Как найти объем планеты зная диаметр

Формулы радиуса шара через его объем и площадь поверхности. Объем планеты Земля

Шар является симметричной объемной фигурой, свойства которой рассматривают в школьном курсе геометрии в 8 классе. Данная статья посвящена формулам радиуса шара, позволяющим определить эту величину, зная площадь поверхности фигуры или ее объем.

Что такое шар? Основные формулы

С математической точки зрения шар представляет собой совокупность точек в пространстве, которые лежат на некотором определенном расстоянии от некоторой фиксированной точки, называемой центром. Поверхностью этой фигуры является сфера.

Самый простой способ получить шар заключается в следующем: необходимо взять круг и вращать его вокруг оси, проходящей через диаметр. Поскольку рассматриваемое тело ограничено сферической поверхностью, то формулы для ее площади, а также для объема, который она ограничивает, справедливы и для шара. Запишем их:

  • Площадь поверхности шара: S = 4 * pi * R 2 .
  • Объем шара: V = 4/3 * pi * R 3 .

В приведенных формулах R — это радиус шара, pi — константа, которая называется числом «Пи», она равна приблизительно 3,1416.

Пользуясь этими выражениями, можно получить соответствующие формулы радиуса шара:

  • Через площадь S:R = 1/2√(S / pi).
  • Через объем V:R = ∛(3V / 4pi).

Приведем еще одно выражение, которое почему-то не рассматривается в школьном курсе, тем не менее оно позволяет вычислить объем шара с точностью 0,03 %, не используя при этом число pi. Оно имеет вид: V = 67 / 16R 3 . Откуда: R = ∛(16V / 67).

Вычисления объема Земли

Как известно, наша планета не является идеальным шаром. Ее вращение вокруг своей оси за сотни миллионов лет привело к тому, что Земля немного «толще» в экваториальных широтах и немного «тоньше» на полюсах. Соответствующие радиусы равны 6378 и 6357 км. Как видно из этих цифр, они отличаются на небольшую величину (около 0,3 %). Поэтому при рассмотрении Земли в геометрии ее полагают идеальным шаром со средним радиусом 6371 км. Используем это значение и рассчитаем объем нашей голубой планеты.

Воспользуемся формулой объема шара по радиусу. Имеем: V = 4/3 * 3,1416 * 6371 3 ≈ 1,08 * 10 12 км 3 . Теперь рассчитаем V с помощью формулы без pi, получаем: V = 67 / 16 * 6371 3 ≈ 1,08 * 10 12 км 3 . То есть мы получили точно такое же значение с точностью до 2-х знаков после запятой.

Источник

Объем Земли и другие основные параметры

Очень часто мы волей-неволей задумываемся над, казалось бы, странными и не имеющими смысла вопросами. Нас очень часто интересуют численные значения каких-нибудь параметров, а также сравнение их с другими, но известными нам величинами. Очень часто такие вопросы приходят в голову детям, и родителям приходится на них отвечать.

Чему равен объем Земли? Ответить на вопрос бывает непросто, потому что мозг очень неохотно запоминает те величины, которые ему редко придется применить в жизни. Если вы услышали ответ на этот вопрос давным-давно, сегодня вы уже вряд ли его вспомните, так как это вам с того времени не пригодилось.

Читайте также:  Как найти объем призмы прямоугольного параллелепипеда

Прежде чем дать точный ответ и привести сравнение объема Земли с известными нам величинами, окунёмся в историю геометрии. Ведь эта наука изначально была создана для измерения различных характеристик нашей планеты.

История

Геометрия зародилась ещё в Древнем Египте. Людям очень часто требовалось (как и сейчас) находить расстояния между городами, измерять те или иные предметы, отмерять площадь земли, принадлежавшую им. Благодаря всему этому появилась специальная наука — геометрия (от слов «гео» — Земля, и «метрос» — измерять). И изначально она сводилась только к прикладному применению. Но для некоторых измерений требовались более сложные вычисления. Тогда и появились на заре развития этой науки такие философы и учёные, как Пифагор и Евклид.

При строительстве даже с первого взгляда простых сооружений необходимо уметь измерять, какое количество материала пойдёт на постройку, вычислить расстояния между точками и величины углов между прямыми плоскостями. Также нужно знать свойства простейших геометрических фигур. Таким образом, египетские пирамиды, сооруженные во 2-3 веке до н. э., поражают точностью своих пространственных соотношений, доказывая, что их строители знали многие геометрические положения и обладали большой базой для точных математических расчётов.

Затем с развитием геометрии она потеряла своё изначальное предназначение и расширила области своего применения. Сегодня невозможно представить какое-либо производство без расчётов с помощью геометрических методов.

В следующем разделе поговорим о методах измерения тех или иных геометрических характеристик для разных тел.

Измерение тел

Для прямоугольных тел измерения объёма и площади наиболее просты. Необходимо всего лишь знать ширину, длину и высоту фигуры, чтобы узнать о ней всё самое необходимое. Объём прямоугольного тела находится произведением трёх пространственных величин. Площадь такой фигуры равна удвоенной сумме попарных произведений сторон. Если представить эти формулы математически, то для объёма будет справедливо такое равенство: V=abc, а для площади: S=2(ab+bc+ac).

Но для шара, например, эти формулы очень неудобны. Чтобы вычислить диаметр шара (а из него радиус), требуется заключить его в куб, с которым бы он соприкасался в шести точках. Длина (ширина или высота) этого куба и будет диаметром шара. Но гораздо проще сразу узнать объём шара, окунув его в наполненный до краёв сосуд. Измерив вылившийся объём воды, мы сможем узнать и объём шара. А так как формула объёма шара V=4/3* π*R 3 , из неё мы сможем найти радиус, который поможет для нахождения дальнейших характеристик тела.

Есть ещё один интересный способ измерения объёма шара, о котором мы расскажем в следующем разделе.

Как измерить объём Земли?

А если тело слишком большое, например, планета, как измерить точно её объём и площадь поверхности? Приходится прибегать к более интересным и изощрённым методам.

Начнём издалека. Как известно, если представить шар в двумерном пространстве, получится круг. Предположим, что из какой-то точки на шар падают в два разных места недалеко друг от друга два луча. Если посмотреть внимательно, будет видно, что они падают на поверхность под разными углами. Путём нехитрых геометрических построений можно заметить, что из центра шара можно провести линии, соединяющие две эти точки. Между собой эти линии будут образовывать определённый угол, который будет соответствовать измеренному заранее расстоянию между этими точками. Таким образом, мы знаем длину дуги, соответствующую какому-либо углу. Так как всего в круге 360 градусов, мы с лёгкостью можем найти длину окружности круга. А из формулы длины окружности находим радиус, из которого по известной формуле вычисляется объём.

Читайте также:  Голливуд какие это объемы

Таким способом и находится объём больших тел, в том числе и небесных. Им ещё в древности пользовались греки, чтобы узнать больше данных о Земле. Так они вычислили и объем Земли. Хотя, конечно, эти данные и приблизительные, потому что есть масса погрешностей, которые оказываются неучтенными при таком способе измерения.

Прежде чем дать ответ на главный вопрос, разберёмся в том, как сегодня измеряют такие сложные величины с наименьшей возможной погрешностью.

Современные методы измерения

Сегодня мы обладаем массой развитых технологий, которые позволяют уточнить вычисления древних учёных насчёт разных характеристик Земли. Для этого в прошлом веке человечество использовало орбитальные спутники. Они могут с наибольшей точностью измерить длину окружности нашей планеты, а на основании этих данных вычислить радиус, зная который, как мы уже выяснили, легко найти объём Земли.

Пришло время узнать точную цифру и сравнить её с известными нам величинами.

Какой объем Земли?

Итак, мы приблизились к главному вопросу этой статьи. Объем Земли равен 1 083 210 000 000 км 3 . Много ли это? Смотря с чем сравнивать. Из тех объектов, что мы в состоянии сравнить с этой величиной, подходит только другое небесное тело. Таким образом, можно сказать, что объем Луны составляет всего два процента от земного.

Есть также планеты, например, Юпитер, которые имеют огромный объем в силу того, что они имеют небольшую плотность и большую поверхностную площадь. Объем Земли мог бы тоже быть больше, если бы она состояла преимущественно из газов, а не из твёрдых и жидких веществ.

Применение

Такие величины нужны нам скорее для интереса. Но в реальной жизни они применяются очень активно. В астрономии такие величины, как объем Земли, масса Земли, земной радиус, используются для расчётов орбиты спутников, запускаемых с поверхности нашей планеты. Также эти данные могут быть полезны для более фундаментальных исследований. Интересно применение этих данных в географии и геологии, ведь расчет объема Земли представляет интерес для геологоразведочных работ и примерной оценки залежей полезных ископаемых.

Погрешности

Как известно, везде есть свои погрешности. И в расчёте объема Земли их достаточно много. Точнее, только одна погрешность вносит вклад в измерения, но она является самой значимой. Заключается она в том, что Земля не идеально круглая. Она приплюснута в полюсах и к тому же имеет неровности поверхности в виде впадин и гор. Хотя планета покрыта атмосферой, и большинство этих эффектов, влияющих на измерения, сглаживается, измерение плотности оказывается сильно затруднено.

Заключение

Физические характеристики Земли всегда были достаточно значимой темой для каждого. Бывает, что непонятно по какой причине, но хочется знать ответ на вопрос о том, сколько процентов площади планеты занимает мировой океан или каков объем Земли. В этой статье мы попытались не только дать точный ответ, но и рассказать, как и с помощью чего он был вычислен.

Читайте также:  Как завить локоны с объемом

Источник

Объём шара

Онлайн калькулятор

Чему равен объём шара, если:

Чему равен объём шара, если:

Площадь поверхности шара Sпов =

Теория

Объём шара через радиус

Чему равен объём шара Vшара, если его радиус r?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических сантиметрах, если его радиус r = 2 см:

Vшара = 4/3 ⋅ 3.14 ⋅ 2³ = 4/3 ⋅ 3.14 ⋅ 8 = 100.48/3 ≈ 33.493 см³

Объём шара через диаметр

Чему равен объём шара Vшара, если его диаметр d?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических метрах, если его диаметр d = 0.5 м:

Vшара = 1/6 ⋅ π ⋅ 0.5³ = (3.14 ⋅ 0.125) / 6 ≈ 0.0654 м³

Объём шара через длину окружности

Чему равен объём шара Vшара, если длина его окружности L?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических миллиметрах, если длина окружности у него L = 50 мм:

Vшара = 50³ ⁄ 6 ⋅ 3.14² = 125000 / 59.1576 ≈ 2113 мм³

Объём шара через площадь поверхности шара

Чему равен объём шара Vшара, если площадь его поверхности Sпов?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических сантиметрах, если площадь поверхности у него Sпов = 225 см²:

Источник

Объем шара

На этой странице вы можете рассчитать объем шара. Предлагаем вам 3 формулы и калькуляторы для них. Различаются они исходными данными. Вы можете найти объем шара зная его радиус, диаметр или длину окружности. Просто введите значение в калькулятор и получите мгновенный результат.

Шар — это геометрическое тело, состоящее из точек пространства, которые удалены от центра на одинаковое расстояние. Это расстояние называют радиусом шара.

Объем шара через радиус

Формула для нахождения объема шара через радиус: <3>\pi r^3> , где r — радиус шара.

Объем шара через диаметр

Формула для нахождения объема шара через диаметр: <6>\pi D^3> , где D — диаметр шара.

Объем шара через длину окружности

Формула для нахождения объема шара через длину окружности: <6\pi^2>> , где L — длина окружности шара.

Эта формула легко выводится формулы объема шара через его радиус и формулы для нахождения длины окружности

Пример расчета

Найдем объем шара, радиус которого 1 метр. Подставим это значение в первую формулу и произведем вычисления:

<3>\pi r^3 = \dfrac<4><3>\pi \cdot 1^3 = \dfrac<4><3>\pi \cdot 1 = 4,19 м^3>

Также на нашем сайте вы можете найти объем параллелепипеда.

Источник

Нахождение объема шара: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем шара и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема шара

1. Через радиус

Объем (V) шара равняется четырем третьим произведения его радиуса в кубе и числа π .

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

2. Через диаметр

Диаметр шара равняется двум его радиусам: d = 2R. А значит, формула вычисления объема может выглядеть следующим образом:

Примеры задач

Задание 1
Вычислите объем шара, если его радиус равняется 3 см.

Решение:
Применив первую формулу (через радиус) получаем:

Задание 2
Найдите объем шара, если известно, что его диаметр равен 12 см.

Решение:
Используем вторую формулу, в которой задействован диаметр:

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем