Как разделить равнобедренный треугольник на три равных

Как разделить равнобедренный треугольник на три равных

Каждая из боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC разделена на три равные части, и через четыре точки деления на этих сторонах проведена окружность, высекающая на основании AC хорду DE . Найдите отношение площадей треугольников ABC и BDE , если AB = BC = 3 и AC = 4.

Подсказка

Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

Решение

Поскольку треугольник ABC — равнобедренный, то AD = EC . Обозначим DE = x . Тогда

Из точки C к указанной окружности проведены две секущие. Произведение всей секущей на её внешнюю часть данной точки и данной окружности постоянно. Поэтому

Отсюда находим, что x = 2 . Следовательно,

Поскольку треугольник ABC — равнобедренный, то AD = EC . Обозначим DE = x . Тогда

Из точки C к указанной окружности проведены две секущие. Произведение всей секущей на её внешнюю часть данной точки и данной окружности постоянно. Поэтому

Отсюда находим, что x = 2 . Следовательно,

Поскольку треугольник ABC — равнобедренный, то AD = EC . Обозначим DE = x . Тогда

Из точки C к указанной окружности проведены две секущие. Произведение всей секущей на её внешнюю часть данной точки и данной окружности постоянно. Поэтому

Отсюда находим, что x = 2 . Следовательно,

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 107

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Можно ли разделить какой-либо треугольник на три равных треугольника?

любой треугольник можно разделить на четыре равных

некоторые треугольники можно разделить на два равных

а существует ли хоть какой-нибудь треугольник который можно было бы разделить на три равных треугольника?

А в чём проблема? Берём равносторонний треугольник, отмечаем его центр. И от этого центра проводим отрезки к вершинам исходного треугольника. И вот оно, случилось — три равные треугольника перед нами.

Конечно можно — равносторонний треугольник можно разделить на 3 части . Для этого проводим перпендикуляры со всех углов к противоположной стороне, на пересечении их получаем центр треугольника и из этого центра ведем прямые в углы — и тадам!! у на 3 равных треугольника (перпендикуляры убрать).

Напрашивается только один вариант деления равностороннего треугольника на 3 равные части.И это треугольники с вершинами в точке О пересечения высот (медиан и биссектрис ), и вершинами, совпадающими с вершинами А,В,С. , треугольника АВС.И это треугольники АОВ, ВОС, АОС. И эти треугольники равны по признаку равенства треугольников по трём сторонам.

2)АО =ОВ = ОС ==2\3 высоты треугольника, которые равны между собой в равностороннем треугольнике.Поэтому :

треугольник АОВ = треугольник ВОС = треугольнику АОС.-Доказано .

Для равнобедренного и другого вида треугольника это решение не выполнимо.

Формул для нахождения стороны треугольника не так уж много, но главное не знать их — а успешно применять при решении задач, ведь далеко не каждую задачу можно решить в лоб.

Читайте также:  Бак комфорт прямоугольный на трубе 73л ф115

Сейчас на примере я покажу, как нужно их применять.

Есть произвольный треугольник со стороной 18 см, один угол при нем равен 30 градусам, а площадь равна 36 см.кв. Нужно найти две другие стороны. Сделаем рисунок

Для решения задачи проведем к основанию (с=18см) высоту h и тем самым разделим наш треугольник на два прямоугольных.

Исходя из формулы площади, найдем высоту

S = 1/2h*c откуда h = 2S/c = 2*36/18 = 4 см

Теперь находим сторону b по синусу угла

sin = h/b (отношение противоположного катета к гипотенузе) откуда b = h/(sin 30) = 4/(1/2) = 8 см.

Мы уже знаем две стороны у угол между ними и третью сторону можно найти по формуле из теоремы косинусов, но к сожалению не всегда мы ее помним. В нашем случае ничего страшного — найдем сторону а по формуле Пифагора, но для начала нам нужно найти сторону х.

Можно по формуле Пифагора

откуда х = квадратный корень из (8*8 — 4*4), что равно 4*(кв.к3)

и находим последнюю сторону нашего треугольника

а = кв.к из (c-x)*(c-x) + h*h = кв.к из 18*18-2*18*4*(кв.к3)+4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4

здесь стоит обратить внимание, что

4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4 = 4*4*3+4*4 = 4*4*4 = 4*2*2*2 = 8*8 = b*b

2*18*4*(кв.к3) = 2*18*4*2*(кв.к3/2) = 2*18*8*(кв.к3/2) = 2*с*b*cos30 и теперь можно записать

а = кв.к из с*с — 2*с*b*cos30 + b*b Что на самом деле есть формулой нахождения стороны треугольника по теореме косинусов (мы ее только что вывели)

Теперь посчитаем и найдем сторону а = 11,772 см.

«Золотыми» принято называть два равнобедренных треугольника. Один имеет углы 36, 36 и 108 градусов, другой — углы 36, 72 и 72 градуса. Это те равнобедренные треугольники, которые нетрудно углядеть в пятиконечной звезде стандартного начертания.

По условию задачи окружность с центром на стороне АС,треугольника АВС проходит через вершину С,тогда МС,это радиус окружности и равен половине диаметра окружности:

Так каа окружность касается прямой АВ в точке В,то тогда АВ перпендикуляр к радиусу окружности ВМ, проведенному к точке касания.

Получаем прямоугольный треугольник АВМ,в котором АМ–это гипотенуза,АВ и ВМ- это катеты.

Теперь по теореме Пифагора найдем АМ:

Сторона АС = АМ+МС

Прямой угол в треугольнике образован двумя сторонами, которые пересекаются под углом в 90 градусов, то есть перпендикулярно. Треугольник с таким углом называется прямоугольным и является частным случаем любого треугольника, очень удобным для проведения различных расчетов. Две стороны, образующие прямой угол в треугольнике называются его катетами, а вот сторона лежащая напротив прямого угла называется гипотенузой. Слово это греческое, да и решать прямоугольные треугольники начали греки, в частности Пифагор со своей теоремой, и означает Натянутая. То есть получается, что гипотенуза натянута между двумя катетами.

Эта задачка наверняка для 7 класса, т.е. для школьников, ещё не знакомых с тригонометрическими функциями. Но её можно решить и без них. Начертим прямоугольный треугольник АВС с основанием АС. Проведём в нём высоту ВК (равную h). Отметим центр вписанной окружности О и проведём радиус ОМ (равный r), перпендикулярный боковой стороне ВС. Отметим, что ОК — это тоже радиус (r), и ВО=(h-r). Получились два прямоугольных треугольника ВКС и ВМО. Они подобны.

Читайте также:  Точки klmn середины сторон параллелограмма

Из подобия треугольников получаем: ВК/ВС=ВМ/ВК=ОМ/КС. ВМ вычисляем по Пифагору, ВМ=√((h-r)^2-r^2). Осталось подставить в равенства , полученные из подобия треугольников, известные величины и вычислить неизвестные. Ну и не забыть, что АС=2*КС.

Источник

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

  1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
  2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Читайте также:  Как строится прямоугольная система координат

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем