Расчет прямоугольной фермы
А теперь представим себе следующую вполне вероятную ситуацию: жене не понравилась идея сделать колонны посредине (показаны на рисунке 293.1 темнозеленым цветом). Ей хочется пространства и воздушности.
Ничего не попишешь, женщинам виднее, ну а нам, чтобы эту самую воздушность соблюсти, придется дополнительно рассчитать ферму прямоугольной формы (на рисунке 293.1 общие контуры прямоугольных ферм показаны фиолетовым цветом).
Рисунок 293.1. Общая предварительная схема арочной галереи.
В целом, если изготовление ферм планируется из одного-двух типоразмеров профиля, то расчет такой прямоугольной фермы много времени не займет.
Сосредоточенными нагрузками для данных прямоугольных ферм будут опорные реакции для рассчитывавшихся ранее арочных ферм. Эти нагрузки Q будут приложены в узлах фермы, как показано на рисунке 554.1.б). Общая геометрия фермы показана на рисунке 554.1.а):
Рисунок 554.1. Общая геометрия и расчетные схемы для прямоугольной фермы.
Для упрощения расчетов длины всех пролетов между узлами в верхнем поясе приняты одинаковыми.
Определение усилий в стержнях фермы
Расчет ферм будет производиться методом сечений, основные положения которого изложены отдельно.
Когда мы рассчитывали арочные фермы, то выяснили, что опорные реакции у этих ферм могут быть разными в зависимости от рассматриваемого варианта снеговой нагрузки. Для дальнейших расчетов примем максимально возможное значение опорных реакций, тогда нагрузки на ферму от арочных ферм будут Q = 796.1 кг.
Кроме того на ферму будет действовать равномерно распределенная нагрузка от собственного веса фермы, к тому же изначально нам не известная, а это означает, что ферму следует дополнительно рассчитать на эту нагрузку. Однако с учетом того, что собственный вес фермы будет относительно небольшой, то для упрощения расчетов эту распределенную нагрузку от собственного веса можно условно привести к сосредоточенным в узлах фермы. Например, если ферма будет весить около 28 кг, то дополнительные сосредоточенные нагрузки составят 28/7 = 4 кг, тогда расчетные нагрузки составят:
Q = 796.1 + 4 ≈ 800 кг
Так как у нас симметричная ферма, к которой одинаковые нагрузки также приложены симметрично, то опорные реакции будут равны между собой и составят:
VA = VB = 7Q/2 = 7·800/2 = 2800 кгс
Значение горизонтальной составляющей опорной реакции на опоре А будет равно нулю, так как горизонтальных нагрузок в нашей расчетной схеме нет, поэтому горизонтальная составляющая реакции на опоре А показана на рисунке 554.1.в) бледно фиолетовым цветом.
Также на рисунке 554.1.в) показаны сечения, по которым можно рассчитать усилия во всех стержнях фермы с учетом симметричности фермы и нагрузок. Далее будет рассматриваться расчет только по 4 сечениям.
Маркировка, показанная на рисунке 554.1.г) означает, что у фермы есть:
Стержни нижнего пояса: 1-а, 1-в, 1-д, 1-ж;
Стержни верхнего пояса: 3-б, 3-г, 3-е;
Раскосы: а-б, б-в, в-г, г-д, д-е, е-ж.
При необходимости для маркировки стержней, симметричных указанным, можно использовать апостроф ‘.
Если стоит задача рассчитать все стержни фермы, то лучше составить таблицу, в которую вносятся все стержни фермы. Затем в эту таблицу будут внесены результаты расчетов, в частности значения сжимающих или растягивающих напряжений.
Во всех сечениях, показанных на рисунке 554.1, силы N направлены так, что вызывают растяжения в рассматриваемых стержнях. Если по результатам расчетов усилие в рассматриваемом стержне будет отрицательным, то это означает, что в этом стержне будут действовать сжимающие нормальные напряжения.
Приступим к рассмотрению сечений.
сечение II-II (рис. 554.1.е)
Составим уравнение моментов относительно узла 3, это позволит определить усилие в стержне 3-б:
где l — плечо действия силы Q и опорной реакции VA, равное расстоянию от узла 1 до узла 3 по горизонтали, согласно принятой нами расчетной схемы l = 0.525 м; h — плечо действия силы N3-a, равное высоте фермы, в данном случае h = 0.4м. Это означает, что в действительности общая высота фермы с учетом сечений верхнего и нижнего пояса будет немного больше, так как в данном случае высота — это расстояние между нейтральными осями верхнего и нижнего поясов.
N3-б =(Ql — VAl)/h = ((800 — 2800)0.525)/0.4 = — 2625 кг
Чтобы определить напряжения в стержне а-б составим уравнение моментов относительно узла 1:
Na-б = 2625·0.4/0.318 = 3300.4 кг
В данном случае h’ — плечо приложения силы Nа-б — это высота прямоугольного треугольника. Плечо было определено следующим образом, сначала вычисляется значение угла а между стержнями 1-а и а-б.
tga = 0.4/0.525 = 0.762
где 0.4 и 0.525 — длины стержней — катетов прямоугольного треугольника.
h’ = 0.525sina = 0.525·0.606 = 0.318 м
Усилия в стержне 1-а будут равны нулю, в чем легко убедиться,составив уравнение моментов относительно узла 2:
Проверим правильность вычислений, составив уравнения проекций сил на основные оси:
ΣQy = — Q1 +VA — Na-бsin37.3 о = -800 +2800 — 3300.4·0.606 = 0.004 кг
ΣQx = N3-б + Na-бсos37.3 o = -2625 + 3300.4·0.795 = 0.38 кг
Небольшая погрешность в вычислениях набежала из-за того, что вычисления ведутся с точностью до одного знака после запятой, а в значениях тригонометрических функций указываются только 3-4 знака после запятой. Но в данном случае большая точность и не нужна. В целом при таких нагрузках, на погрешность до 1 кг можно не обращать внимания.
сечение VII-VII (рис. 554.1.д)
Для определения усилий в стержне 1-ж составим уравнение моментов относительно узла 8:
М8 = -Q(1.05 + 2.1 + 3.15) + 3.15VA — 0.4N1-ж = 0;
N1-ж = (-6.3·800 + 3.15·2800)/0.4 = 9450 кг
Для определения усилий в стержне 3-е составим уравнение моментов относительно узла 7:
М7 = -Q(0.525 + 1.575 + 2.625) + 2.625VA + 0.4N3-е = 0;
N3-е = (800·4.725 — 2800·2.625)/0.4 = — 8925 кг (работает на сжатие)
Для определения усилий в стержне е-ж составим уравнение моментов относительно узла 9:
М9 = -Q(1.575 + 2.625 + 3.675) + 3.675VA + 0.4N3-е + 0.636Nе-ж = 0;
Nе-ж = (800·7.875 — 2800·3.675 + 0.4·8925)/0.6363 = — 660 кг
Проверим правильность расчетов
ΣQх = N3-е + N1-ж + Nе-жcos37.3° =- 8925 + 9450 — 660·0.7955 = 0.012 кг
Для лучшего представления общей картины проверим еще пару сечений
сечение VI-VI (рис. 554.1.ж)
Для определения усилий в стержне 1-д составим уравнение моментов относительно узла 6:
N1-д = (- 3.15·800 + 2.1·2800)/0.4 = 8400 кг
Для определения усилий в стержне д-е составим уравнение моментов относительно узла 5:
М5 = 1.575(-Q + VA)+ 0.4N3-е + 0.6363Nд-е = 0;
Nд-е = (1.575(800 — 2800) + 0.4·8925)/0.6363 = 660 кг
Проверим правильность расчетов, определив проекции сил на ось х:
ΣQx = N3-е + N1-ж + Nд-еcos37.3° = -8925 + 8400 + 660·0.7955 = 0.06 кг;
сечение III-III
Усилия в стержне 3-б нам уже известны, поэтому для определения усилий в стержне б-в составим уравнение моментов относительно узла 5:
Nб-в = (1.575(800 — 2800) + 0.4·2625)/0.6363 = -3300.4 кг
Усилие в стержне 1-в будет явно значительно меньше, чем в стержне 1-ж и потому в данном случае оно нас не интересует, так как мы планируем делать нижний пояс из трубы одного сечения. А чтобы определить правильность расчетов в данном случае определим проекции сил на ось у:
ΣQy = — Q1 +VA + Nб-вsin37.3 о = -800 +2800 — 3300.4·0.606 = 0.04 кг
Теперь у нас есть все основные данные для дальнейшего расчета
Подбор сечения
На первый взгляд самым загруженным является стержень нижнего пояса 1-ж, на который действует продольная растягивающая сила N1-ж = 9450 кг. Однако напряжения в сжатом стержне 3-е в результате продольного изгиба могут быть даже больше, поэтому в первую очередь проверим прочность именно этого стержня по следующей формуле:
σ = N/φF ≤ R
где φ — коэффициент продольного изгиба, F — площадь сечения профиля, см, R — расчетное сопротивление материала профиля. Если расчетное сопротивление стали зараннее не известно, то для надежности рекомендуется принимать одно из минимальных R = 2300 кг/см 2 .
Расчет сжатых стержней ничем не отличается от расчета колонн, поэтому далее приводятся только основные этапы расчета без подробных пояснений.
по таблице 1 (см. ссылку выше) определяем значение μ = 1, это значение будет наиболее оптимальным с учетом рекомендаций нормативных документов, в частности СНиП II-23-81*(1990) «Стальные конструкции», а также того, что основные нагрузки к ферме приложены именно в узлах.
Предварительно определим площадь сечения профиля. Для растянутого стержня 1-ж эта площадь составит:
F = N/R = 9450/2300 = 4.11 см 2
По сортаменту для прямоугольных профильных труб этому требованию удовлетворяет труба сечением 50х30х3 мм, площадь сечения такой трубы составит F = 4.21 см 2 , минимальный радиус инерции i = 1.16 см. Проверим, подходит ли эта труба для сжатого верхнего пояса фермы, так как делать пояса из труб разного сечения — дополнительное усложнение технологии, мало оправданное при таких малых объемах работ, всего-то нужно сделать 2 фермы.
При радиусе инерции i = 1.14 см, значение коэффициента гибкости составит
λ = μl/i = 1·105/1.16 = 90.5 ≈ 90
тогда по таблице 2 коэффициент изгиба φ = 0.629 (определяется интерполяцией значений 2050 и 2450)
8925/(0.629·4.21) = 3368 кгс/см 2 >> R = 2300 кгс/см 2 ;
Как видим, такое значение напряжений значительно больше допустимого. Если для изготовления поясов использовать трубу 50х40х3 мм, имеющую площадь сечения 4.81 см и минимальный радиус инерции i = 1.54 см, то результат расчетов будет следующим:
λ = 1·105/1.54 = 68.2 ≈ 68
φ = 0.77
8925/(0.77·4.81) = 2409 кгс/см 2 > R = 2300 кгс/см 2 ;
Как видим и такой трубы для обеспечения прочности не достаточно. Ну а дальше возможны разные варианты, можно для изготовления поясов использовать трубу 50х40х3.5 мм с площадью сечения 5.49 см 2 , которая явно обеспечит требуемый запас прочности, можно рассматривать и другие варианты, но мы остановимся на этом.
Теперь нужно проверить максимально допустимую гибкость для растянутого пояса из плоскости фермы. Согласно СНиП II-23-81* «Стальные конструкции» эта гибкость для растянутых элементов ферм не должна превышать 400. Соответственно трубы при изготовлении нужно располагать так, чтобы 50 — это была ширина трубы, а не высота, тогда при радиусе i = 1.81 см гибкость нижнего пояса составит:
λ = 1·630/1.81 = 348
Это требование нами соблюдено, можно переходить к расчету раскосов и стоек. Наиболее нагруженным раскосом будет сжатый стержень б-в. Его расчетная длина составит:
l = 0.525/cos37.3° = 0,525/0.7954 = 0.66 м или 66 см
Для соседнего растянутого раскоса, при заданном расчетном сопротивлении для обеспечения прочности потребуется труба сечением не менее
F = N/R = 3300.4/2300 = 1.43 см 2
Для сжатого раскоса с учетом возможного продольного изгиба сечение должно быть больше, насколько именно — неизвестно, но мы теперь ученые и потому сразу примем трубу с хорошим запасом по площади сечения.
Для начала проверим квадратную трубу 25х25х2.5 мм, имеющую сечение 2.14 см 2 , радиус инерции i = (1.77/2.14)1/2 = 0.91 см. Тогда:
λ = 1·66/0.91 = 72.6
φ = 0.74
3300.4/(0.74·2.14) = 2084 кгс/см 2 2 ;
Данная труба удовлетворяет требованиям и даже с некоторым запасом. Осталось выяснить какова будет примерно общая масса фермы:
m = 1.41(0.66·12 + 0.4·2) + 4.31·6.3·2 = 66.6 кг
Это в 2 раза больше, чем мы предположили вначале, но в целом общее увеличение нагрузки с учетом собственного веса фермы будет очень незначительным, около 0.6%.
Тем не менее поиск оптимального варианта можно продолжать, в данной статье остановимся на том, что есть.
Все необходимые условия по прочности и устойчивости нами соблюдены, но при этом никто не запрещает использовать для изготовления ферм профили большего сечения.
Осталось рассчитать длины и катеты сварных швов, но это уже отдельная тема.
На этом пока все.
Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV
Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630
- Расчет конструкций . Расчет навеса с арочными фермами
- Расчет конструкций . Основы строймеха и сопромата . Фермы
добрый поясните пожалуйста как находятся усилия в стержне 1-а и еще сумма сил Qx N1-a-б что-то наверное лишнее
с праздником ВАС с Петровичем выслал вам соточку на компотик
Владимир, большое спасибо за подарок! Мы с Петровичем хоть и не очень сильно любим друг друга, но Петрович уже побежал, и явно не за компотом, так что сегодня будет весело, но не суть.
По поводу N1-a-б, тут конечно же опечатка, исправил, спасибо за внимательность, правильно читать Na-б. Усилия в стержне N1-a находятся из уравнения моментов относительно узла 2. Так как плечо остальных действующих сил в этой точке равно 0, то и усилия в рассматриваемом стержне равны 0. Примерно так.
здравствуйте. мы высату треугольника опускаем из точки нижнего пояса этому есть обьяснения или нет требования к находению высаты
Не совсем понял, какой именно треугольник вы имеете в виду, но в целом мы определяем плечо действия силы относительно рассматриваемой точки. Это плечо совпадает с одной из трех возможных высот треугольника. Примерно так.
Для определения усилий в стержне е-ж составим уравнения моментов относительно узла 9. Почему не 6?
Для е-д относительно узла 5. Почему не 8?
Уравнения моментов можно составлять относительно любой точки. В целом узел выбирается так, чтобы в уравнении моментов было только одно неизвестное.
добрый. моменты определяем относительно 9 и 6 узлов при этом минус в одном выражении есть в другом нет. в одном случае мы берем нагрузку с минусом в другом с плюсом. и так же с умножением на h .
Выбор знака зависит от направления действия момента. Как правило если сила пытается вращать систему относительно выбранной точки по часовой стрелке, то такой момент считается положительным, если против — то отрицательным. Но это не обязательно, можно и наоборот, главное при этом соблюдать правило знаков. Результат будет таким же.
Здравствуйте. Я пришел вот к чему: нагрузку на м^2 * на длину фермы ? на количество пролетов между узлами * на расстояние между фермами =нагрузка на один узел(не крайний и не угловой) РАСЧИТЫВАЮ ФЕРМЫ ДЛЯ ПЕРЕКРЫТИЯ 2 ЭТАЖА
В принципе все правильно.
Здравствуйте. Выражение в сечении 7-7 N1ж правильно ззаписано или нет? меня смущает «-«
Добрый день, Владимир я. Все правильно записано. Знаки «минус» в уравнении моментов означают, что рассматриваемые силы пытаются вращать систему против часовой стрелки. При этом силы, пытающиеся вращать систему по часовой стрелке, принимаются со знаком «плюс»
Добрый В сечении 7 посчитал ваши числа и получил (-0,03)
Еше вопрос N может равняться =0?
Не понял, какие именно числа посчитали, но вполне возможно у меня там опечатка. Да, продольная сила может быть равна нулю в некоторых стержнях
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).
Источник
Adblockdetector