Как вычислить минимальный объем

Как вычислить минимальный объем

Если испытания проводят для оценки математического ожидания, то при нормальном распределении характеристики минимально необходимый объем испытаний можно найти из соотношения:

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp (2.1)

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp (2.2)

Здесь γ — генеральный коэффициент вариации (см. формулу 1.1), z – квантиль стандартного нормального распределения, α=1-P — уровень значимости (Р — доверительная вероятность) ΔМ – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке математического ожидания в долях математического ожидания (или среднего значения), δМ – максимальная ошибка (допуск) при оценке математического ожидания в долях среднеквадратического отклонения.

Чаще всего генеральный коэффициент вариации неизвестен, и его заменяют выборочным коэффициентом вариации υ (ипсилон, см. формулу 1.2), полученным по предварительной информации по аналогичным объектам. Если такой информации нет, задают и уточняют в процессе эксперимента. При этом объем испытаний корректируют по формуле

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp (2.3)

Здесь tα,k — коэффициент Стьюдента (функция СТЬЮДРАСПОБР), k = n – 1 – число степеней свободы.

Допуск выбирают в зависимости от требуемой точности:
Низкая точность: ΔМ &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp δМ=1
Средняя точность: ΔМ=(0,4..0,5)γ &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp δМ=(0,4..0,5)
Высокая точность: ΔМ=(0,2..0,3)γ &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp δМ=(0,2..0,3)

Пример 2.1: Определить необходимый объем испытаний для оценки математического ожидания некоторой хатрактеристики, если уровень значимости α = 0,1 и допуск ΔМ= 0,02. Данные о коэффициенте вариации отсутствуют.

Фрагмент выполнения примера 2.1 показан на рис.2.1.

Рис. 2.1. Фрагмент расчёта для примера 2.1.

Задаемся, при средней точности, допуском ΔМ = 0,5γ, и, соответственно, δМ = 0,5. В ячейки А4, А5 и А6 вводим обозначения исходных данных α=, ΔМ= и δМ=, а в ячейки В4, В5 и В6 соответствующие значения. Приняв среднюю точность, вводим для δМ значение 0,5. Рассчитываем γ = ΔММ. Находим z1-α/2

Рассчитываем необходимый объём испытаний n по формуле (2.1). При этом, поскольку n должен быть целым числом, притом не меньшим, чем рассчитанное по (2.1) (чтобы обеспечить требуемую точность), необходимо значение, полученное по формуле (2.1), округлить до ближайшего большего целого (функция ОКРУГЛВВЕРХ). В результате расчёта получаем n = 11.

Допустим, по испытаниям 11-ти образцов выборочный коэффи-циент вариации υ = 0,051, что больше заданного γ. Тогда надо провести корректировку необходимого объема испытаний, т.е. увеличить его. Задаем υ = 0,051 в ячейке В14 и n = 12 в ячейке В15. Находим t0,1;11 = 1,795884 в ячейке В16. При этом в диалоговом окне функции СТЬЮДРАСПОБР в строке Вероятность делаем ссылку на значение α, а в строке Степени свободы рассчитываем k со ссылкой на заданное значение n.

После этого в ячейке В17 находим ΔМ из формулы (2.3). Если рассчитанный допуск будет больше заданного, необходимо задаваться ещё более высоким значением n, пока рассчитанное значение ΔМ не станет меньше или равно заданному. В этом случае заданное значение n принимаем как минимально необходимый объём испытаний.

Рассчитанное значение ΔМ можно сравнивать с заданным непосредственно, но для удобства это лучше сделать с помощью логической функции ЕСЛИ. Для этого в ячейку В18 вводим функцию ЕСЛИ. В диалоговом окне этой функции в строке Лог_выражение вводим необходимое логическое выражение, делая ссылки на соответствующие ячейки: B17>B5. В строке Значение_если_истина вводим фразу «Увеличить объём испытаний», в строке Значение_если_ложь вводим фразу «Объём испытаний достаточен». Если логическое выраже-ние будет истинно, в ячейке В18 появится фраза «Увеличить объём испытаний». При этом в ячейке В15 задаём более высокое значение n, лучше всего на 1 больше. Так увеличиваем n до тех пор, пока не получим фразу «Объём испытаний достаточен».

Читайте также:  Faw besturn t77 объем багажника

Так, в нашем примере при n = 12 получаем ΔМ=0,02644 и вывод «Увеличить объём испытаний». Постепенно увеличивая n, получим минимально необходимый объём испытаний, и, соответственно, сколько образцов ещё надо испытать дополнительно к уже испытанным 11. Следует отметить, что после испытаний дополнительных образцов следует пересчитать выборочный коэффициент вариации и, подставив его значение в электронную таблицу, оценить, действиельно ли объём испытаний достаточен.

Если испытания проводят для оценки генерального среднеквадратичного отклонения σ (или генеральной дисперсии σ 2 ) характеристики, то минимально необходимый объём испытаний (объём выборки) находят по формуле

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp (2.4)

Здесь Δσ – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке среднеквадратического отклонения в долях СКО;&nbsp χ 2 α/2;k и χ 2 0,5;k — квантили распределения Пирсона (или хи-квадрат распределения, ХИ2ОБР).

Допуск выбирают в зависимости от требований точности.
При низкой точности Δσ = 0,4. 0,5
При средней точности Δσ = 0,25. 0,35
При высокой точности Δσ = 0,1. 0,2

Для определения минимального объёма испытаний подбирают χ 2 α/2;kи χ 2 0,5;k с таким числом степеней свободы k при принятом α, чтобы выполнялось равенство (2.4). По найденному числу степеней свободы находят объем испытаний.

Пример 2.2. Определить минимально необходимый объем ис-пытаний для оценки среднеквадратического отклонения некоторой характеристики при средней точности и доверительной вероятности 0,95.

Фрагмент выполнения примера 2.2 показан на рис.2.2.

Рис. 2.2. Фрагмент расчёта для примера 2.2.

Вводим исходные данные в ячейки В3 и В4. При этом принимаем, для средней точности, Δσ = 0.3. Рассчитываем уровень значимости. Находим левую часть уравнения (2.4).

Далее возможно задать некоторое значение объёма испытаний, рассчитать правую часть уравнения (2.4), и затем подобрать минимально необходимый объём испытаний, соответствующий минимуму разности между левой и правой частями уравнения (2.4). Однако для автоматического определения необходимого объёма испытаний при вводе новых исходных данных лучше поступить так.

Вводим пять столбцов, для k, χ 2 α/2;k и χ 2 0,5;k χ 2 α/2;k/χ 2 0,5;k, а также для модуля (функция ABS) разности между левой и правой частями уравнения (2.4). В столбце для k вводим возможные значения степеней свободы: 1, 2, 3 и т.д., например, до 500. Для этого можно исполь-зовать команду Заполнить – Прогрессия. В остальных столбцах рассчитываем соответствующие значения, в тех же диапазонах, что и k.

Например, в столбце χ 2 α/2;k рассчитываем значение при k = 1 (ячейка Е4 на рис. 2.2), при этом в строках диалогового окна функции ХИ2ОБР вводим ссылку на k и формулу для расчёта α/2 со ссылкой на ячейку со значением α. Формулу из ячейки E4 копируем в диапазон Е4:E503 (этот диапазон соответствует диапазону значений k при максимальном k = 500). Однако сначала надо задать в формуле абсолютную адресацию для ячейки, в которой находится значение Α, поскольку при копировании ссылка на эту ячейку не должна меняться. Для задания абсолютной адресации перед именами строк и столбцов следует ввести символ $. Это можно сделать в строке формул вводом с клавиатуры, но более эффективно в строке формул выделить адрес нужной ячейки, нажать клавишу F4, а затем Enter. В результате, например, в ячейке Е4 должна быть получена формула =ХИ2ОБР($B$6/2;D4).

Получив значения в столбцах, следует найти номер строки, в которой находится минимальное значение модуля разности между левой и правой частями уравнения (2.4). По номеру строки можно найти число степеней свободы, а по нему – минимально необходимый объём испытаний.

Читайте также:  Faw besturn t77 объем багажника

Номер строки находится с использованием применяемого в Excel понятия массива. Для этого в ячейке, например, А9 вводим Строка =, в ячейке В9 вводим формулу:

После этого, чтобы данная формула была формулой массива, нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (формула CSE), после чего формула будет заключена в фигурные скобки. Фигурные скобки указывают, что это формула массива. Следует иметь в виду, что ввод фигурных скобок с клавиатуры не даст нужного результата. Кроме того, при каждом переводе курсора в строку формулы массива необходимо заново нажимать CTRL+SHIFT+ENTER, иначе формула уже не будет восприниматься как формула массива. Эта формула массива работает так: в результате выполнения функции ЕСЛИ создается новый массив, соответствующий диапазону Н4:Н503. Если некоторая ячейка содержит минимальное значение в диапазоне (по внутренней функции МИН), массив будет содержать номер этой строки. Иначе массив содержит пустую строку (» «). Внешняя функция МИН использует полученный массив в качестве своего второго аргумента и выдаёт номер строки с минимальным значением в диапазоне Н4:Н503. Если диапазон Н4:Н503 содержит несколько одинаковых минимальных значений, формула выдаёт наименьший номер строки. Далее по номеру строки рассчитывают число степеней свободы и минимально необходимый объем испытаний для оценки среднеквадратического отклонения. В частности, для нахождения числа степеней свободы от найденного номера строки отнимают 3, поскольку значения в столбцах начинаются только с четвёртой строки.

Задание.
1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 2.1.
2. Выполнить расчёты в соответствии с примером 2.2. Определить при этом минимально необходимый объём испытаний.
3. Рассчитать таблицу минимально необходимых объёмов испытаний для оценки математического ожидания при α, γ и ΔМ, указанных в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Вариант Уровень значимости ΔМ Генеральный коэффициент вариации
Минимальный Максимальный Шаг
1 0,05 0,01 0,01 0,2 0,005
2 0,1 0,02 0,02 0,3 0,005
3 0,05 0,03 0,01 0,2 0,005
4 0,1 0,04 0,02 0,3 0,005
5 0,05 0,05 0,01 0,2 0,005
6 0,1 0,01 0,02 0,3 0,005
7 0,05 0,02 0,01 0,2 0,005
8 0,1 0,03 0,02 0,3 0,005
9 0,05 0,04 0,01 0,2 0,005
10 0,1 0,05 0,02 0,3 0,005

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Далее &nbsp &nbsp Содержание
© В.В.Заляжных
При использовании материалов, пожалуйста, ставьте прямую индексируемую ссылку на сайт

Источник

Минимальный объем системы кондиционирования с чиллером

Семенов Юрий Владимирович, Технический директор ООО «Мультиинжиниринг»

Объем оказывает существенное влияние на работу системы кондиционирования с чиллером. Проанализировано влияние характеристик чиллера на минимальный объем системы. Получена соответствующая расчетная формула.

Что такое минимальный объем системы

В современных чиллерах холодопроизводительностью в сотни киловатт применяются спиральные и винтовые компрессоры, работающие на хладагентах R134a, R410A и R407C.
Такой чиллер имеет минимальную холодопроизводительность, равную первой ступени производительности винтового компрессора (25–30 % от номинальной производительности) или производительности одного спирального компрессора.
Чиллер отключается, если нагрузка на него становится меньше его минимальной производительности.
Если нагрузка вновь возрастает всего через несколько секунд, то чиллер не может сразу включиться в работу, т. к. в его контроллере заложены определенные задержки включения ступени производительности (компрессора), позволяющие контроллеру «убедиться», что повышение нагрузки не было случайным, и, кроме того, ограничивающие число пусков компрессора в час.
Чем больше объем системы, тем реже контроллером выдается команда на выключение/включение компрессора и тем более стабильную температуру воды имеют потребители при простое чиллера. Чтобы система работала в оптимальном режиме, объем системы должен быть не менее определенного минимального значения, обеспечивающего необходимую для данного чиллера инерцию системы.
Рекомендации по минимальному объему системы можно найти в технической документации производителей чиллеров. Обычно такие данные приводятся к 1 кВт производительности.
Например, компания AERMEC [1, 2] рекомендует минимальный объем системы в размере 15–22 л на 1 кВт минимальной производительности чиллера, компания Carrier[3, 4]– 2,5–3,25 л на 1 кВт номинальной производительности чиллера.
Попробуем выяснить, на чем основаны такие рекомендации и как в общем случае определить минимальный объем системы для выбранного чиллера.

Читайте также:  Faw besturn t77 объем багажника

Как работает современный чиллер?

Чтобы оценить влияние различных факторов на минимальный объем системы, рассмотрим в качестве примера чиллер производительностью 300 кВт, имеющий 4 ступени производительности (25, 50, 75 и 100 %). Производительность чиллера связана с массовым расходом воды известной зависимостью [5]:
Q = cGDT, (1)
где Q – номинальная холодопроизводительность, кВт;
с – удельная теплоемкость воды, кДж/(кг·К);
G – массовый расход воды, кг/с;
DT – номинальная разность температур воды (вход–выход), K.
Массовый расход воды G равен произведению объемного расхода v, м3/с, на плотность воды. Полагая, что плотность воды равна 1000 кг/м3, а теплоемкость 4,19 кДж/(кг·K), из формулы (1) определим номинальный расход воды через чиллер:

v = Q / (4190 * DT) , м3/с (2)

v = 0,8592Q / DT, м3/ч. (3)

Этот постоянный расход через чиллер должен обеспечиваться циркуляционным насосом.
При температуре воды на входе в чиллер t1 = 12 °С и температуре на выходе t2 = 6 °С получим, что DT = 6 K и v = 42,96 м3/ч.
В идеальном случае чиллер должен обеспечивать постояннуюt2, в реальности же задаются определенной погрешностью, с которой нужно поддерживать температуру на выходе из чиллера.
Например, если мы хотим поддерживать t2 = 6 °С с погрешностью 0,5 K, то минимальное значение температуры будет равно 5,5 °С, максимальное 6,5 °С.
При постоянном расходе воды через чиллер v= 42,96 м3/ч и номинальной производительности Q = 300 кВт значению t2 = 6°С соответствует t1 = 12 °С.
Если чиллер имеет 4 ступени производительности по 25 %, то одной ступени производительности DS соответствует 1,5 K (DT / 4 = 6/4).
Тогда при t2 = 6 °С первой ступени производительности (25 %) будет соответствовать t1 = 7,5 °С, второй (50 %) — t1 = 9 °С, третьей (75 %) — t1 = 10,5 °С и четвертой (100 %) — t1 = 12 °С. Разность температур включения и выключения ступени df называют дифференциалом или гистерезисом.
На рис.1 представлена упрощенная диаграмма работы контроллера чиллера. Предварительно в контроллере задаются:
– уставка (Set Point) – номинальная t1 первой ступени (в нашем случае SP= 7,5 °С);
– дифференциал (одинаковый для всех ступеней) принимаем df= 1K;
– шаг между включением/выключением ступеней – в нашем случае DS=1,5K.
Управление работой чиллера осуществляется по температуре входящей воды. Контроллер воспринимает аналоговый сигнал от датчика температуры воды на входе в чиллер и в соответствии с заданным алгоритмом последовательно включает/выключает ступени производительности чиллера при изменении t1.
Первая ступень производительности включается, когда t1 ³SP+df/2, т.е в нашем случае при t1 ³ 8.
Если температура на входе в чиллер продолжает возрастать, то после определенной задержки включается следующая ступень производительности (в нашем случае 50 %) и т. д. до 100 % производительности.
Если температура на входе в чиллер снижается, то ступени начинают последовательно отключаться.
Первая ступень производительности отключается, когдаt1 £SP – df/2, т.е в нашем случае при t1 £ 7.
Отключение первой ступени производительности, естественно, соответствует выключению чиллера.
Температуры включения/выключения ступеней производительности для нашего случая приведены в табл. 1.

Номинальнаяt1, °С

Температура включения, °С

Температура выключения, °С

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем
Ступень