Как соединить три точки окружностью

Окружность. Круг.

Окружностью называется кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки; эта точка называется центром окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Отрезок прямой, соединяющий точку окружности с её центром, называется радиусом (рис. 84).

Так как все точки окружности находятся от центра на одном и том же расстоянии, то все радиусы одной и той же окружности равны между собой. Радиус обыкновенно обозначается буквой R или r.

Точка, взятая внутри окружности, находится от её центра на расстоянии, меньшем радиуса. В этом легко убедиться, если через данную точку провести радиус (рис. 85).

Точка, взятая вне окружности, находится от её центра на расстоянии, большем радиуса. В этом легко убедиться, если соединить данную точку с центром окружности (рис. 85).

Отрезок прямой, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром (рис. 84). Диаметр обыкновенно обозначается буквой D. Диаметр равен двум радиусам:

Так как все радиусы одного и того же круга равны между собой, то и все диаметры данного круга равны между собой.

Теорема . Хорда, не проходящая через центр круга, меньше диаметра, проведённого в том же круге.

В самом деле, если проведём какую-нибудь хорду, например АВ, и соединим её концы с центром О (рис. 86), то увидим, что хорда АВ меньше ломаной линии АО + ОВ, т. е. АВ \(\breve\); \(\breve\) Задача. Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность.

Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (черт.311).

Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.

Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведем прямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.

Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.

Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.

Примечание. Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.

Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (черт. 311), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК⊥АС.

Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.

Источник

Как соединить три точки окружностью

Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (см. рис.).

Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.

Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведемпрямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.

Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.

Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.

Примечание. Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.

Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (рис.), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК ⊥ АС.

Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.

Источник

Алгоритм построения окружности по трем точкам: геометрическое воспоминание

Если строить окружность по трем заданным точкам механическим способом, то потребуется выполнить несколько геометрических построений в определенной последовательности, т.е. по определенному алгоритму:

1. Построить два отрезка, например, АС и ВС.

2. С помощью циркуля и линейки найти середины этих отрезков.

3. Построить перпендикулярные прямые через середины отрезков.

4. Найти точку пересечения перпендикулярных прямых – центр искомой окружности – например, точка D.

5. Построить окружность радиусом AD.

6. Удалить вспомогательные построения, отрезки АС и ВС.

На рис. 11.4 показан результат выполнения этого алгоритма до пункта 5 в программе КОМПАС-3D LT. При его выполнении использовались команды Отрезок, Окружность по центру и точке (можно – Дуга по центру и двум точкам) и Вспомогательная прямая (режим Ставить точки пересечений при вводе прямой – кнопка – включен).

Рис. 11.4. Построение окружности по трем точкам с использованием стандартного алгоритма.

После выполнения п. 5 будет построена требуемая окружность – рис. 11.5.

После выполнения п. 6 мы получим следующее – рис. 11.6.

Итак, мы описали алгоритм геометрического способа построения окружности по трем точкам с помощью циркуля и линейки и его реализацию в КОМПАС-3D LT с помощью компьютерной «линейки» и «циркуля».

2.1. На новом листе фрагмента произвольно поставьте три точки.

2.2. С помощью команд Окружность и Вспомогательная прямая начертите окружность, проходящую через указанные вами три точки пользуясь описанным выше алгоритмом и рисунками 11.4–11.6.

Задание 3. Построение окружности по трем точкам с использованием инструмента Окружность по трем точкам

Постройте окружность, проходящую через три точки с координатами (20; 50), (50; 10) и (70; 90).

3.1. Создайте лист фрагмента.

3.2. Постройте три заданные точки, стиль Крест.

3.3. Прервите выполнение команды Точка и выберите команду Показать все (рис. 11.7).

Рис. 11.7. Простановка точек для проведения окружности.

3.4. Выберите команду Окружность по трем точкам.

Панель свойств объекта, т.е. окружности, которую мы будем строить, имеет вид ,показанный на рис. 11.8.

Рис. 11.8. Панель свойств команды Окружность по трем точкам.

Здесь т1, т2, т3 – поля ввода координат x и y трех точек, лежащих на окружности

Строка параметров объекта имеет справочные поля:

· Центр – поля координат x и y точки центра окружности, которая строится по трем точкам;

· Радиус – поле радиуса окружности.

Внимание.

Ввести данные в эти поля невозможно, в них будет отображаться информация об окружности, построенной по трем заданным точкам.

3.5. Отключите отрисовку осей симметрии окружности.

3.6. Проведите построениеокружности по следующему плану:

1) Переместите курсор в рабочее поле.

2) На запрос в строке сообщения:

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Источник

Как соединить три точки окружностью

Перевод Кантора И.А.

Вычисление центра

Проведем через пары точек две прямые. Первая линия пусть проходит через P₁ и P₂, а прямая b — через P₂ и P₃.
Уравнения этих прямых будут

где m — коэффициент наклона линии, получаемый из

Центр круга — находится на пересечении двух перпендикулярных прямых, проходящих через середины отрезков P₁P₂ и P₂ P₃. Легко доказать, что прямая, перпендикулярная к линии с коэффициентом наклона m имеет коэффициент наклона -1/m, значит уравнения прямых, перпендикулярных a и b и проходящих через середины P₁P₂ и P₂P₃ будут

Они пересекаются в центре, и решение относительно x дает

Значение у вычислим подстановкой x в уравнение одного из перпендикуляров. Можно и наоборот: сначала решить относительно y, а потом найти x.

Радиус

Радиус найти элементарно. Например, точка P₁ лежит на окружности. и мы знаем центр..

Источник

Построение окружности, проходящей через три заданные точки

Для построения окружности, проходящей через три точки А(x1,y1), B(x2,y2) и C(x3,y3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Окружность задается уравнением

,

где x0,y0 — координаты центра окружности;

R — радиус окружности.

2. Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

.

Данная система является нелинейной. В ней три неизвестные переменные: x0, y0 и R. Система решается с применением вычислительного блока Given – Find.

Пример. Построение окружности, проходящей через три точки А(–2,0), B(6,0) и C(2,4).

Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.

Рис. 6.11. Решение системы

В результате решения системы получено: x0 = 2, y0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Получим: . Выразим отсюда y и построим окружность (рис. 6.12).

Источник