Как преобразовать прямоугольные координаты

Переход между плоскими прямоугольными координатами Гаусса и географическими координатами и обратно

Страница содержит онлайн калькуляторы для перехода от географических координат к плоским прямоугольным координатам Гаусса и обратно (используются формулы для референц-эллипсоида Красовского).

Плоские прямоугольные координаты Гаусса х и у связаны с географическими координатами φ (широта) и λ (долгота) точек земной поверхности довольно сложными формулами (ключами перехода). Ниже представлены два калькулятора, которые осуществляют переход от одних координат к другим.

Данные калькуляторы используют ключи перехода, рассчитанные для референц-эллипсоида Красовского, или системы координат СК-42. Использование СК-42 допускается только до 1 января 2021 года, так что эти калькуляторы представляют, скорее, исторический интерес.

Переход от географических координат к плоским прямоугольным координатам Гаусса-Крюгера

Переход от плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера к географическим координатам

Зональная система плоских прямоугольных координат Гаусса

В топографии и геодезии широко распространено использование прямоугольных координат. Просто потому, что километрами и метрами пользоваться проще чем градусами, минутами и секундами. В качестве системы плоских прямоугольных координат обычно используют систему плоских прямоугольных координат Гаусса, основанную на проекции Гаусса-Крюгера (в 1825-1830 годах Гаусс разработал поперечно-цилиндрическую конформную (равноугольную) проекцию эллипсоида на плоскость, а Крюгер в 1912 году вывел для нее рабочие формулы вычислений).

Суть, если вкратце в том, что земной эллипсоид разбивают меридианами на сферические двуугольники – зоны. Затем каждую зону проектируют на внутреннюю боковую поверхность цилиндра, развернув который,
получают проекцию поверхности Земли. Ширина зоны — 6 градусов, то есть всего существует 60 зон. В России зоны отсчитываются от нулевого меридиана (осевой меридиан первой зоны — 3 градуса восточной долготы). Внутри каждой зоны действует своя система координат, включающая номер зоны. Ширина любой координатной зоны составляет на экваторе примерно 670 км, на широте 40° — 510 км, на широте 50° — 430 км. Координата x, направленная вдоль меридиана в северном полушарии всегда положительна, чтобы сделать и координату y положительной, начало координат смещают на 500 км левее осевого меридиана. См. иллюстрацию ниже (оригинальный источник изображения неизвестен).

Источник

44. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости и в пространстве

Пусть на плоскости заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат. Первая определяется началом О и базисными векторами I J , вторая – центром О’ и базисными векторами I’ J’.

Поставим цель выразить координаты x y некоторой точки М относительно первой системы координат через X’ и Y’ – координаты той же точки относительно второй системы.

Заметим, что

Обозначим координаты точки О’ относительно первой системы через a и b:

(*)

Кроме того, имеем: . Введем сюда разложения векторов по базису I’ J’:

Отсюда

Можно сделать вывод: каковы бы ни были две произвольных декартовы системы на плоскости, координаты любой точки плоскости относительно первой системы являются линейными функциями координат той же точки относительно второй системы.

Умножим скалярно уравнения (*) сначала на I, затем на J:

(**)

Обозначим через j угол между векторами I и I’. Система координат I J может быть совмещена с системой I’J’ путем параллельного переноса и последующего поворота на угол j. Но здесь возможен и дугой вариант: угол между базисными векторами I I’ также j, а угол между базисными векторами J’J’ равен p — j. Эти системы нельзя совместить параллельным переносом и поворотом. Необходимо еще и изменить направление оси у На противоположное.

Из формулы (**) получаем в первом случае:

Во втором случае

Формулы преобразования имеют вид:

I.

II.

Второй случай мы рассматривать не будем. Условимся считать обе системы правыми.

Т. е. вывод: каковы бы ни были две правые системы координат, первая из них может быть совмещена со второй путем параллельного переноса и последующего поворота вокруг начала на некоторый угол j.

Формулы параллельного переноса:

Формулы поворота осей:

Источник

Преобразование прямоугольных координат

Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве.

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы координаты точек и , а требуется найти координаты и точки С, которая делит отрезок АВ в отношении .

Если провести рассуждения, аналогичные случаю на плоскости, то также придем к равенству . Векторы и являются радиус-векторами точек А и В, поэтому, и . Тогда .

Следовательно, в трехмерном пространстве точка С, делящая отрезок АВ в заданном отношении , имеет координаты .

Преобразование прямоугольных координат

Все прямоугольные системы координат в изучаемом пространстве, вообще говоря, равноправны, т.е. выбор одной из них ничуть не хуже (и не лучше) выбора другой. Те или иные предпочтения отдают исходя из особенностей конкретной задачи. Использование различных систем координат ставит задачу преобразования координат точки, т.е. задачу вычисления ее координат в одной системе координат по ее координатам в другой системе.

Пусть Oijk — некоторая прямоугольная система координат в пространстве, которую мы условно назовем старой, а О’i’j’к’ — вторая прямоугольная система координат, которую будем называть новой (рис. 4.1). Считаем, что известны координаты точки О'(b₁; b₂; b₃) и векторов i’ = <α₁₁; α₂₁; α₃₁>, j’ = <α₁₂; α₂₂; α₃₂>, к’ = <α₁₃; α₂₃; α₃₃> в старой системе координат. Пусть для точки М известны ее координаты (x; у; z) в старой и координаты (x’; у’; z’) в новой системах координат. Это значит, что выполняются два равенства О’М = x’i’ + y’j’ + z’k’ и

Векторы ОМ и О’М связаны соотношением ОМ = ОО’ + О’М, причем координаты вектора ОО’ являются также координатами начала координат О’ новой системы координат относительно старой, т.е. ОО’ = b₁i + b₂j + b₃k. Поэтому
т.е. получено разложение вектора ОМ в репере старой системы координат. Оно должно совпадать с (4.1) в силу единственности координат вектора в одном и том же базисе. Приравнивая соответствующие коэффициенты разложений в (4.1) и (4.2), получаем

Соотношения (4.3), выражающие старые координаты через новые, представляют собой систему трех линейных уравнений относительно неизвестных x’, у’, z’. Чтобы найти новые координаты x’, у’, z’ по известным старым, необходимо решить эту систему относительно новых координат. Система (4.3) при любых x, у, z имеет единственное решение, поскольку ее определитель отличен от нуля. Это следует из того, что выполнены равенства

так как векторы i’, j’, к’ образуют правый ортонормированный базис и объем построенного на них параллелепипеда равен 1.

Набор коэффициентов α_ij в системе (4.3) отражает положение репера новой системы координат, а свободные члены b₁, b₂, b₃ характеризуют изменение начала координат. Если репер системы координат не изменился, а поменялось лишь начало координат, то формулы преобразования выглядят более просто:

Преобразование (4.4) называют параллельным переносом системы координат в пространстве на вектор ОО’.

Все вышеизложенное относится к прямоугольной системе координат в пространстве. Прямоугольная система координат на плоскости отличается от пространственной лишь тем, что репер состоит из двух векторов, а точки имеют всего две координаты. Преобразование системы координат на плоскости описывается уравнениями

где <α_1i; α_2i>, i =1, 2, — координаты векторов i’, j’ нового репера относительно старого (i, j), а (b₁; b₂) — координаты точки О’ начала новой системы координат в старой системе координат.

Преобразование параллельного переноса системы координат на плоскости выглядит так:
Если начала новой и старой систем координат на плоскости совпадают, а изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют вид:
Здесь возможны два случая. В первом из них новый репер может быть получен из старого поворотом последнего на некоторый угол φ вокруг общего начала систем координат, причем полагают, что φ > 0 (φ ‘ 1 = b1 cos φ + b2 sin φ, b ‘ 2 = -b1 sin φ + b2 cos φ. Как видим, старая система координат получается из новой с помощью поворота на тот же угол φ, но в противоположную сторону (на угол — φ в положительном направлении), и параллельного переноса (на вектор ОМ).

Во втором случае с помощью поворота старого репера вокруг начала координат на некоторый угол φ можно совместить лишь векторы i и i’, но при этом векторы j и j’ окажутся противоположными и для их совмещения потребуется выполнение преобразования зеркального отражения плоскости относительно первой оси координат.

В первом случае два репера имеют одинаковую ориентацию, а во втором — противоположную.

Аналогичную терминологию используют и для пространства. Если начало новой и старой прямоугольных систем координат в пространстве совпадают и изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют вид:

Преобразование (4.9) называют поворотом системы координат в пространстве, если реперы новой и старой систем координат имеют одинаковую ориентацию, т.е. являются оба правыми или левыми. Как и в случае плоскости, это связано с тем, что реперы с одинаковой ориентацией можно совмещать с помощью поворотов. Например, можно сначала совместить векторы i и i’ с помощью поворота старого репера вокруг вектора ixi’, а затем выполнить второй поворот вокруг вектора i’ для совмещения повернутого вектора j с вектором j’. При этом векторы k и k’ автоматически совпадут для реперов одной ориентации и будут противоположными для реперов противоположной ориентации. В последнем варианте требуется, как и в случае плоскости, выполнение дополнительного преобразования зеркального отражения (относительно координатной плоскости, определяемой векторами i’ и j’).

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора,а В — его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке A ) называется противоположным векторуАВ . Вектор, противоположный вектору а , обозначается -а .

Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через e . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a , называется ортом вектора a и обо значается a °.

Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают a ||b .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектор а и b называются равными (а = b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство b =d , но а¹ с. Векторы а и с — противоположные, а =-с.

Равные векторы называют также свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны

Источник