Как найти объем параллелепипеда если есть диагональ

Нахождение объема параллелепипеда: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем параллелепипеда и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема параллелепипеда

1. Общая формула

Объем любого параллелепипеда равняется произведению площади его основания на высоту.

V = Sосн ⋅ h

  • Sосн – площадь основания (ABCD или EFHG, равны между собой);
  • h – высота.

Данная формула справедлива для всех видов геометрической фигуры:

  • наклонной – боковые грани не перпендикулярны основаниям;
  • прямой – все боковые грани (4 шт.) являются прямоугольниками;
  • прямоугольной – все грани (боковые и основания) являются прямоугольниками;
  • ромбоэдра – все грани являются равными ромбами;
  • куба – все грани представляют собой равные квадраты.

2. Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем фигуры равен произведению его длины на ширину на высоту.

V = a ⋅ b ⋅ c

Формула следует из следующих утверждений:

  • Основанием фигуры является прямоугольник, площадь которого считается как произведение его длины (a) на ширину (b).
  • Высота фигуры – это длина боковой грани (c).

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем параллелепипеда, если известно, что площадь его основания равняется 20 см 2 , а высота – 7 см.

Решение:
Используем первую формулу, подставив в нее известные нам значения:
V = 20 см 2 ⋅ 7 см = 140 см 3 .

Задание 2
Дан прямоугольный параллелепипед. Длина и ширина его основания равны 9 см и 5 см, соответственно, а высота составляет 6 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользуемся формулой для данного типа фигуры:
V = 9 см ⋅ 5 см ⋅ 6 см = 270 см 3 .

Источник

Объем параллелепипеда

О чем эта статья:

Понятие объема

Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.

Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.

За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см 3 ), кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ).

Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.

Два свойства объёма

  1. У равных тел равные объёмы. Например, у двух одинаковых пакетов сока равные объемы.
  2. Если геометрическое тело состоит из нескольких геометрических тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Читайте также:  Как найти модуль ускорения бруска

Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.

Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:

V = a × b × h

Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.

Источник

Объемы фигур. Объем параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда, формула.

Параллелепипедом является призма, основание у которой – это параллелограмм. У параллелепипеда

6 граней, а они, в свою очередь, являются параллелограммами.

Параллелепипед, у которого 4 боковые грани — это прямоугольники, является прямым

Прямой параллелепипед, у которого все 6 граней прямоугольники, является прямоугольным.

Другими словами, прямоугольный параллелепипед — это объемная фигура, у которой есть 6 граней, и

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

где, H — высота параллелепипеда,

a – длина параллелепипеда,

b – ширина параллелепипеда,

h — высота прямоугольного параллелепипеда,

Примеры прямоугольного параллелепипеда: спортивный зал, кирпич, картонная коробка или столешница

Длины 3 рёбер прямоугольного параллелепипеда, которые имеют общий конец, называются измерениями

прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями является кубом. Все 6 граней куба — это

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда = сумме квадратов 3 его измерений.

Объем прямого параллелепипеда, формула.

Как найти объем параллелепипеда?

Площадь боковой поверхности параллелепипеда, формула:

где Ро — периметр основания,

Площадь полной поверхности, формула

где Sо — площадь основания

Формула объёма прямого параллелепипеда:

Объем произвольного параллелепипеда.

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры.

Чему равен объём параллелепипеда? Объем параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного

произведения трёх векторов, которые определяются 3-мя сторонами параллелепипеда, которые исходят

из одной вершины.

Соотношение длина сторон параллелепипеда – угол между ними даёт утверждение, что определитель

Грама указанных 3х векторов равен квадрату их смешанного произведения.

Источник

Как найти Объем Параллелепипеда?

V = So · h

Расшифрую знаки в формуле: «V» — это и есть объем параллелепипеда,

«So» — это площадь основания параллелепипеда,

«h» — это длина высоты параллелепипеда.

Если говорить словами, то объем параллелепипеда равняется произведению площади основания на высоту.

Объем усеченной пирамиды

Формула:

Объем усеченной пирамиды

Площадь второго основания (Sb2)

Точность вычисления Знаков после запятой: 5

Видео

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.

Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.\( \displaystyle <^<2>>=<^<2>>+<^<2>>+<^<2>>\).

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Объемом такого параллелепипеда называется произведение всех его трех измерений: длины, ширины, высоты. Вычисляется он так:

Объем прямоугольного параллелепипеда

Рассмотрим несколько примеров.

Решение

Сразу подставляем в формулу численные значения:

Ответ

Параллелепипед подробнее

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?

Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.

Далее смотри на картинки, запоминай и не путай!

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Вычисление площади

Как вы уже поняли, вычисление объёма параллелепипеда напрямую зависит от вычисления его площади. Давайте разберемся, сколько всего площадей можно найти в параллелепипеде.

Чтобы найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, вычислите по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем найдите сумму получившихся значений.

Так как противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда одинаковые, то получим формулу:

Чтобы вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда, сложите площадь боковой поверхности и две площади основания. Так как площади оснований у прямоугольного параллелепипеда одинаковые, то получим формулу:

Пример 3. Найдем площадь поверхности параллелепипеда, если длина основания равна 6 сантиметров, ширина — 4 см соответственно, а высота — 3 см.

Sп. п. = 2 (ab + ac + bc)

Sп. п. = 2 (6 × 4 + 6 × 3 + 4 × 3) = 2 × (24 + 18 + 12) = 2 × 54 = 108 см 2 .

Ответ: площадь поверхности параллелепипеда — 108 см 2 .

Как видите, вычислить объём и найти площадь параллелепипеда совсем не трудно.

Практическое применение

Для вычисления объема, высоты и прочих характеристик фигуры нужно знать теоретические основы и формулы. Решение задач входит в программу сдачи ЕГЭ и билеты при поступлении в вуз.

Доказательство теорем

Теоретически S боковой поверхности ПП равна S б. п. = 2 (a+b)c. S полной поверхности равна Sполн. поверхности ПП=2 (ab+ac+bc).

Объем ПП равен произведению трех его боковых частей, выходящих из единой вершины (три измерения ПП): abc.

Доказательство: так как у ПП боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами — h=AA1=c. Если в основании лежит прямоугольник, то Sосн=AB ⋅ AD=ab. Диагональ d ПП можно найти по формуле d2=a2+b2+c2, где a, b, c — измерения ПП.

Если в основании расположен прямоугольник, то △ ABD прямоугольный, значит, по теореме Пифагора BD2=AB2+AD2=a2+b2. Если все боковые грани перпендикулярны основной линии, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD.

Когда △ BB1D прямоугольный, то по теореме Пифагора B1D=BB12+BD2.

Решение задач

Задача 1: известны ПП: 3, 4, 12 см, необходимо найти длину главной диагонали фигуры.

Поиск ответа на вопрос начинается с выстраивания схематического изображения, на котором означаются величины. Используется формула B1D2 = AB2 + AD2 + AA12. После вычислений получается выражение b2=169, b=13.

Задача 2: ребра ПП, выходящие из общей точки, равны 3 и 4, общая S — 94. Нужно найти третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ребра обозначаются а1 и а2, а неизвестное — а3. Площадь поверхности выражается S = 2 (a1a2 + a1a3 + a2a3).

Далее получаем a3 (a1 + a2) = S/2 — a1a2. Неизвестное ребро: a3 = S/2 — a1a2/a1 + a2 = 47−12/7 = 5.

Задача 3: два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из общей точки, составляют 72 и 18, диагональ равна 78. Нужно определить объем фигуры.

Для решения требуется найти диагональ по формуле вычисления квадратного корня из суммы (a2 + b2 + c2), где a, b, c — ребра фигуры. 78 — корень из суммы 722 + 182 + c2. Решение:

  • 78 = корень из суммы 5508+с2
  • 782 = 5508 + с2
  • с2 = 6084 — 5508.
  • С2 = 576.

Ответ: объем составляет 576.

Задача 4: ребро наклонного параллелепипеда составляет 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см является сечением фигуры, параллельным ребру. Нужно определить площадь боковой поверхности призмы.

KL и AD не являются равными, как пара ML и DC. Боковая S фигуры эквивалентна S сечения, умноженной на AA1, так как ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см².

Задача 5: ABCDA1B1C1D1 = 3, 4 см, боковое ребро — 12 см. Нужно определить диагональ ПП.

В основании лежит прямоугольник со сторонами АВ 3 см и AD 4 см. Боковое ребро составляет 3 см. BB1 является высотой ПП и равняется 12 см. Диагональ B1D2 = AB2 + BB1 2 += 9+16+144 = 169. B1D= 13 см.

Задача 6: основанием ПП служит квадрат, одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижней части. Нужно найти высоту фигуры, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро — 5 см.

Одна из вершин основания (F) равнозначно удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда. Вместе с диагональю нижней части (AC) она образует равнобедренный ∆AFC. AF = AC по условию. AF является ребром фигуры.

В равнобедренном ∆AFC стороны одинаковы: AF=FC=5 см, AC=8 см. Высота ∆AFC будет являться высотой параллелепипеда.

Высота треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора она равна:

  • FK2 + (AC/2)2 = FC2;
  • FK2 + 16 = 25;
  • FK2 =25−16 = 9;
  • FK = 3 см.

Высота фигуры составляет 3 см.

Установленные теоремы, доказательства, а также выведенные формулы помогают вычислить различные значения для фигуры.

Источник

Читайте также:  Вычислить объем тела вращения cosx
Поделиться с друзьями
Объясняем