Как найти объем призмы основанием которой является треугольник

Треугольная призма все формулы и примеры задач

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы .

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы .

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как Sбок=Pосн . h, то получим:

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы :

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.

Читайте также:  135 л с это объем двигателя

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k 2 = S12 2 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Формулы по математике для ЕГЭ и ОГЭ

Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы

Источник

Объем прямой призмы

1. Объём прямой треугольной призмы.

Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (рис. 307, а), и достроим его до прямоугольника, для чего через вершину В проведём прямую КМ || АС и из точек A и С опустим на эту прямую перпендикуляры АF и СЕ. Получим прямоугольник АСЕF. Проведя высоту ВD треугольника АBС, увидим, что прямоугольник АСЕF разбился на 4 прямоугольных треугольника. Причём \(\Delta\)ВСЕ = \(\Delta\)BCD и \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Значит, площадь прямоугольника АСЕF вдвое больше площади треугольника АBС, т. е. равна 2S.

К данной призме с основанием АBС пристроим призмы с основаниями ВСЕ и BАF и высотой h (рис. 307, б). Получим прямоугольный параллелепипед с основанием АСЕF.

Если этот параллелепипед рассечём плоскостью, проходящей через прямые BD и BB’, то увидим, что прямоугольный параллелепипед состоит из 4 призм с основаниями BCD, ВСЕ, BАD и BAF.

Читайте также:  Как ищется объем формула

Призмы с основаниями BCD и ВСЕ могут быть совмещены, так как основания их равны (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BСЕ) и также равны их боковые рёбра, являющиеся перпендикулярами к одной плоскости. Значит, объёмы этих призм равны. Также равны объёмы призм с основаниями BАD и BАF.

Таким образом, оказывается, что объём данной треугольной призмы с основанием АBС вдвое меньше объёма прямоугольного параллелепипеда с основанием АСЕF.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е. в данном случае равен 2Sh. Отсюда объём данной прямой треугольной призмы равен Sh.

Объём прямой треугольной призмы равен произведению площади её основания на высоту.

2. Объём прямой многоугольной призмы.

Обозначив площади основания треугольных призм через S1, S2и S3, а объём данной многоугольной призмы через V, получим:

И окончательно: V = Sh.

Таким же путём выводится формула объема прямой призмы, имеющей в основании любой многоугольник.

Значит, объём любой прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту.

Объём призмы

Теорема. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Сначала докажем эту теорему для треугольной призмы, а потом и для многоугольной.

1) Проведём (черт. 95) через ребро AA1 треугольной призмы АВСА1В1С1 плоскость, параллельную грани ВВ1С1С, а через ребро СС1 — плоскость, параллельную грани AA1B1B; затем продолжим плоскости обоих оснований призмы до пересечения с проведёнными плоскостями.

Тогда мы получим параллелепипед BD1, который диагональной плоскостью АА1С1С делится на две треугольные призмы (из них одна есть данная). Докажем, что эти призмы равновелики. Для этого проведём перпендикулярное сечение abcd. В сечении получится параллелограмм, который диагональю ас делится на два равных треугольника. Данная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание есть \(\Delta\)аbc, а высота — ребро АА1. Другая треугольная призма равновелика такой прямой, у которой основание есть \(\Delta\)аdс, а высота — ребро АА1. Но две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами равны (потому что при вложении они совмещаются), значит, призмы АВСА1В1С1 и ADCA1D1C1 равновелики. Из этого следует, что объём данной призмы составляет половину объёма параллелепипеда BD1; поэтому, обозначив высоту призмы через H, получим:

2) Проведём через ребро АА1 многоугольной призмы (черт. 96) диагональные плоскости АА1С1С и AA1D1D.

Тогда данная призма рассечётся на несколько треугольных призм. Сумма объёмов этих призм составляет искомый объём. Если обозначим площади их оснований через b1, b2, b3, а общую высоту через Н, то получим:

= (площади ABCDE) • H.

Следствие. Если V, В и Н будут числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту призмы, то, по доказанному, можно написать:

Читайте также:  Как найти молярный объем вещества формула

Источник

Объем призмы

Вы будете перенаправлены на Автор24

  • Telegram
  • Whatsapp
  • Вконтакте
  • Одноклассники
  • Email

На этой странице вы узнаете, что такое призма и как найти объем правильной треугольной или любой другой призмы. Также приведены формулы и онлайн-калькуляторы для расчёта объёма правильной треугольной призмы и призмы в общем случае.

Призма — это объёмная фигура, 2 грани которой являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани представляют собой параллелограммы. Грани, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями, а параллелограммы, имеющие общие стороны с основаниями, называются боковыми гранями.

Объем призмы через площадь основания и высоту

В общем случае объём любой призмы вне зависимости от того, правильная она или нет, определяется по формуле:

$V = S \cdot h$, где

$S$ — площадь многоугольника, лежащего в основании;

$h$ — высота призмы.

Для того чтобы воспользоваться онлайн-калькулятором для вычисления площади призмы с произвольным многоугольником в основании, введите значение площади основания и высоту призмы.

Задача

Рассчитайте, чему равен объём призмы, основание которой является правильным пятиугольником со стороной $b=5$ см, а высота $h$ равна $7$ см.

Решение:

Для того чтобы найти объём призмы, сначала необходимо найти площадь её основания. Для этого воспользуемся формулой для вычисления площади правильного многогранника:

Теперь найдём объём призмы:

$V = S \cdot h = 42,81 \cdot 7 = 299,67$ куб. см.

Ответ: $299,67$.

Введём заданные значения в поля ввода калькулятора. Результаты совпадают, а значит, ответ найден верно.

Один из наиболее часто встречающихся видов призм — это полуправильная треугольная. В основании такой призмы лежит правильный треугольник (то есть, треугольник, у которого все стороны равны), а боковыми гранями являются прямоугольники.

Расчёт объёма полуправильной треугольной призмы можно осуществить с помощью онлайн-калькулятора. Для этого введите длину ребра и сторону основания в соответствующие поля ввода.

Объем правильной треугольной призмы через ребро

Чтобы вычислить объём правильной треугольной призмы, необходимо воспользоваться формулой объёма для призмы в общем случае:

затем подставим в эту формулу значение площади для правильного треугольника и получим:

$V =\frac<\sqrt3> <4>\cdot b^2 \cdot h$, здесь

$h$ — высота призмы;

$b$ — сторона правильного треугольника, лежащего в основании.

Задача

Сторона $b$ правильного треугольника, лежащего в основании призмы, равна $6$ см, а высота призмы составляет $9$ см. Определите объём призмы.

Решение:

Воспользуемся формулой для определения объема треугольной призмы:

Сверим полученный результат с калькулятором — ответы совпадают, значит, решение найдено верно.

Ответ: $140,30$.

Нужны еще материалы по теме статьи?

Воспользуйся новым поиском!

Найди больше статей и в один клик создай свой список литературы по ГОСТу

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем