Как разделить окружность на 3 равные части с помощью штангенциркуля

Содержание
  1. 6. Инструменты со штриховой шкалой. Штангенциркуль для разметчиков.
  2. Деление окружности на любое число равных частей
  3. Термины при построениях окружности
  4. Деление окружности на 4 и 8 одинаковых частей
  5. Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)
  6. Деление окружности на 5 и 10 равных частей
  7. Деление окружности на N-ное количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)
  8. Нахождение центра дуги окружности
  9. Деление круга на равные части
  10. Деление круга на равные по площади части радиусами
  11. Деление круга на равные по площади части параллельными хордами
  12. Деление круга на равные части радиусами
  13. Деление круга на равные части параллельными хордами
  14. Деление окружности на любое число равных частей
  15. Термины при построениях окружности
  16. Деление окружности на 4 и 8 одинаковых частей
  17. Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)
  18. Деление окружности на 5 и 10 равных частей
  19. Деление окружности на N-ное количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)
  20. Нахождение центра дуги окружности

6. Инструменты со штриховой шкалой. Штангенциркуль для разметчиков.

Разметчикам в процессе работы часто приходится производить измерения и построения углов, деление окружности на равные части, определять длину хорды и т. д. Все эти операции можно выполнять при помощи штангенциркуля, сконструированного новатором К. Ф. Крючек.

Штангенциркуль сконструирован на базе обыкновенного и отличается от него тем, что на обратной стороне подвижной губки по кромке выреза под углом 30° снимается лыска и на ней наносится риска, а на линейке наносится специальная градусная шкала от 0 до 180°. Начальная риска на линейке, соответствующая 0°, наносится строго против риски на подвижной губке при сдвинутых измерительных ножках. Все последующие риски наносятся от нулевой на расстояниях, равных длине хорд, полученных в окружности радиусом 100 мм при последовательном его повороте. От 0 до 110° риски наносятся через каждые 30′, от 110 до 140° — через 1°, от 140 до 170° через 2° и от 170 до 180° через 10°.

Длину хорд можно определить по таблице или по формуле a = 2R sin (α/2),

где a — длина хорды в мм;

R — радиус окружности в мм;

α — центральный угол в град.

Длина подcчитывается с точностью до сотых долей миллиметра. Пример. Необходимо определить на линейке положение риски, соответствующей 30′.

Определяем длину хорды а = 2 • 100 sin (0°30’/2) = 0,872 мм.

Округляя до сотых долей, получаем а = 0,87 мм. Следовательно, риска наносится на расстоянии 0,87 мм от нулевой. Данные для построения шкалы приведены в табл. 1.

Шкала нумеруется от 0 до 90° через каждые 5°; от 90 до 140° через 10°; так как расстояние между рисками 140 и 180° небольшое, то здесь нумеруется только риска 180°, Нумерованные риски, а также риски, соответствующие 150, 160 и 170°, делаются на 1,5 мм длиннее промежуточных.

Ниже рассмотрены примеры пользования штангенциркулем при разметке.

Для измерения острых углов радиусом 100 мм из вершины угла делаем на сторонах засечки и замеряем расстояние между полученными точками. Градусная шкала при этом покажет, сколько градусов содержится в этом угле.

Для построения острого угла α проводим дугу радиусом 100 мм. Устанавливаем штангенциркуль по градусной шкале на угол α и этим радиусом из точки на дуге делаем засечку. Точки на Дуге соединяем с центром дуги и получаем угол, равный углу α .

С помощью штангенциркуля можно вычислять длины хорд.

Пример. Имеется дуга радиусом 153 мм с центральным углом 35°. Определить длину хорды а.

Длину хорды находим по формуле a=(k*R)/100,

где k — коэффициент показания миллиметровой шкалы штангенциркуля;

Для определения коэффициента k устанавливаем штангенциркуль по градусной шкале на угол α = 35° и получаем по миллиметровой шкале число 60,1, которое и является коэффициентом k. Затем подсчитываем длину хорды a =(60,1*153)/100=91,95 мм.

Деление окружности на равные части сводится к определению длины хорды, которая при последовательном отложении укладывается на окружности требуемое число раз без остатка. Длину хорды штангенциркулем можно определять графическим и аналитическим способами.

Читайте также:  Ls f6 полуавтоматическая машина для оклейки прямоугольных коробок

Графический способ сводится к непосредственному построению такой хорды. Пусть окружность необходимо разделить на n равных частей. Для этого необходимо построить центральный угол α (способом, рассмотренным выше).

Пример. Окружность радиусом 150 мм требуется разделить на 36 частей. Находим α = 360°/36=10°; k=17,45; a=(17,45*150)/100=26,17 мм.

Откладывая последовательно полученную хорду на окружности, разделим эту окружность на 36 частей.

С помощью штангенциркуля можно определить также значение синусов углов по формуле sin α=k/200, где k — коэффициент (показания штангенциркуля для угла 2 α).

Пример. Угол α = 15°15′

sin 15° 15′ = 52,6/200 = 0,263

Можно и наоборот, зная значение синуса угла, определить его величину по формуле α =β/2, где β — показание градусной шкалы, когда на миллиметровой шкале стоит число k = 200 sin α.

Пример, sin α = 0,3048; k = 200 • 0,3048 = 60,96;

β = 35° 30′, α=35°30’/2 = 17° 45′.

Штангенциркуль дает возможность производить измерение и построение углов с точностью ± 15′, определять углы по данному значению синуса или косинуса. Применение штангенциркуля К. Ф. Крючка значительно облегчает работу слесарей, разметчиков, расширяет возможности применения инструмента.

Источник

Деление окружности на любое число равных частей

Как разделить окружность на заданное количество одинаковых частей, терминология при построении окружности, деление окружности на 3, 4, 5, 6, 8, 10 частей.

Термины при построениях окружности

Окружностью называется замкнутая кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от одной точки О, называемой центром.

Прямые линии, соединяющие любую точку окружности с её центром, называют радиусами R.

Прямая АВ, соединяющая две точки окружности и проходящая через её центр О, называется диаметром D.

Части окружностей называются дугами.

Прямая СD, соединяющая две точки на окружности, называется хордой.

Прямая МN,которая имеет только одну общую точку с окружностью называется касательной.

Часть круга, ограниченная хордой СD и дугой, называется сигментом.

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.

Две взаимно перпендикулярные горизонтальная и вертикальная линии, пересекающиеся в центре окружности, называются осями окружности.

Угол, образованный двумя радиусами КОА, называется центральным углом.

Два взаимно перпендикулярных радиуса составляют угол в 90 0 и ограничивают 1/4 окружности.

Деление окружности на 4 и 8 одинаковых частей

Проводим окружность с горизонтальной и вертикальной осями, которые делят её на 4-ре равные части. Проведённые с помощью циркуля или угольника под 45 0 , две взаимно перпендикулярные линии делят окружность на 8-мь равных частей.

Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)

Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей, проводим окружность заданного радиуса и соответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения горизонтальной или вертикальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6-ть раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шести-угольник. Соединение точек через одну даёт равносторонний треугольник, и деление окружности на три равные части.

Деление окружности на 5 и 10 равных частей

Построение правильного пятиугольника выполняется следующим образом. Проводим две взаимно перпендикулярные оси окружности равные диаметру окружности. Делим правую половину горизонтального диаметра пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки «а» в середине этого отрезка радиусом R2 проводим дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке «b». Радиусом R3 из точки «1» проводят дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (т.5) и получают сторону правильного пятиугольника. Расстояние «b-О» даёт сторону правильного десятиугольника.

Деление окружности на N-ное количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)

Выполняется следующим образом. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности. Из верхней точки «1» окружности проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей на которое мы делим данную окружность, например 9. Конец последнего отрезка соединяем с нижней точкой вертикального диаметра. Проводим линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводим дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности. Из точек M и N проводим лучи через чётные ( или нечётные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью. Полученные отрезки окружности будут являться искомыми, т.к. точки 1, 2, …. 9 делят окружность на 9-ть ( N ) равных частей.

Читайте также:  Как узнать диаметр мяча по окружности

Нахождение центра дуги окружности

Для нахождения центра дуги окружности нужно выполнить следующие построения: на данной дуге отмечаем четыре произвольные точки А, В, С, D и соединяем их попарно хордами АВ и СD. Каждую из хорд при помощи циркуля делим пополам, получив, таким образом, перпендикуляр, проходящий через середину соответствующей хорды. Взаимное пересечение этих перпендикуляров даёт центр данной дуги и соответствующей ей окружности.

Источник

Деление круга на равные части

Статья содержит два калькулятора, рассчитывающие параметры деления круга на равные по площади части радиусами и параллельными хордами

Ниже представлены два калькулятора, рассчитывающие параметры разделения круга на равные части. Сначала — традиционный калькулятор, который делит круг на равные части радиусами (примерно так, как режут пиццу или торт), под ним — нетрадиционный калькулятор, который делит круг на равные по площади части параллельными хордами. Оба калькулятора визуализируют результат рисунком. Методы расчета с формулами для обоих калькуляторов приведены ниже, под калькуляторами.

Деление круга на равные по площади части радиусами

Деление круга на равные по площади части параллельными хордами

Деление круга на равные части радиусами

Традиционный и очень простой метод деления круга — по факту, нарезка равных секторов. Метод и формулы очень просты:

  1. Определяем угловой размер каждого сектора в радианах, путем деления 360 градусов на нужное число секторов.
  1. Определяем размер дуги сектора, перемножая радиус на угол в радианах
  1. Определяем размер хорды по теореме косинусов (хорда является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и противолежащим углом альфа.

Собственно и всё — мы получили все характеристики для N равных секторов

Деление круга на равные части параллельными хордами

Этот способ более любопытен, чем предыдущий. Для простоты будем рассматривать верхнюю половину круга, так как с нижней все будет симметрично.

Задача состоит в определении x-вой координаты точек, через которые нужно проводить хорды (на рисунке это точки x1 и x2). Выведем для начала формулу площади куска, отсекаемого хордой слева.

Верхнюю полуокружность можно представить графиком функции y=f(x), где x — это координата вдоль оси абсцисс, а y — это функция, численно равная y координате соответствующей точки верхней полуокружности.

По теореме Пифагора получаем следующую функцию

Чтобы получить площадь фигуры, отсекаемой хордой слева, надо проинтегрировать эту функцию от -R до x. Первообразная функции равна:

Осталось определиться с константой. Нам надо, чтобы в точке с координатами -R площадь была равна нулю. Подставив -R вместо x в формулу выше, получаем

Итак, полное выражение

Теперь рассмотрим нахождение координат крайней левой точки. Нам известна площадь, которую она должна отсечь (напоминаю, речь идет о полуокружности)

Таким образом мы можем приравнять

Что дает нам такое финальное уравнение

Данное уравнение является трансцендентным, а поэтому находить координату первой точки придется численным методом, например, методом бисекции или методом Ньютона. Калькулятор использует метод Ньютона.

Вторая и последующие точки находится аналогично, путем изменения размера отсекаемой площади. Для второй точки это будет , для третьей и так далее.

Читайте также:  Блок схема нахождения площади прямоугольного треугольника

Зная координаты точек, несложно рассчитать все остальные параметры, в частности, длину хорды.

Источник

Деление окружности на любое число равных частей

Как разделить окружность на заданное количество одинаковых частей, терминология при построении окружности, деление окружности на 3, 4, 5, 6, 8, 10 частей.

Термины при построениях окружности

Окружностью называется замкнутая кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от одной точки О, называемой центром.

Прямые линии, соединяющие любую точку окружности с её центром, называют радиусами R.

Прямая АВ, соединяющая две точки окружности и проходящая через её центр О, называется диаметром D.

Части окружностей называются дугами.

Прямая СD, соединяющая две точки на окружности, называется хордой.

Прямая МN,которая имеет только одну общую точку с окружностью называется касательной.

Часть круга, ограниченная хордой СD и дугой, называется сигментом.

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.

Две взаимно перпендикулярные горизонтальная и вертикальная линии, пересекающиеся в центре окружности, называются осями окружности.

Угол, образованный двумя радиусами КОА, называется центральным углом.

Два взаимно перпендикулярных радиуса составляют угол в 90 0 и ограничивают 1/4 окружности.

Деление окружности на 4 и 8 одинаковых частей

Проводим окружность с горизонтальной и вертикальной осями, которые делят её на 4-ре равные части. Проведённые с помощью циркуля или угольника под 45 0 , две взаимно перпендикулярные линии делят окружность на 8-мь равных частей.

Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)

Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей, проводим окружность заданного радиуса и соответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения горизонтальной или вертикальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6-ть раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шести-угольник. Соединение точек через одну даёт равносторонний треугольник, и деление окружности на три равные части.

Деление окружности на 5 и 10 равных частей

Построение правильного пятиугольника выполняется следующим образом. Проводим две взаимно перпендикулярные оси окружности равные диаметру окружности. Делим правую половину горизонтального диаметра пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки «а» в середине этого отрезка радиусом R2 проводим дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке «b». Радиусом R3 из точки «1» проводят дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (т.5) и получают сторону правильного пятиугольника. Расстояние «b-О» даёт сторону правильного десятиугольника.

Деление окружности на N-ное количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)

Выполняется следующим образом. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности. Из верхней точки «1» окружности проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей на которое мы делим данную окружность, например 9. Конец последнего отрезка соединяем с нижней точкой вертикального диаметра. Проводим линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводим дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности. Из точек M и N проводим лучи через чётные ( или нечётные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью. Полученные отрезки окружности будут являться искомыми, т.к. точки 1, 2, …. 9 делят окружность на 9-ть ( N ) равных частей.

Нахождение центра дуги окружности

Для нахождения центра дуги окружности нужно выполнить следующие построения: на данной дуге отмечаем четыре произвольные точки А, В, С, D и соединяем их попарно хордами АВ и СD. Каждую из хорд при помощи циркуля делим пополам, получив, таким образом, перпендикуляр, проходящий через середину соответствующей хорды. Взаимное пересечение этих перпендикуляров даёт центр данной дуги и соответствующей ей окружности.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем