Как найти высоту пирамиды если неизвестен объем

Высота пирамиды

Объем пирамиды коротко о главном

Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Треугольники, в которые «сливаются» эти отрезки, называются боковыми гранями, а отрезки, проведённые к вершинам основания — это боковые ребра.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

  • В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
  • Все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Элементы пирамиды

Элементами этой геометрической фигуры являются:

Место, куда сходятся все боковые грани фигуры, является вершиной.

Многоугольник, от каждой стороны которого отходят треугольные грани, носит название основания. Например, оно может быть шестиугольным.

Треугольники, соединяющиеся у вершины, с общей стороной с основанием, носят название боковых граней. У них противоположная вершина совпадает с точкой вершины пирамиды.

Высота фигуры представляет собой вертикальный отрезок, ограниченный многоугольником основания и вершиной.

На каждом треугольнике боковой стороны можно указать апофему. Она опускается от вершины по грани до ребра основания, будучи к нему перпендикулярной.

Боковыми ребрами называют те отрезки, которые соединяют соседние боковые грани.

У пирамиды может быть несколько диагональных сечений. Они включают в себя диагональ многоугольника вместе с вершиной пирамиды.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды

Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac<1><3>\)?

Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac<1><3>\), а у цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Свойства правильной пирамиды

У такой фигуры можно отметить особые свойства.

У правильной пирамиды все боковые треугольники одинаковы.

Каждая из них является равнобедренным треугольником.

Внутрь любой такого типа пирамиды можно вписать сферу. При этом она будет касаться основания и всех граней, имея с каждой из этих сторон по одной общей точке.

Снаружи возможна сфера, касающаяся всех вершин.

Нетрудно вычислить площадь поверхности такой фигуры. Для этого надо умножить длину периметра многоугольника, находящегося в её основании, на половину длины апофемы.

Особым случаем является ситуация, когда у вписанной и описанной сфер центры совпадают. В этом случае можно утверждать, что если сложить все плоские углы у боковых граней, то их сумма будет равна числу «Пи». При этом, для того чтобы узнать величину каждого из них, достаточно эту величину разделить на количество граней.

Формулы для высоты правильной пирамиды

Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:

  • сторона основания;
  • боковое ребро;
  • апофема боковой грани;
  • высота фигуры.

Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту — h, апофему — hb и ребро — b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:

Читайте также:  Как измерить объем ковша погрузчика

h = √(ab2 — a2/4);h = √(b2 — a2/2).

Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.

Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:

Источник

Высота пирамиды. Как ее найти?

Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение «высота пирамиды» очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.

Части пирамиды

Каждая пирамида состоит из следующих элементов:

  • боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
  • апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
  • вершина пирамиды – это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
  • основание – это многоугольник, на котором не лежит вершина;
  • высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.

Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем

Через формулу объема пирамиды V = (S*h)/3 (в формуле V — объем, S – площадь основания, h — высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной пирамиде площадь основания равна 50 см 2 , тогда как ее объем составляет 125 см 3 . Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.

Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра

Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют прямоугольный треугольник. Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а – гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b – первый катет или половина диагонали и с – соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² — b².

Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра – 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² — 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.

Как найти высоту усеченной пирамиды

Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды – это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания – d2, а ребро имеет длину – l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.

Читайте также:  1 паллет это сколько объем

Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего – 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза – 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.

Источник

Объем пирамиды

В этой статье вы поймете что такое пирамида и какими они бывают.

Вы научитесь вычислять объем пирамиды, высоту и другие ее параметры.

Вы научитесь решать задачу на доказательство (ЕГЭ №14) и записывать доказательства так, чтобы не сняли баллы на ЕГЭ.

Объем пирамиды — коротко о главном

Определение пирамиды:

Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Треугольники, в которые «сливаются» эти отрезки, называются боковыми гранями, а отрезки, проведённые к вершинам основания — это боковые ребра.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

  • В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
  • Все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды:

Что такое пирамида

Как она выглядит?

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания.

Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Высота пирамиды

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты.

Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды.

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида

Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов?

Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно.

А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная правильная пирамида

В основании – правильный шестиугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в центр основания.

Четырехугольная правильная пирамида

В основании – квадрат, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная правильная пирамида

В основании – правильный треугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Читайте также:  Газообразные вещества сохраняют объем

Очень важные свойства правильной пирамиды

В правильной пирамиде:

  • Все боковые ребра равны
  • Все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды

Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac<1><3>\)?

Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac<1><3>\), а у цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle <_<осн>>\) и \( \displaystyle H\).

\( \displaystyle <_<осн>>\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

Вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac<1><2>ab\cdot \sin \gamma \)

У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» — это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60<>^\circ =\frac<\sqrt<3>><2>\)

Теперь найдем \( \displaystyle H\).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOC\)

Чему же равно \( \displaystyle OC\)?

Это радиус описанной окружности в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамида правильная и, значит, \( \displaystyle O\) — центр \( \displaystyle \Delta ABC\)

Найдем \( \displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

\( \displaystyle OC=\frac<2><3>CK\), так как \( \displaystyle O\) — точка пересечения и медиан тоже.

\( \displaystyle C<^<2>>=A<^<2>>-A<^<2>>\) (теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta ACK\))

Подставим \( \displaystyle OC\) в формулу для \( \displaystyle H\).

И подставим все в формулу объема:

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

Здесь \( \displaystyle <_>\) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle <_>=<^<2>>\).

Найдем \( \displaystyle H\). По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOD\)

Известно ли нам \( \displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:

Подставляем \( \displaystyle OD\) в формулу для \( \displaystyle H\):

А теперь и \( \displaystyle H\) и \( \displaystyle <_>\) подставляем в формулу объема.

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).

Как найти \( \displaystyle <_>\)? Смотри, шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем \( \displaystyle H\) (это \( \displaystyle SO\)).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOE\)

Но чему же равно \( \displaystyle OE\)? Это просто \( \displaystyle a\), потому что \( \displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020

В этом видео мы разобрали следующие вопросы:

  • Как нарисовать шестиугольную пирамиду и как исправить рисунок, если грани пирамиды сливаются.
  • Как правильно подписать вершины пирамиды.
  • Как доказать пункты А и Б задания №14 из ЕГЭ и записать доказательство так, чтобы не сняли баллы на экзамене.
  • Как найти площадь основания пирамиды (чтобы найти объем) и правильно записать решение.
  • Как найти объем пирамиды.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем