Как найти объем вписанного конуса

Объем конуса

Объём конуса выражается такой же формулой, что и объём пирамиды: V = 1 /₃ Sh,

где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — его высота.

Окончательно V = 1 /₃ πR 2 h, где R — радиус основания конуса.

Получение формулы объёма конуса можно пояснить таким рассуждением:

Пусть дан конус (рис). Впишем в него правильную пирамиду, т. е. построим внутри конуса такую пирамиду, вершина которой совпадает с вершиной конуса, а основанием служит правильный многоугольник, вписанный в основание конуса.

Объём этой пирамиды выразится формулой: V’ = 1 /₃ S’h, где V — объём пирамиды,

S’ — площадь её основания, h — высота пирамиды.

Если при этом за основание пирамиды взять многоугольник с очень большим числом сторон, то площадь основания пирамиды будет весьма мало отличаться от площади круга, а объём пирамиды — весьма мало отличаться от объёма конуса. Если, пренебречь этими различиями в размерах, то объём конуса выразится следующей формулой:

V = 1 /₃ Sh, где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — высота конуса.

Заменив S через πR 2 , где R — радиус круга, получим формулу: V = 1 /₃ πR 2 h, выражающую объём конуса.

Примечание. В формуле V = 1 /₃ Sh поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах средней школы доказывается, что равенство

V = 1 /₃ Sh точное, а не приближённое.

Объем произвольного конуса

Теорема. Объем произвольного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.

где Q — площадь основания, а Н — высота конуса.

Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис.).

Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна Н. Тогда существуют последовательности многоугольников Ф_n и Ф’_n с площадями Q_n и Q’_n таких, что

Очевидно, что пирамида с вершиной S и основанием Ф’_n будет вписанной в данный конус, а пирамида с вершиной S и основанием Ф_n — описанной около конуса.

Объемы этих пирамид соответственно равны

то формула (1) доказана.

Следствие. Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями а и b, вычисляется по формуле

В частности, объем конуса, основанием которого является круг радиуса R, вычисляется по формуле

V = 1 /₃ π R 2 H (3)

где Н — высота конуса.

Как известно, площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab, и поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab. Если а = b = R, то получается формула (3).

Объем прямого кругового конуса

Теорема 1. Объем прямого кругового конуса с высотой Н и радиусом основания R вычисляется по формуле

Данный конус можно рассматривать как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках О(0; 0),В(Н; 0), А(Н; R) вокруг оси Ох (рис.).

Треугольник ОАВ является криволинейной трапецией, соответствующей функции

у = R /_H х, х ∈ [0; H]. Поэтому, используя известную формулу, получаем

Следствие. Объем прямого кругового конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т. е.

где Q — площадь основания, а H — высота конуса.

Теорема 2. Объем усеченного конуса с радиусами оснований r и R и высотой H вычисляется по формуле

Усеченный конус можно получить вращением вокруг оси Ох трапеции О ABC (рис.).

Прямая АВ проходит через точки (0; r) и (H; R), поэтому она имеет уравнение

Для вычисления интеграла сделаем замену

Очевидно, когда х изменяется в пределах от 0 до H, переменная и изменяется от r до R, и поэтому

Источник

Объём конуса

Онлайн калькулятор

Через площадь основания и высоту

Площадь основания S_осн =
Высота h =

Через радиус и другие параметры

=
=

Теория

Объём конуса через площадь основания и высоту

Чему равен объём конуса V, если площадь его основания S_осн, а высота h:

Формула

Пример

Для примера посчитаем, чему равен объём конуса, у которого площадь основания S_осн = 3 см², а высота h = 5 см :

Объём конуса через образующую и радиус

Чему равен объём конуса V, если его образующая l, радиус основания r?

Формула

Пример

Для примера посчитаем, чему равен объём конуса, у которого образующая l = 5 см, а радиус основания r = 2 см:

V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 2² ⋅ √ 5² — 2² = ⅓ ⋅ 12.56 ⋅ √ 21 ≈ 4.19 ⋅ 4.58 ≈ 19.19 см³

Объём конуса через радиус и высоту

Чему равен объём конуса V, если радиус его основания r, а высота h?

Формула

Пример

Для примера посчитаем объём конуса, у которого высота h = 6 см, а радиус основания r = 3 см:

V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 3² ⋅ 6 = 169.56 /₃ = 56.52 см³

Объём конуса через угол раствора (α) и радиус

Чему равен объём конуса V, если угол раствора α, а радиус основания r?

Формула

Пример

Для примера посчитаем объём конуса, имеющего угол раствора α = 30° и радиус основания r = 2 см:

V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 2³ /_tg(30/2) ≈ 1,0467 ⋅ 8 / 0.2679 ≈ 31.25 см³

Объём конуса через угол β и радиус

Чему равен объём конуса V, если известны угол β и радиус основания r?

Формула

Пример

Для примера посчитаем объём конуса, имеющего угол β = 20° и радиус основания r = 3 см:

V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 3³ /_{tg 20} ≈ 1,0467 ⋅ 27 / 0.36397 ≈ 77.64 см³

Объём конуса через угол γ и радиус

Чему равен объём конуса V, если известны угол γ и радиус основания r?

Формула

Пример

Для примера посчитаем объём конуса, имеющего угол γ = 45° и радиус основания r = 2 см:

V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 2³ ⋅ tg 45 ≈ 1,0467 ⋅ 8 ⋅ 1 ≈ 8.37 см³

Источник

Нахождение объема конуса: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать объем прямого кругового конуса и разберем примеры решения задач.

Формула вычисления объема

1. Через площадь основания и высоту

Объем (V) конуса равняется одной третьей произведения его высоты на площадь основания:

2. Через радиус основания и высоту

Как мы знаем, основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется по формуле: S = πR 2 .

Следовательно, формулу для вычисления объема конуса можно представить в виде:

Т.е. объем конуса равняется одной третьей произведения его высоты на число π и на радиус основания в квадрате.

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

Формула для нахождения объема усеченного конуса представлена в отдельной публикации.

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем конуса, если известна площадь его основания – 50,24 см 2 , а также, высота – 9 см.

Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее заданные значения:

Задание 2
Высота конуса равна 7 см, а его радиус – 3 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользовавшись второй, более расширенной, формулой получаем:

Источник

Объем и высота конуса

Свойства

Поскольку объем конуса равен произведению высоты на треть площади основания конуса, то, зная объем и высоту, легко найти площадь круга в основании, а затем радиус и диаметр конуса. S_(осн.)=3V/h r=√(S_(осн.)/π)=√(3V/πh) d=2r=2√(3V/πh)

Чтобы найти образующую конуса через объем и высоту, необходимо построить прямоугольный треугольник с образующей в виде гипотенузы и радиусом и высотой как катетами треугольника. Тогда образующая будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и радиуса по теореме Пифагора, а угол между основанием и образующей можно будет найти через тангенс отношения высоты к радиусу. (рис.40.1) l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+3V/πh) tan⁡β=h/r=h/√(3V/πh)=h√(πh/3V)

Угол раствора конуса можно найти, зная угол между образующей и основанием, и соединив их в равнобедренном треугольнике, где боковой стороной будет образующая, а основанием треугольника – диаметр конуса. (рис.40.2) α=180°-2β

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению радиуса на образующую и число π, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания, которую можно найти через объем. S_(б.п.)=πrl=π√(3V/πh (h^2+3V/πh) ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=π√(3V/πh (h^2+3V/πh) )+3V/h

Радиусы вписанной и описанной около конуса сфер можно найти из отношений, связывающих не только высоту конуса, которая известна, но и образующую, а также радиус основания конуса. (рис.40.3,40.4) r_1=hr/(l+r)=(h√(3V/πh))/(√(h^2+3V/πh)+√(3V/πh))=(h√3V)/(√(πh^3+3V)+√3V) R=(h^2+3V/πh)/2h

Источник

Как посчитать объем конуса

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 31 человек(а).

Количество просмотров этой статьи: 16 615.

Вы можете посчитать объем конуса очень простым способом, для этого нужно знать его высоту и радиус. Тогда вам просто надо подставить соответствующие значения в формулу и вычислить объем. Формула выглядит так v = hπr 2 /3. Вот несколько способов вычисления объема конуса:

• Не измеряйте объем конуса, если в нем все еще осталось мороженое.
• Измеряйте все единицы точно.
• Как это работает:

• С помощью этого метода вы вычисляете объем конуса так, будто бы это цилиндр. Когда вы вычисляете площадь основания и умножаете ее на высоту, вы как бы создаете воображаемый цилиндр, в котором помещается ровно три таких конуса, именно поэтому вы затем должны поделить полученный результат на три.

Радиус, высота и длина по образующей конуса (она измеряется по покатой стороне конуса, а обычная высота измеряется посредине, от основания до его вершины) образуют правильный треугольник. Поэтому здесь можно использовать теорему Пифагора: (радиус)(радиус) 2 + (высота) 2 = (длине образующей конуса) 2

Все измерения должны проводиться в одинаковых единицах.

Источник