шар (т.е. геометрическое тело) – это совокупность всех точек пространства, которые располагаются в нём от центра на некотором расстоянии (чит. в некой удалённости; оно же считается его радиусом), что представляется не больше заданного для него значения.

Сегмент здесь обозначает некую «ограниченность» в пространстве соответствующей формы.

Другими словами, это – часть [объёма] шара (она же представляется неким геометрическим телом), которая отсечена от него плоскостью (т.е. ограничена сферическим сегментом (чит. поверхностью сферической части шарового сегмента) и кругом, получившимся в сечении и являющимся основанием рассматриваемой «ограниченности»; при этом их границы совпадают). Всякая плоскость, которая пересекает шар, делит его ровно на два сегмента (если же она проходит через центр, то такие сегменты называются полушарами).

Формулы для вычисления объема шарового сегмента следующие, на выбор:

h – высота шарового сегмента,

R – радиус [большого круга] шара;

число π – математическая постоянная, равная 3.14.

Известно, что высота шарового сегмента – 3 см, а радиус шара – 5 см.

Введём в соответствующие поля нашего калькулятора известные значения и получим искомый ответ, т.е.

Источник

Найти объем шарового сегмента

Шаровой сегмент — часть шара, отсекаемая какой нибудь плоскостью.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

$$V = <1 \over 3>\cdot \pi \cdot h^2 \cdot (3 \cdot R — h)$$

1. Найдите объем шарового сегмента, если высота равна 3 см, а радиус 5 см.
   Посмотреть решение

Дано:

Решение:

По формуле для объема шарового сегмента:

$$ V = 36 \cdot \pi \ см^3 = 113.09 \ см^3 $$

Ответ:

Дано:

Решение:

Зная диаметр шара, найдем его радиус:

По формуле для объема шарового сегмента:

$$ V = 54 \cdot \pi \ см^3 = 169.65 \ см^3 $$

Ответ:

Дано:

Решение:

$$ S = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h $$

По формуле для объема шарового сегмента:

$$ V = 36 \cdot \pi \ см^3 = 113.10 \ см^3 $$

Ответ:

Дано:

$$Vc = 18 \cdot \pi \ см^3$$

Решение:

По формуле для объема шарового сегмента:

$$ V = 72 \cdot \pi \ см^3 = 226.19 \ см^3 $$

Ответ:

Дано:

Решение:

По формуле для объема шарового сегмента:

$$ V = 45 \cdot \pi \ см^3 = 141.37 \ см^3 $$

Ответ:

Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва

Обработка информации о пользователях

Мы обрабатываем ваши персональные данные исключительно для:

– организации Вашего участия в мероприятиях и опросах, организованных нами и нашими партнерами;

– коммуникации с вами, когда вы обращаетесь к нам, например, для получения консультационной поддержки.

Источник

Объем шарового сегмента,шарового слоя и шарового сектора

Опорный конспект по теме:»Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора».Подробный разбор каждой задачи с иллюстрацией.

Просмотр содержимого документа
«Объем шарового сегмента,шарового слоя и шарового сектора»

Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

На уроке мы рассмотрим части шара: шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор

Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента.

Круг, получающийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегмента.

На экране высоты сегментов обозначены

Теорема. Объем шарового сегмента равен

где R – радиус шара;

h – высота сегмента.

Применим уже известную нам интегральную формулу для вычисления объемов тел.

Проведем ось Ox перпендикулярно к плоскости основания.

Тогда произвольное сечение, проведенное перпендикулярно к оси Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой:

, при R- hxR.

Эту формулу мы получили при выводе формулы объема шара.

Вычислив соответствующий определенный интеграл, получаем:

.

Теорема. Объем шарового сегмента равен

где R – радиус шара;

h– высота сегмента.

Проведем ось Oxк плоскости основания.

Тогда произвольное сечение, проведенное Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой:

, при R- hxR.

Вычислим соответствующий интеграл:

.

Определение. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными сечениями.

Расстояние h между сечениями называется высотой слоя, а сами сечения – основаниями слоя.

Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов.

Например, объем шарового слоя, изображенного на экране, равен разности объемов шаровых сегментов с высотами AC и BC.

Определение. Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньшим 90 0 , вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих сектор радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.

Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объем V шарового сектора вычисляется по формуле:

Переходим к решению задач.

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

D –диаметр, точки C, D делят диаметр на три равные части:

Нужно найти:

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

AB–диаметр,

Найти :

Объем шарового слоя можно найти как разность объемов двух шаровых сегментов, с высотами AD и AC.

Обозначим высоты сегментов через

На чертеже отрезок AB – диаметр шара и он равен двум радиусам, высота первого сегмента h1 — отрезок AD, высота второго h2 — отрезок AC.

Так как по условию задачи, точки C и D делят диаметр шара AB на три равные части (AC = СD = DB), то

Общая формула для нахождения объема шарового сегмента:

Найдем объем большего сегмента:

Найдем объем меньшего сегмента:

Теперь мы можем вычислить объем шарового слоя, вычислив их разность:

Обозначим высоты сегментов через

На чертеже AB – диаметр шара, AB = 2R,

Радиус основания шарового сегмента 8 см, а его высота – 4 см.

Найти объем сегмента.

Радиус основания r=8 см.

Нужно найти объем шарового сегмента V.

Радиус основания шарового сегмента 8 см, а его высота – 4 см.

Найти объем сегмента.

Формула для вычисления объема шарового сегмента:

где R – радиус шара;

h – высота сегмента.

Найдем радиус шара R.

Проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора. Она пройдет через центр основания (свойство высоты, опущенной из центра шара на секущую плоскость) и будет перпендикулярна его радиусу ( ).

Рассмотрим осевое сечение.

Так как OA = OB = R, то OC = R –AC = R – 4

По теореме Пифагора:

После подстановки значений получим уравнение с одной переменной:

Решая это уравнение, найдем R.

Теперь можно вычислить объем

Формула для вычисления объема шарового сегмента:

где R – радиус шара;

h– высота сегмента.

Найдем радиус шара R.

Проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора.

Рассмотрим осевое сечение.

Так как OA =OB = R, то OC = R –AC = R – 4

По теореме Пифагора

Подставив значения, получим уравнение:

Решая его, найдем R.

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Формула для нахождения объема шарового сектора:

h – высота шарового сегмента.

Радиус шара нам известен по условию задачи.

Не известно значение высоты h.

Для нахождения h проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора и рассмотрим осевое сечение.

На чертеже AO = OB = R, поэтому h = CB = R – CO.

Отрезок CO можно найти из треугольника ACO.

Так как ось Ox перпендикулярна основанию сегмента, то она перпендикулярна его радиусу ( .

Треугольник AOC – прямоугольный.

По теореме Пифагора:

Теперь можно найти h:

h = R – CO=75 – 45=30 см

Осталось вычислить объем:

Ответ: 112 500 πсм 3 .

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Дано: шаровой сектор

Формула для нахождения объема шарового сектора:

h – высота шарового сегмента.

Для нахождения h проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора и рассмотрим осевое сечение.

Источник