Как разрезать трапецию с треугольниками на 4 равные части

Разрезать трапецию на четыре равные части Как разрезать равносторонний треугольник на 4 равные части, видно из рисунка: Если удалить верхний треугольник, — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемАлександра Мутылина

Похожие презентации

Презентация на тему: » Разрезать трапецию на четыре равные части Как разрезать равносторонний треугольник на 4 равные части, видно из рисунка: Если удалить верхний треугольник,» — Транскрипт:

2 Разрезать трапецию на четыре равные части Как разрезать равносторонний треугольник на 4 равные части, видно из рисунка: Если удалить верхний треугольник, то оставшиеся 3 треугольника образуют трапецию: Попробуйте её разрезать тоже на 4 равные части.

3 Разрезать «ракету» на четыре равные части Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на 4 равных четырёхугольника:

4 Разрезание фигур на клетчатой бумаге На рисунке изображены две фигуры. Первую из них надо разрезать на четыре равные фигуры, а вторую на пять.

5 8 кусочков Разделите приведенную фигуру на 8 одинаковых частей. ответ

6 Получи квадрат ответ Разрежьте приведенную фигуру на 3 части и сложите из них квадрат. Решите задачу двумя способами.

7 Из двух квадратов один Имеются два квадрата 3×3 и 1×1. Разрезать эти квадраты на части, из которых можно было бы сложить один квадрат. Если вы справились с этой задачей, то попробуйте решить её в общем виде: перекроить два произвольных квадрата в один.

8 Разделить фигуру на равные части Попробуйте разделить данную фигуру ломаными линиями на три одинаковые части. [ Ответ на головоломку ] Ответ на головоломку

9 Разрежьте фигуру на четыре одинаковых многоугольника отличающихся по своей форме от исходной фигуры. [ Ответ на головоломку ] Ответ на головоломку

10 Квадрат Перед вами два квадрата, один из которых уже разделен на четыре одинаковых треугольника. Как при помощи этих треугольников и маленького квадрата сложить один большой квадрат? Ничего больше разрезать не требуется. [ Ответ на головоломку ]Ответ на головоломку

11 У одной из сестер милосердия, было пять кусков красной материи, из которых она, используя все эти куски и не разрезая их более, сшила крест. Как она это сделала? [ Ответ на головоломку ] Ответ на головоломку

12 Разрежьте фигуру двумя резами на четыре части и соберите их низ квадрат. [ Ответ на головоломку ] Ответ на головоломку

13 Разделите фигуру на две одинаковые части, и из полученных частей сложите шахматную доску. [ Ответ на головоломку ] Ответ на головоломку

14 Праздничный пирог разрезан на шестнадцать одинаковых квадратных кусков. Возможно ли было разрезать пирог на шесть квадратных кусков (можно даже различных размеров)? Если возможно — то каким образом это сделать? [ Ответ на головоломку ] Ответ на головоломку

15 На рисунке изображена фигура в виде запятой. При помощи одной кривой линии разделите эту фигуру на две одинаковые части. Какую геометрическую фигуру можно сложить из двух таких фигур («запятых»)? [ Ответ на головоломку ] Ответ на головоломку

Читайте также:  Окружность груди плода по неделям

16 Каким образом необходимо разрезать данный крест, чтобы из полученных кусков можно было собрать квадрат с пустотой внутри него в виде такого же по форме и размерам креста. [ Ответ на головоломку ] Ответ на головоломку

Источник

Разбиение на подобные треугольники

Как разбить треугольник на подобные ему треугольники? 1 Сколько треугольников можно получить при таких разбиениях?

Разбиения равностороннего треугольника на равносторонние: от 4 до бесконечности

Очень легко разбить любой равносторонний треугольник на 4 равных равносторонних треугольника, соединив отрезками середины его сторон, то есть проведя средние линии (рис. 1, а).

Продолжая разбивать этим же способом получающиеся части, мы сможем разделить исходный треугольник на 7, 10, 13, . равносторонних треугольников, и вообще, на любое их число вида 3k + 1 (где k — натуральное). Отметим, что среди треугольников разбиения обязательно будут равные.

Аналогично строится одна из самоподобных фигур — треугольник Серпинского (такие фигуры называются фракталами). В равностороннем треугольнике проводятся средние линии и «вынимается» средний из четырёх получившихся треугольников. Этот процесс повторяется в каждом из трёх остальных треугольников и т. д., до бесконечности. Итоговая фигура (рис. 1, б) имеет ту же форму, что и её части.

А если делить стороны равностороннего треугольника не на 2 равные части, а на 3, 4 и т. д.? Тогда можно разбить его на 9, 16, . равных равносторонних треугольников (рис. 2, а, б). Ведь если поделить одну из сторон на n равных частей, то сторона маленького треугольника будет в n раз меньше стороны исходного, а площадь тогда — в n 2 раз меньше. Это и значит, что в разбиении будет n 2 треугольников. Кстати, их можно было подсчитать и по «слоям»: в верхнем слое — один треугольник, в следующем — 3, в последующем — 5, . в самом нижнем слое будет 2n − 1 треугольников. Попутно мы доказали геометрически, что 1 + 3 + . + (2n − 1) = n 2 .

Обобщаем на произвольные треугольники

Всё сказанное выше легко обобщить на случай произвольного треугольника, проводя три семейства параллельных прямых (в каждом семействе прямые параллельны одной стороне и делят каждую из двух других сторон на n равных частей). Теперь несложно понять, как разбить любой треугольник на n ему подобных, где n > 5. Разбиение на 6 треугольников, подобных исходному, получается, если сделать чертёж, аналогичный рисунку 2, а, и стереть лишние линии (рис. 3, а). Разбиение на 8 подобных (рис. 3, б) получается из рисунка 2, б, и т. д., для любых чётных n, больших 5. Если же n — нечётное, то после стирания надо сделать ещё один шаг: разбить «верхний» треугольник средними линиями на четыре равных. На рисунке 3, в показано такое разбиение на 11 треугольников.

А вот на 2, 3 или 5 треугольников, подобных исходному, можно разбить не любой треугольник.

Прямоугольные треугольники

Выясним, какой треугольник можно разбить на два ему подобных. Пусть отрезок CD делит треугольник АВС на два ему подобных: ACD и BCD. Если ∠ САD = α, ∠ AСD = β, то ∠ BDС = α + β (рис. 4, а). Тогда в треугольнике ACD должен быть угол α + β, и это может быть только угол ADС. Значит, ∠ АDС = ∠ ВDС = α + β = 90°. Тогда исходный треугольник тоже прямоугольный, и ∠ AСВ = 90°.

Так как α + β = 90°, то ∠ DCB = α, ∠ АВС = β, и треугольники ACD и BCD подобны треугольнику АВС (рис. 4, б).

Читайте также:  Как решить задачу с касательными к окружности

Проведя в любом из полученных треугольников высоту из вершины D, мы разобьём треугольник АВС на три треугольника, ему подобных. Продолжая этот процесс, можно разбить прямоугольный треугольник на любое количество ему подобных. А можно ли сделать эти треугольники равными? Иногда можно.

Так, если прямоугольный треугольник АВС — ещё и равнобедренный, высота CD разбивает его на 2 равных прямоугольных равнобедренных треугольника, подобных ABC, а их высоты, проведённые из вершины D, дают уже 4. Продолжая, можно разбить прямоугольный равнобедренный треугольник на 2 n равных треугольников, подобных ему (n — любое натуральное).

Но этот случай — не единственный. Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны целым числам m и k, тогда его можно разбить на m 2 + k 2 равных треугольников, подобных ему. Для этого проведём высоту из вершины прямого угла и разобьём один получившийся треугольник на m 2 , а другой — на k 2 равных треугольников, как на рисунке 2. Полученные маленькие прямоугольные треугольники двух видов равны (по гипотенузе и острому углу) и подобны исходному. На рисунке 5 — пример разбиения треугольника с катетами 5 и 7 на 74 = 5 2 + 7 2 равных треугольника.

Разбиения на различные подобные треугольники

А какой треугольник можно разбить на треугольники, ему подобные, среди которых не будет равных? Оказывается, любой неравносторонний. Перед тем как объяснить решение, напомним, что в подобных треугольниках равны отношения соответствующих сторон. Построить искомое разбиение поможет обобщённая теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Рассмотрим треугольник АВС, в котором BC / AC = k > 1. Приложим к треугольнику ABC треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (рис. 6). Получим треугольник, разбитый на 6 неравных подобных треугольников.

Треугольники ABC, 1, 2, 3, 4 все различны, так как каждый следующий в k раз больше предыдущего.

Но треугольники 4 и 5 могут оказаться равными, если k + k 3 = k 4 . Тогда достроим треугольники 6 и 7, а треугольник 5 заменим треугольником 8. Треугольники 7 и 8 не равны, так как k 6 ≠ k + k 3 + k 5 . Ведь если k + k 3 = k 4 , то k 6 = k 2 (k + k 3 ) = k 3 + k 5 3 + k 5 .

Вместо заключения

Какие треугольники разрезаются на 5 подобных, до конца неизвестно, см. статью Б. Френкина «О разрезании треугольника на подобные ему» («Квант» № 4 за 2008 г.). Развитие темы для многоугольников см. в книге М. Гарднера «Математические досуги» (Мир, 2000; гл. 24: «Делящиеся» фигуры на плоскости).

Художник Мария Усеинова

Задачи для самостоятельного решения

1. Можно ли какой-нибудь треугольник разбить на три равных треугольника, подобных исходному?

2. Можно ли разбить на пять треугольников, подобных исходному, какой-нибудь: а) прямоугольный треугольник; б) (С. Маркелов) непрямоугольный треугольник?

3. (Т. Емельянова) Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все между собой равны.

4. (А. Галочкин) Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

5. (Д. Шноль) Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей первого подобна одной из частей второго. Обязательно ли подобны оставшиеся части?

6. (М. Панов) Можно ли равносторонний треугольник разбить на 5 равнобедренных, но попарно не подобных?

1 Два треугольника подобны, если углы одного соответственно равны углам другого (достаточно соответствующего равенства двух углов).

Источник

Задачи на разрезание

Задача на разрезание параллелограмма

Скачать:

Вложение Размер
prezentaciya_zadachi_na_razrezanie.ppt 1.32 МБ
referat_po_geometrii.doc 685 КБ
Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Подготовила Незовибатько Анастасия 7 «б» МАОУ гимназии №1 Геометрия ЗАДАЧИ НА РАЗРЕЗАНИЕ

Задачи на разрезание. Задачи на разрезание являются одной из представительниц целой группы головоломок с общим названием «полимино»(производное от домино).

Этот термин в 1953 году ввел в употребление американский математик Соломон Голомб – создатель теории полимино и многочисленных геометрических головоломок с фигурками тримино, тетрамино и пентамино (что означает три, четыре, пять). Его книга с описанием многочисленных головоломок стала мировым бестселлером, была переведена на множество языков, в том числе и русский.

В нашей стране расцвет этой головоломки наступил после 1975 года благодаря публикациям в журнале «Наука и жизнь», где тема полимино стала едва ли не постоянной рубрикой. После публикации выяснилось, что есть и наш отечественный изобретатель пантамино – ленинградец Н.Д. Сергиевский, предположивший эту головоломку еще в 1935 году под названием «12 по 5». В 1951 году эта головоломка учавсвовала во Всесоюзном конкурсе детской игрушки.

После этого связанные с полимино игры и задачи удивительно быстро распространялись по всему миру и захватили обширную аудиторию от младших школьников до профессиональных математиков.

Я предлагаю рассмотреть несколько задач на разрезание, первые из которых иллюстрируют вывод формул площади параллелограмма, треугольника, трапеции.

Параллелограмм разрежьте на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

2. Данный прямоугольник разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить: а) Треугольник; б) Параллелограмм; в) Трапецию. а) б) Данный прямоугольник Данный прямоугольник треугольник параллелограмм

В) Данный прямоугольник трапеция

2. Треугольник разрежьте на две части, из которых можно сложить параллелограмм.

3. Трапецию разрежьте на две части, из которых можно сложить треугольник.

Трапецию разрежьте на три части, из которых можно сложить прямоугольник.

Правильный шестиугольник разрежьте на две части,из которых можно составить параллелограмм.

4. Разрежьте данную фигуру, составленную из трех квадратов, на четыре равные части. Следующие задачи более сложные

Рассмотрим греческий крест. Греческий крест разрежьте на несколько частей и составьте из них квадрат.

Теперь усложним эту задачу и решим ее. Греческий крест разрежьте двумя разрезами и составьте из полученных частей квадрат. шаг 1 шаг 2 1 1 2 2 3 3

Задачи на доказательство Используя задачи на разрезания, докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению его наибольшей и наименьшей диагоналей. Доказательство: 1. Проведем д.п. : наибольшую диагональ АВ 2. Проведем наименьшую диагональ С D 3 .С D =а= d ( меньшая сторона прямоугольника) АВ= b (большая сторона прямоугольника) Т.к. АВ = С D +2АМ = b = d большего. AM=NB=SP=KC 4. S пр.= a · b (произведению его смежных сторон) Т.к. а= d м., b = d б., отсюда следует, что S = d б. · d м. ( площадь равна диагонали большого умноженное на диагональ меньшего)

Докажите, что никакой выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы. Доказательство: Если выпуклый многоугольник разрезан на параллелограммы, то у каждой его стороны есть противоположная, параллельная ей сторона. Таким образом, число сторон должно быть четным. Т.к. в данной фигуре 13 сторон, а число 13 не четное, значит и число сторон у фигуры не четное. Ответ:13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы

Почему я выбрала эту тему?! Я выбрала эту тему потому, что мне интересна геометрия, и я хочу узнать еще больше чем знаю. Задачи на разрезание формируют геометрические представления о площади и ее свойствах, развивают практические навыки, воспитывают интерес к геометрии. С помощью них у нас развиваются фантазия и логика.

Источник

Читайте также:  Окружность построенная на стороне bc треугольника abc как на диаметре пересекает стороны
Поделиться с друзьями
Объясняем