Трапеция. Свойства трапеции
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники и
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия –
Отношение площадей этих треугольников есть .
4. Треугольники и
, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —
и
, то
Площадь
или
где
– средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Источник
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Как решать задачи с трапецией
Чтобы понять, как решать задачи с трапецией, полезно запомнить три основных пути решения.
I. Провести две высоты.
Ia. Четырехугольник BCKF — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, FK=BC.
AD=AF+FK+KD, отсюда AD=AF+BC+KD.
Треугольники ABF и DCK — прямоугольные.
(Следует учесть и другой вариант:
Ib.
В этом случае AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)
Ic. Если трапеция равнобедренная, решение задачи упрощается:
В этом случае прямоугольные треугольники ABF и DCK равны, например, по катету и гипотенузе (AB=CD по условию, BF=CK как высоты трапеции). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
II. Провести прямую, параллельную боковой стороне.
IIa. BM ∥ CD. Так как BC ∥ AD (как основания трапеции), то BCDM — параллелограмм. Следовательно, MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.
IIb. В частности, для равнобедренной трапеции
BM ∥ CD. Так как CD=AB, то и BM=AB. То есть получаем равнобедренный треугольник ABM и параллелограмм BCDM.
III. Продолжить боковые стороны и получить треугольник.
Прямые AB и CD пересекаются в точке P.
Треугольники APD и BPC подобны по двум углам (угол P — общий, ∠ PAD= ∠ PBC как соответственные при BC ∥ AD и секущей AP).
Следовательно, их стороны пропорциональны:
Эти три подхода к решению задач на трапецию — основные. Помимо них, существует много других способов. Некоторые рассмотрены на этом сайте. Например, здесь — как решать задачи с трапецией, у которой диагонали перпендикулярны.
Источник
Трапеция — определение, формулы и свойства
Перед тобой лучший гид по трапеции! Только то, что нужно. Без воды.
Основные определения, формулы и свойства.
Помни о своей цели!
Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!
Трапеция — коротко о главном
Что такое трапеция:
Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).
Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°
\( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ \)
Средняя линия трапеции:
Средняя линия трапеции (\( \displaystyle MN\)) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон: \( \displaystyle AM=MB,\ \ CN=ND\).
Средняя линия параллельна основаниям: \( \displaystyle MN\parallel BC\parallel AD\).
Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: \( \displaystyle MN=\frac
<2>\).
Диагонали трапеции:
Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.
Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
(\( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\)) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: \( \displaystyle k=\frac\).
Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: \( \displaystyle <
_<\Delta AOB>>=<_<\Delta COD>>\).
Равнобедренная (равнобокая трапеция)
Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны: \( \displaystyle AB=CD\).
Свойства равнобедренной трапеции:
Углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle D,\text< >\angle B=\angle C\);
Сумма противолежащих углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180<>^\circ \).
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: \( \displaystyle A<
^<2>>=B< ^<2>>=AD\cdot BC+A<^<2>>\).
Если трапецию можно вписать в окружность…
Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( \displaystyle <
_>=\frac <2>\cdot h\).
Для справки: В нашем учебнике для подготовки к ЕГЭ по математике есть все темы планиметрии и стереометрии (да и алгебры тоже есть).
Что такое трапеция?
Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.
Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.
Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.
Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).
И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?
А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)
Свойства трапеции
Итак, что ты должен знать о свойствах трапеции…
Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ \))
Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая.
Вот и получается, что \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\) – внутренние односторонние углы при параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) и секущей \( \displaystyle AB\).
Поэтому \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \).
И точно так же \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 4\) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\), но секущая теперь – \( \displaystyle CD\).
Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.
Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:
Источник