Как найти отношение объема цилиндра к объему конуса

Как найти отношение объема цилиндра к объему конуса

Учебный курс Решаем задачи по геометрии
Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел стереометрия, конус). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме.

Задача.
В цилиндр вписаны шар и конус, причём высота цилиндра равна диаметру его основания.
Найти отношение объёма конуса к объёму шара, и к объёму цилиндра.

Решение.
Для решения задачи воспользуемся формулами нахождения объема шара, цилиндра и конуса:

Учтем, что по условию задачи высота цилиндра, а, соответственно и конуса, равны диаметру шара, что следует из построения согласно условию. То есть шар касается обеих оснований цилиндра в их центре. Из чего запишем:
h = 2R
Откуда
Vцилиндра = πR 2 h = πR 2 2R = 2πR 3
Vшара = 4/3πR 3
Vконуса = 1/3πR 2 h = 1/3πR 2 2R = 2/3πR 3

Таким образом, соотношение объема конуса к объему шара будет равно:
Vконуса / Vшара = 2/3πR 3 / 4/3πR 3 = 2/3 / 4/3 = 1/2

А соотношение объема конуса к объему цилиндра будет равно:
Vконуса / Vшара = 2/3πR 3 / 2πR 3 = 2/3 / 2 = 1/3

Задача.
Объем конуса равен 27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение.
Обратим внимание, что треугольники AOB и COD — подобны. Из условия задачи определим коэффициент подобия как 2:3.

Объем конуса находится по формуле, указанной в предыдущей задаче.
Vконуса = 1/3πR 2 h = 27 (по условию)
Тогда объем малого конуса будет равен
Vмал.конуса = 1/3π(2/3R) 2 (2/3h)
то есть
Vмал.конуса = 1/3π 4/9 R 2 2/3 h
Vмал.конуса = 8/27 *1/3π R 2 h
а так как мы знаем, что 1/3π R 2 h= 27 (см. выше), то

Vмал.конуса = 8/27 * 27 = 8

Ответ: объем малого конуса равен 8

Источник

Как найти отношение объема цилиндра к объему конуса

Учебный курс Решаем задачи по геометрии
Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел стереометрия, конус). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме.

Задача.
В цилиндр вписаны шар и конус, причём высота цилиндра равна диаметру его основания.
Найти отношение объёма конуса к объёму шара, и к объёму цилиндра.

Решение.
Для решения задачи воспользуемся формулами нахождения объема шара, цилиндра и конуса:

Учтем, что по условию задачи высота цилиндра, а, соответственно и конуса, равны диаметру шара, что следует из построения согласно условию. То есть шар касается обеих оснований цилиндра в их центре. Из чего запишем:
h = 2R
Откуда
Vцилиндра = πR 2 h = πR 2 2R = 2πR 3
Vшара = 4/3πR 3
Vконуса = 1/3πR 2 h = 1/3πR 2 2R = 2/3πR 3

Таким образом, соотношение объема конуса к объему шара будет равно:
Vконуса / Vшара = 2/3πR 3 / 4/3πR 3 = 2/3 / 4/3 = 1/2

А соотношение объема конуса к объему цилиндра будет равно:
Vконуса / Vшара = 2/3πR 3 / 2πR 3 = 2/3 / 2 = 1/3

Задача.
Объем конуса равен 27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение.
Обратим внимание, что треугольники AOB и COD — подобны. Из условия задачи определим коэффициент подобия как 2:3.

Объем конуса находится по формуле, указанной в предыдущей задаче.
Vконуса = 1/3πR 2 h = 27 (по условию)
Тогда объем малого конуса будет равен
Vмал.конуса = 1/3π(2/3R) 2 (2/3h)
то есть
Vмал.конуса = 1/3π 4/9 R 2 2/3 h
Vмал.конуса = 8/27 *1/3π R 2 h
а так как мы знаем, что 1/3π R 2 h= 27 (см. выше), то

Vмал.конуса = 8/27 * 27 = 8

Ответ: объем малого конуса равен 8

Источник

Тела и поверхности вращения

По теме Тела и поверхности вращения школьнику необходимо знать следующее:

  1. Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка
  2. Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка
  3. Шар и сфера, их сечения

Главная особенность всех упомянутых тел — наличие оси вращения, которая является осью симметрии тела. Если совместить оси вращения двух разных тел, то также получится некая осесимметричная конструкция, все сечения которой плоскостью, проходящей через эту ось, будут одинаковыми. Это позволяет быстро и легко переходить от задачи по стереометрии к рассмотрению плоского сечения.

Поэтому в школьных учебниках, а также в заданиях ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на вписанные и описанные тела вращения. Решим несколько примеров.

Могут потребоваться следующие формулы:

площадь боковой поверхности цилиндра Sб = 2πrh;
площадь полной поверхности цилиндра Sп = 2πrh + 2πr 2 ,
где r — радиус основания цилиндра, h — его высота.

площадь боковой поверхности конуса Sб = πrl;
площадь полной поверхности конуса Sп = πr(r + l),
где r — радиус основания конуса, l — длина образующей.

Объём шара V = 4 _ 3 πR 3 ;

площадь сферы (поверхности шара) S = 4πR 2 ,
где R — радиус шара (сферы).

Задачи на тела вращения

Внимание: задачи с решениями, но они временно скрыты. Сначала сделайте попытку решить задачу самостоятельно, и только после этого нажимайте кнопки «Посмотреть ответ» и «Посмотреть решение». Ваш ответ должен совпадать с указанным, но способ решения может быть несколько иным.

Цилиндр, объём которого равен 33, описан около шара. Найдите объём шара.

Как видно из рисунков выше, осевое сечение цилиндра с вписанным шаром представляет собой квадрат с вписанным кругом. Радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).
Тогда объем цилиндра Vц = πr 2 h = πR 2 ·2R = 2πR 3 .

Отсюда находим R 3 = Vц ___ 2π и, соответственно, Vш = 4 _ 3 πR 3 = 4π __ 3 · Vц __ 2π

После сокращения дроби, получим Vш = 2Vц /3 = 2·33/3 = 22.

Ответ: 22

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра находим по формуле Sц = 2πrh + 2πr 2 .
Аналогично предыдущей задаче из рисунка для плоского сечения видно, что радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).
Поэтому Sц = 2πR·2R + 2πR 2 = 6πR 2 .
Величину πR 2 найдем из формулы поверхности шара Sш = 4πR 2 . Следовательно, πR 2 = Sш /4 = 111/4.
Окончательно находим Sц = 6·111/4 = 333/2 = 166,5 .

Ответ: 166,5

Цилиндр вписан в шар, радиус которого равен √2 _ . Найти объём цилиндра, если высота цилиндра в два раза больше радиуса цилиндра. Ответ записать в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.

Объём цилиндра определяется по формуле V = πr 2 h .
По условию задачи h = 2r.
Чтобы найти радиус цилиндра, дополнили чертеж осевого сечения радиусом шара и расставили буквы для обозначения отрезков. Здесь O — центр шара, OB = R — радиус шара, AB = r — радиус цилиндра.
Точка O также является серединой высоты цилиндра, поэтому AO = h/2. В нашем случае h/2 = r, таким образом AO = AB = r, и треугольник OAB — прямоугольный, равнобедренный.

Отсюда находим радиус цилиндра r = R·sin45° = R· √2 _ /2 = √2 _ · √2 _ /2 = 1

и его объём V = πr 2 h = π·1 2 ·2 = 2π ≈ 6,28 .

Ответ: 6,28

В шар, площадь поверхности которого равна 100π, вписан цилиндр. Найти высоту цилиндра, если радиус его основания равен 4.

Дополним чертеж осевого сечения радиусом шара и расставим буквы для обозначения отрезков.
Площадь поверхности шара Sш = 4πR 2 = 100π. Отсюда R 2 = 25 и R = 5.
В треугольнике OAB: OA = x — половина искомой высоты цилиндра; AB = 4 — радиус основания цилиндра; OB = 5 — радиус шара.
По теореме Пифагора:
x 2 + 4 2 = 5 2
x 2 = 25 − 16 = 9; x = 3. h = 6.

Ответ: 6

Конус вписан в цилиндр. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 5.

Как видно из рисунков вверху, в этом случае конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту.

При одинаковых r и h объём конуса Vк = 1 _ 3 πr 2 h

в три раза меньше объёма цилиндра Vц = πr 2 h .
Таким образом, искомая величина Vц = 3×5 = 15.

Ответ: 15

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3 √2 _ . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Воспользуемся чертежом осевого сечения, расставим буквы для обозначения отрезков: AC = h — высота конуса и цилиндра, CB = r — радиус оснований конуса и цилиндра, AB = l — образующая цилиндра.
Из треугольника ABC по теореме Пифагора:

т.е. площадь боковой поверхности цилиндра в √2 _ раз больше площади боковой поверхности конуса.
Окончательно Sк = 3 √2 _ / √2 _ = 3

Ответ: 3

В конус вписан цилиндр так, что его верхнее основание пересекает высоту конуса в её середине. Найдите объём конуса, если объем цилиндра равен 60.

Воспользуемся чертежом осевого сечения, расставим буквы для обозначения отрезков:
AC = hк — высота конуса, CB = rк — радиус основания конуса,
DC = hц — высота цилиндра, DE = rц — радиус основания цилиндра.
Найдём отношение объёмов конуса и цилиндра:

По условию задачи точка D — середина отрезка AC, т.е. AD = DC = AC / 2 , и потому hк : hц = 2 : 1 .

Ответ: 160

В конус с высотой 15 и радиусом основания 3 вписан цилиндр объёма V. Найти наибольшее возможное значение объёма цилиндра.

В один и тот же конус можно вписать разные цилиндры. Обозначим символом r радиус вписанного цилиндра, h — его высоту.
Из подобия треугольников ADE и ABC (см. решение предыдущей задачи) составим пропорцию
AC : AD = CB : DE,
15 : (15 − h) = 3 : r,
преобразуя которую, найдём соотношение между высотой и радиусом цилиндра, вписанного в заданный конус:
15· r = 3·(15 − h), h = 15 − 5r .

Теперь можем выразить объём цилиндра только через один его характерный размер:
V = πr 2 h = πr 2 ·(15 − 5r) = 15πr 2 − 5r 3 .
Получили выражение для объёма цилиндра в виде функции одной переменной V = f(r) .
Чтобы найти максимальное значение этой функции, нужно найти её производную.
V’ = (15πr 2 − 5r 3 )’ = 15π·2r − 5·3r 2 = 30πr − 15r 2 .
Затем приравнять производную к нулю и решить уравнение V’ = 0 относительно переменной r.
30πr − 15πr 2 = 0, 15πr(2 − r) = 0 .
Это уравнение имеет два корня r1 = 0 и r2 = 2, которые являются точками экстремумов функции V(r). Необходимости проводить исследование на характер экстремумов в данном случае нет, так как очевидно, что при r = 0 объем «цилиндра» будет нулевым, т.е. минимальным. Максимального значения объём достигает при r = 2. Вычислим это значение
V = 15πr 2 − 5r 3 = 15π·2 2 − 5π·2 3 = 60π − 40π = 20π .

Ответ: 20π

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 7 √2 _ . Найдите радиус сферы.

Так как по условию задачи центр сферы находится в центре основания конуса, то основание конуса, в свою очередь, является диаметральным сечением сферы. Т.о. на плоском чертеже отрезок AB является диаметром окружности, и ∠ACB = 90° как вписанный угол, опирающийся на её диаметр.
Пусть l = 7 √2 _ — образующая конуса, R — радиус сферы. Тогда в прямоугольном треугольнике ABC AC = BC = l — катеты, AB = 2R — гипотенуза. По теореме Пифагора
AB 2 = AC 2 + BC 2 ;
(2R) 2 = l 2 + l 2 ;
4R 2 = l 2 + l 2 = 2l 2 ; 4R 2 = 2(7 √2 _ ) 2 ;
4R 2 = 2·49·2 = 4·49; R 2 = 49; R = 7 .

Ответ: 7

Найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, у которого радиус основания 2 __ √π _ ,

а высота 1 __ √π _ .

Пусть R — радиус сферы. Поскольку СD — диаметр окружности осевого сечения, то СH + HD = 2R.
Воспользуемся свойством пересекающихся хорд окружности, чтобы найти длину отрезка HD = x.
DH·HС = AH·HC

x· 1 __ √π _ = 2 __ √π _ · 2 __ √π _

Преобразуя, получим х = 4 __ √π _ .

Тогда 2R = 1 __ √π _ + 4 __ √π _ = 5 __ √π _ ; R = 5 ___ 2 √π _ .

Площадь сферы S = 4πR 2 = 4π· 25 ___ 4π = 25 .

Ответ: 25

В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса равна 3 √9 / π 2 _____ , а угол между высотой и образующей равен 45°. Найти объём шара.

На этом рисунке углы между высотой и образующей — ∠OCA и ∠OCB. По условию задачи они равны 45°. Таким образом треугольники OCA и OCB прямоугольные, равнобедренные. Следовательно, радиус шара равен высоте конуса, и площадь осевого сечения конуса (площадь треугольника ABC) можно выразить только через радиус шара S = OC·AB/2=R·2R/2 = R 2 .
Таким образом,

Ответ: 4

В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания. Найти отношение полной поверхности этого конуса к поверхности шара.

Пусть образующая конуса (AC = BC) равна a. Тогда по условию задачи диаметр конуса (AB) тоже равен a. То есть, треугольник ABC — равносторонний.
Чтобы найти радиус шара (R), используем формулу, связывающую длину стороны равностороннего треугольника и радиус описанной около него окружности.

Радиус основания конуса r = a/2 (половина диаметра).
Площадь полной поверхности конуса
Sк = πr(r + l) = π·a/2·(a/2 + a) = 3πa 2 /4 .
Площадь поверхности шара
Sш = 4πR 2 = 4π·a 2 ·( √3 _ /3) 2 = 4πa 2 /3 .
Их отношение

Источник

Читайте также:  Lada 210740 объем двигателя
Поделиться с друзьями
Объясняем