Как разделить трапецию на две равные части

От двух до пяти, Или о равных отрезках в трапеции

Наш разговор посвящен равным отрезкам в трапеции. Некоторые из этих отрезков весьма знамениты, с другими мы где-то (возможно, на олимпиадах) встречались. Третьи и вовсе могут нам показаться незнакомыми. Но все вместе они являют любопытную коллекцию важных, полезных, подчас непростых задач. В основном нас ожидают встречи с двумя и тремя равными отрезками, но в целом их насчитывается от двух до пяти. Итак, начинаем.

Задача 1. Докажите, что x = y, где EF AD (рис. 1).

Доказательство. Треугольники AEK и ABC подобны и
(1)
Аналогично, треугольники DFN и DCB подобны и
(2)
Сравнив (1) и (2), получаем: x = y.

Задача 2. Покажите, что x = y, где EF AD (L — точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции ABCD и лежит на EF (рис. 2)).
При помощи одной линейки постройте отрезок, равный

Решение. Поскольку треугольники BLE и BAD, CLF и CDA подобны, то после составления пропорций, как и в задаче 1, получим: x = y. Далее:

Сложим левые и правые части равенств (3) и (4). С учетом того, что h 1 + h = h 2 , получим: или bx + ab = ax, откуда Значит, отрезок EF и есть тот отрезок, который необходимо построить при помощи одной линейки. Остается показать, как через данную точку L построить прямую, параллельную двум данным
( BC и AD), пользуясь только линейкой.

Такое построение предложено на рисунке 3 с указанием порядка проведения линий. Дополнительные комментарии представляются излишними.

Задача 3. Найдите отношение оснований трапеции ABCD, если x = y, где x = LO, y = OM (рис. 4).

Решение. Поскольку LO = OM, то (средняя линия в треугольнике ALD). С другой стороны, EF — один из самых знаменитых отрезков в трапеции ABCD, и (покажите!). Тогда имеем: или 4b = a + b, откуда

Задача 4. Под каким углом пересекаются боковые стороны трапеции, если x = y (рис. 5), где x — отрезок, соединяющий середины диагоналей, y — отрезок, соединяющий середины оснований.

Решение. KG NM и KG = NM — они параллельны и равны AB как средние линии соответственно в треугольниках ABC и ABD. Значит, KGNM — параллелограмм. Но поскольку x = y, то это параллелограмм с равными диагоналями, то есть прямоугольник. Следовательно, ∠ KGN = 90°. Тогда и угол между прямыми AB и CD также равен 90°.

Задача 5. Для оснований трапеции ABCD справедливо равенство a 2 = b 2 + ab. Докажите, что x = y, или BO = DN, где CK AB (рис. 6).

Доказательство. Равенство a 2 = b 2 + ab равносильно пропорции Треугольники BOC и DOA подобны, и Треугольники DNK и BNC подобны, и Поскольку то Имеем: x 2 + xt = y 2 + yt, или (x – y)(x + y + t) = 0.
Однако x + y + t > 0, поэтому x = y.

Задача 6. В трапеции ABCD x = y = z, ∠ACD = 90°(рис. 7). Найдите углы трапеции.

Решение. Пусть ∠1 = ∠2 = α. Тогда ∠2 = ∠3 = α (внутренние накрест лежащие при BC AD). Значит, ∠A = ∠D = 2α. Из треугольника ACD
α + 2α = 90°, откуда α = 30°.
Ответ: 60° и 120°.

Статья опубликована при поддержке интернет-сайта «ЕГЭ по математике ОНЛАЙН». Электронный онлайн курс ЕГЭ по математике 2016 — базовый и профильный уровень, расширенный доступ бесплатно, индивидуальные рекомендации, демонстрационный вариант ЕГЭ 2015 года. Пройти тест Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: егэ-по-математике.онлайн.

Задача 7. Пересеките трапецию ABCD прямой, параллельной основаниям так, чтобы ее отрезок, лежащий внутри трапеции, делился диагоналями на три равные части.
Решение. Пусть M — середина основания AD, AC и BD — диагонали (рис. 8). Пусть также
K = BM ∩ AC. Проведем через K прямую EF параллельно AD. При этом EK = KN = NF, или
x = y = z. Действительно, x = y, так как AM = MD,
а x = z — по задаче 1.

Замечание. Существуют два отрезка, отвечающих требованиям задачи. Кроме отрезка EF, это будет еще и отрезок QT (рис. 9). Он строится так же, как и отрезок EF, но берется F — середина основания BC.

Задача 8. ABCD — равнобокая трапеция с перпендикулярными диагоналями AC и BD. Известно, что ортоцентр треугольника ABD делит пополам его высоту AO. Проведя не более одной линии, разделите диагональ BD на три равные части (рис. 10).
Решение. Поскольку трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность. Пусть H — ортоцентр треугольника ABD и AH = HO. C — точка, симметричная ортоцентру H относительно BD (так как она лежит на описанной окружности треугольника ABD). Тогда OC = OH = AH. Диагонали AC и BD равны. Остается из точки O раствором циркуля, равным BO, сделать засечку на диагонали BD — получим точку N. При этом BO = ON = ND.

Задача 9. Существует ли трапеция ABCD, в которой EF — средняя линия и x = y = z = t (рис. 11)?

Решение. Так как EF — средняя линия трапеции ABCD, то она делит любой отрезок между основаниями трапеции пополам, то есть y + z = t. Но, согласно условию, y + z = 2t. Противоречие. Такой трапеции, где x = y = z = t, как на рисунке 11, не существует.

Задача 10. При каком отношении оснований трапеции x = y = z = t = q (рис. 12)?

Решение. Пусть BK = k и DN = n. Равные по условию отрезки обозначим через x. Треугольники KT 3 B и NT 3 D подобны, (по двум углам). Тогда
Треугольники KT 1 B и NT 1 A подобны, и

откуда

Далее, треугольники KT2C и NT2A подобны и

Имеем:

откуда Стало быть,

Еще несколько задач на равные отрезки в трапециях предложим вниманию читателей для самостоятельного решения.

Задача 11. Покажите, что (рис. 13).

Задача 12. Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на три равные части. Найдите отношение оснований. Ответ: 2 : 1.

Задача 13. Основания трапеции ABCD равны a и b. EF и QT параллельны основаниям, при этом x = y = z (рис. 14). Найдите EF и QT.

Ответ:

Задача 14. При помощи одной линейки на основании AD трапеции ABCD постройте точки K и N такие, что AK = KN = ND.

Задача 15. (Санкт-Петербургские олимпиады.) На боковых сторонах трапеции ABCD нашлись точки K и N такие, что KN не параллелен основаниям и при этом x = y = z (рис. 15).
Найдите отношение оснований.

Задача 16. Дано: x = y. Докажите, что z = t (рис. 16).

Задача 17. В трапеции ABCD x = y = z (рис. 17). При каком отношении оснований площадь трапеции будет наибольшей?

Источник

Трапеция

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.

Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Элементы трапеции

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
• Трапеция, у которой один из углов «прямой», называется прямоугольной.

Основные свойства трапеции

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

Формулы длин сторон трапеции

Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

Формулы длины основ трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

Формулы длины основ трапеции через боковые стороны и углы при нижнем основании:

Формулы боковых сторон трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

Формулы длины средних линий трапеции

Формула определения длины средней линии через длины оснований:

Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Формулы длины высоты трапеции

Формула высоты трапеции через сторону и прилегающий угол при основании:

Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними:

Формула высоты трапеции через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Формулы длин диагоналей трапеции

Формулы длин диагоналей трапеции по теореме косинусов:

Формулы длин диагоналей трапеции через четыре стороны:

Формулы длин диагоналей трапеции через высоту:

Формулы длин диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей:

Формулы площади трапеции

Формула площади трапеции через основания и высоту:

Формула площади трапеции через среднюю линию и высоту:

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними:

Формула площади трапеции через четыре стороны:

Источник

Деление треугольника на равные площади параллельными

Рассмотрим интересную задачу по делению произвольного треугольника N параллельными линиями ( относительно какой либо стороны) на части , площадь которых одинакова. Данную задачу никто не изучал, поэтому возьмемся за неё.

Нам надо определить на каком расстоянии от стороны \(c\) , провести красную линию и зеленую линию, параллельную стороне \(c\), так что бы площади \(S_1=S_2=S_3\) были равны.

Исходя из принципа, уже примененного в материалах Деление шара на равные объемы параллельными плоскостями мы можем заметить, что несмотря на сколько частей мы будем делить наш треугольник, всегда будет у нас трапеция с основанием \(c\)

Общая площадь треугольника \(ABC\) можно выразить так \(S=\cfrac<2>\), где \(h\) — высота треугольника

Площадь трапеции ограниченной красной линией и основанием равна произведению их полу суммы и высоты \(h_1\)

Разделив общую площадь треугольника на \(n\) равных частей мы можем написать равенство.

или после преобразований

И вроде бы все хорошо, получается квадратное уравнение, где мы можем найти \(h_1\), но количество исходных данных превышает все разумные границы.

Как же нам узнать и избавится от вычислений углов \(A\) и \(B\)

Сделаем красивое, а значит и простое предположение.

Пусть этот же исходный треугольник мы разделим на 1 часть ( ну то есть фактически оставив его целым)

Тогда высота \(h_1=h\) и следовательно уравнение будет иметь вид

Формула очень элегантна и красива, если же мы её попытаемся преобразовать, то придем, к «страшненькой» но очень известной по всем справочникам формуле

Почему «страшненькая»? Потому что зная например основание, высоту и один из углов, второй угол вычислить без «кувырканий» совершенно невозможно. в отличии от формулы

Но мы отвлеклись от основной темы.

Подставим нашу формулу в первоначальную и получим, после сокращений, вот такое квадратное уравнение:

Какие же выводы мы может сделать?

А то, что любой (любой!!) треугольник с разными сторонами или углами, но имеющих одинаковую высоту, делится всегда в одной пропорции

Взяв от высоты треугольника 0.2928932188135 часть и проведя параллельную линию основания треугольника — мы гарантировано разделим его на две равные части.

Как же мы можем проверить столь необычный вывод?

А мы можем вычислить длину секущей(параллельной прямой) в треугольнике, по методу, который гласит — в подобных треугольниках площади относятся как как квадраты линейных размеров.

То есть если основание какого либо треугольника равно например 10, то меньший подобный треугольник, который получается отсечением по красной линии ( см исходный рисунок) имеет основание \(redline=\cfrac<10><\sqrt(2)>=7.071\)

теперь можно узнать площадь трапеции \(\cfrac<10+7.0.71><2>*0.2928932\) и эта площадь есть половина от площади всего треугольника с основанием 10 и высотой 1., то есть равна 2.5

Фактически последний метод позволяет и без формул узнавать новые высоты треугольника( так как она имеет тоже линейные размеры), но все равно считаю что статья написана не зря.

Что бы разделить треугольник на три части, то высота первой трапеции равна \(1-\sqrt<\cfrac<2><3>>\), что бы разделить на десять частей, первая высота от основания равна \(1-\sqrt<\cfrac<9><10>>\), ну и так далее.

Источник