Как рассчитать стороны шестиугольника зная радиус окружности

Шестиугольник описанный около окружности формулы

Калькулятор для вычисления стороны правильного шестиугольника по известным данным.

При известном радиусе R описанной вокруг правильного шестиугольника окружности сторона a имеет такое же значение как и радиус R описанной вокруг шестиугольника окружности.

При известном радиусе r окружности вписанной в правильный шестиугольник сторона a вычисляется как отношение двух радиусов вписанной в правильный шестиугольник окружности и корня из числа 3.

Формула для вычисления стороны правильного шестиугольника при известном радиусе вписанной в правильный шестиугольник окружности:

r – радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник,

a – сторона правильного шестиугольника.

При вводе данных дробную часть от целой, отделяйте точкой, а не запятой.

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь правильного шестиугольника онлайн. Для расчета задайте длину стороны или радиус окружности.

Шестиугольник – многоугольник у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Через сторону

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через сторону:

Через радиус описанной окружности

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу вписанной окружности

От нашего нового пользователя поступил вот такой запрос:
«Калькулятор должен вычислять длину стороны правильного многоугольника (шестиугольник, пятигольник) по указанному диаметру (или радиусу) описанной окружности».

Удовлетворяем запрос оперативно. Заметим, что для решения задачи нужно найти длину третьей стороны треугольника, исходящего из центра описанной окружности и опирающегося на две соседние вершины правильного многоугольника. Про этот треугольник известно многое: длины двух сторон — это радиусы описанной окружности, и угол, как нетрудно заметить, — это 360, деленное на число вершин правильного многоугольника. Далее используется соотношение из теоремы синусов — две стороны относятся друг к другу также как и синусы противолежащих им углов. Поскольку треугольник равнобедренный и сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол, противолежащий радиусу вычисляется тривиально. Результат — ниже.

Источник

Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Читайте также:  Около равнобедренного треугольника авс с основанием вс описана окружность через точку с

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Источник

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это такой шестиугольник у которого все шесть сторон равны и его шесть углов равны.

Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA , OB — радиусы правильного шестиугольника.

Обозначения на рисунке для правильного шестиугольника

n=6 число сторон и вершин правильного шестиугольника, шт
α центральный угол правильного шестиугольника, радианы, °
β половина внутреннего угла правильного шестиугольника, радианы, °
γ внутренний угол правильного шестиугольника, радианы, °
a сторона правильного шестиугольника, м
R радиусы правильного шестиугольника, м
p полупериметр правильного шестиугольника, м
L периметр правильного шестиугольника, м
h апофемы правильного шестиугольника, м

Основные формулы для правильного шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника

Полупериметр правильного шестиугольника

Центральный угол правильного шестиугольника в радианах

Центральный угол правильного шестиугольника в градусах

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в радианах

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в градусах

Внутренний угол правильного шестиугольника в радианах

Внутренний угол правильного шестиугольника в градусах

Площадь правильного шестиугольника

Отсюда получим апофему правильного шестиугольника

Источник

Окружность, вписанная в правильный шестиугольник

Что такое правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник или гексагон — выпуклый шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Сумма всех углов n–угольника равна 180°(n−2). Каждый угол правильного n–угольника равен \(α_n=\frac<\left(n-2\right)>n180°\) . Следовательно углы правильного шестиугольника равны \(\frac<\left(6-2\right)>6180°=120°\) .

Читайте также:  Трапеция дворников тойота приус 20 правый руль

Основные свойства правильного шестиугольника

  1. У гексагона все внутренние углы равны между собой.
  2. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°.
  3. Все стороны гексагона равны между собой.
  4. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне.
  5. Большая диагональ правильного шестиугольника равна диаметру описанной около него окружности или сумме двух его сторон.
  6. Меньшая диагональ правильного шестиугольника в \(\sqrt3\) раз больше его стороны.
  7. Меньшая диагональ правильного шестиугольника и две его противолежащие стороны перпендикулярны друг другу.
  8. Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенному радиусу вписанной в него окружности.
  9. Правильный шестиугольник замещает плоскость, это значит заполняет ее без пробелов и наложений.
  10. Диагонали правильного шестиугольника пересекаются в одной точке и делят его на 6 равных равносторонних треугольников. Высота этих треугольников равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.
  11. При поворотах относительно центра на угол, кратный 60°, правильный шестиугольник переходит в себя.
  12. Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями — прямоугольный. Гипотенузой такого треугольника является большая диагональ. Его острые углы равны 30° и 60°.

У изображенного правильного шестиугольника ∠А=∠В=∠С=∠D=∠Е=∠F=120°. Стороны равны между собой АВ=ВС=СD=DE=EF=FA. Точка О — центр пересечения диагоналей. Большая диагональ AD=2АВ. Меньшая диагональ \(СА=\sqrt3·АВ\) .

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В любой правильный шестиугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствие из теоремы:

  1. Центры вписанной и описанной окружности у правильного шестиугольника (как и у любого правильного многоугольника) совпадают.
  2. Радиус вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра к любой стороне правильного шестиугольника.

Нахождение радиуса вписанной окружности

В шестиугольник АВСDEF вписана окружность. Ее центр находится на пересечении диагоналей в точке О. Если известна сторона данного шестиугольника, то можно найти радиус вписанной окружности, рассмотрев прямоугольный треугольник \(А_1ОВ\) . Гипотенуза \(ΔА_1ОВ\) равна стороне шестиугольника, ОВ=АВ. Перпендикуляр \(ОА_1\) делит сторону АВ пополам, то есть \(А_1В=\frac12·АВ=\frac12·ОВ\) . Так как \(ОВ^2=ОА_1^2+А_1В^2\) , то \(ОА_1=\sqrt<ОB^2-A_1В^2>=\sqrt<ОB^2-A_1В^2>=\sqrt<0B^2-\left(\frac12\cdot0B\right)^2>=\frac<\sqrt3>2OB\) . Получаем следующую формулу:

где r — радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник,

а — сторона правильного шестиугольника.

Классическая формула для нахождения радиуса вписанной окружности правильного многоугольника

Существует классическая формула, с помощью которой можно вычислить радиус окружности, вписанной в любой правильный многоугольник.

где r — радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник,

а — сторона правильного многоугольника,

n — количество вершин многоугольника.

Для правильного шестиугольника n=6.

Так как \(tg30^0=\frac1<\sqrt3>\) , то \(r=\frac<\sqrt3>2·a\) . То есть, получаем формулу, найденную выше.

Периметр правильного шестиугольника

Если известен радиус вписанной окружности, то периметр правильного шестиугольника можно найти по формуле:

Читайте также:  54006 бассейн семейный прямоугольный 262 175 51см

где Р — периметр правильного шестиугольника,

Источник

Гексагон

Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.

Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.

Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Свойства правильного шестиугольника

  • все внутренние углы равны между собой
  • каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
  • все стороны равны между собой
  • сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
  • большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
  • меньшая диагональ правильного шестиугольника в раз больше его стороны.
  • vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
  • правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
  • диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
  • инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
  • nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60° .

Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны :

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

Периметр правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

,
где − полупериметр шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем