Как работать с единичной окружностью тригонометрия

Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций

Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, тригонометрический круг :

Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом + показать

Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость

Тригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…

Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций, – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.

Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!

Нас выручит тригонометрический круг ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!

К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, градусов, или .

Никак. можно, конечно, подключить формулы приведения… А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!

А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.

Знакомство с тригонометрическим кругом

Давайте по порядку.

Сначала выпишем вот такой ряд чисел:

И, наконец, такой:

Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .

Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».

И зачем оно нам?

Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.

Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).

От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .

Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.

Это почему же, спросите вы?

Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип, который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.

Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть ).

Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора

Надеюсь, уже что-то становится понятно?

Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М – значению

Аналогично с остальными значениями первой четверти.

Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . Про тангенс и котангенс позже.

Читайте также:  Душевые поддоны тритон прямоугольные

Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.

Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ тригонометрический круг , без которого никуда в тригонометрии.

А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в следующей статье.

Источник

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    Читайте также:  Окружность запястья измеряется выше лучезапястного сустава

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Источник

    Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

    Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

    Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

    Содержание страницы:

    Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

    Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

    Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    sin α = Противолежащий катет гипотенуза

    Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    cos α = Прилежащий катет гипотенуза

    Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

    tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

    Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

    ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

    Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

    sin ∠ A = C B A B

    cos ∠ A = A C A B

    tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

    ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

    sin ∠ B = A C A B

    cos ∠ B = B C A B

    tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

    ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

    Тригонометрия: Тригонометрический круг

    Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

    Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

    Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

    На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

    Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

    Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

    Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

    Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

    cos α = O B O A = O B 1 = O B

    sin α = A B O A = A B 1 = A B

    Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

    Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

    Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

    Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

    Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

    Читайте также:  Нормы окружность груди веса роста ребенка

    Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

    Ещё одно замечание.

    Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

    Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

    Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

    Основное тригонометрическое тождество

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

    A B 2 + O B 2 = O A 2

    sin 2 α + cos 2 α = R 2

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

    0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° sin α 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 3 2 2 2 1 2 tg α 3 3 1 3 нет ctg α нет 3 1 3 3

    Тригонометрия: градусы и радианы

    Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

    Тригонометрия: Формулы приведения

    Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

    можно заметить, что:

    sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

    sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

    sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

    sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

    cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

    cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

    cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

    cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

    Рассмотрим тупой угол β :

    Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

    sin ( 180 ° − α ) = sin α

    cos ( 180 ° − α ) = − cos α

    tg ( 180 ° − α ) = − tg α

    ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

    Тригонометрия: Теорема синусов

    В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

    Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

    Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

    Тригонометрия: Теорема косинусов

    Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

    a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

    b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

    c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

    Примеры решений заданий из ОГЭ

    Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

    Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

    Это тема 10-11 классов.

    Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

    Источник

    Поделиться с друзьями
    Объясняем