Как найти объем параллелепипеда с десятичными дробями

Объем параллелепипеда

О чем эта статья:

Понятие объема

Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.

Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.

За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см 3 ), кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ).

Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.

Два свойства объёма

  1. У равных тел равные объёмы. Например, у двух одинаковых пакетов сока равные объемы.
  2. Если геометрическое тело состоит из нескольких геометрических тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.

Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:

V = a × b × h

Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.

Источник

Нахождение объема параллелепипеда: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем параллелепипеда и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема параллелепипеда

1. Общая формула

Объем любого параллелепипеда равняется произведению площади его основания на высоту.

V = Sосн ⋅ h

  • Sосн – площадь основания (ABCD или EFHG, равны между собой);
  • h – высота.

Данная формула справедлива для всех видов геометрической фигуры:

  • наклонной – боковые грани не перпендикулярны основаниям;
  • прямой – все боковые грани (4 шт.) являются прямоугольниками;
  • прямоугольной – все грани (боковые и основания) являются прямоугольниками;
  • ромбоэдра – все грани являются равными ромбами;
  • куба – все грани представляют собой равные квадраты.

2. Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем фигуры равен произведению его длины на ширину на высоту.

V = a ⋅ b ⋅ c

Формула следует из следующих утверждений:

  • Основанием фигуры является прямоугольник, площадь которого считается как произведение его длины (a) на ширину (b).
  • Высота фигуры – это длина боковой грани (c).

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем параллелепипеда, если известно, что площадь его основания равняется 20 см 2 , а высота – 7 см.

Решение:
Используем первую формулу, подставив в нее известные нам значения:
V = 20 см 2 ⋅ 7 см = 140 см 3 .

Задание 2
Дан прямоугольный параллелепипед. Длина и ширина его основания равны 9 см и 5 см, соответственно, а высота составляет 6 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользуемся формулой для данного типа фигуры:
V = 9 см ⋅ 5 см ⋅ 6 см = 270 см 3 .

Источник

Как найти объем прямоугольного параллелепипеда?

Прямоугольный параллелепипед, с точки зрения математики, является объемной фигурой с шестью гранями. Увидеть его можно, если посмотреть на прямоугольный бассейн, кирпич или спичечный коробок.

Эта фигура очень часто встречается в повседневной жизни, однако, нередко возникает необходимость узнать ее объем, что для многих представляет некоторые трудности. Например, какого объема необходим бак для воды на дачном участке, или каким размером делать бассейн.

Во многих других ситуациях возникает проблема, как найти объем параллелепипеда правильно.

Между тем вычислить это значение очень просто. Достаточно лишь знать ширину, длину и высоту предмета или объекта. И также необходимо знать формулу, с помощью которой и находят объем данной геометрической фигуры.

Основные особенности и формула для расчета

Для того чтобы найти объем параллелепипеда необходимо:

  • определить длину, высоту и ширину объекта;
  • и после этого перемножить данные значения друг на друга;
  • получившиеся данные и будут объемом.

Это все предельно просто и не таит никаких подводных камней. Главное — это знать требуемые значения, без которых выполнить расчет будет невозможно.

При этом важно знать, что определить параметр можно в сантиметрах, кубометрах, дециметрах и некоторых других размерностях в зависимости от требований. Если говорить о Международной системе единиц (СИ), параметр рассчитывают в сантиметрах. Это оптимальный вариант. Но при желании всегда можно перевести значение в требуемые размерности.

Формула расчета в двух вариантах

Итак, для расчета по формуле нужно знать длину, ширину и высоту измеряемого предмета. Эти данные следует обозначить соответственно как А, B и C, а объем обычно представляют буквой V. Формула для определения объема прямоугольного параллелепипеда при этом будет выглядеть следующим образом: V = A x B x C.

Если определятся объем бассейна, то необходимо его длину, ширину и глубину перемножить. Для более простого восприятия давайте разберем правила расчета объема параллелепипеда на примере. Допустим, что его длина составляет 10 метров, ширина достигает 3 метров, а глубина — 1,5. В этом случае объем этого объекта определяется следующим образом: 10x3x1,5=45 кубометров, или 45 кубических метров.

Можно выделить и другую формулу, которая имеет некоторое отличие. Она представляет собой произведение площади основания на высоту. Формула выглядит следующим образом: V = S x h. Здесь h — высота параллелепипеда. S — площадь основания, которая представлена произведением двух сторон основания. Обычно их обозначают, как a и b: S = a x b.

При расчете можно пользоваться любой из двух приведенных формул. Обе являются верными и позволяют получить точные данные. Последний вариант удобен, когда уже известна площадь основания. Если же она неизвестна, проще перемножать сразу три линейных размера, исключая необходимость в лишней процедуре.

О чем еще следует знать для правильности расчета?

Для вычисления объема параллелепипеда необходимо понять, что это за фигура. Она представляет собой призму, основание которой — параллелограмм. Параллелепипед имеет 6 граней, каждый из которых является параллелограммом. При этом выделяют несколько видов фигур. Принцип расчета не имеет конкретных отличий, но сами фигуры внешне отличаются. Итак, можно выделить такие виды:

  1. Прямоугольный параллелепипед. Эта фигура представляет собой параллелепипед, который имеет все грани в виде прямоугольников.
  2. Прямым параллелепипедом является фигура, у которой 4 боковые грани — прямоугольники.
  3. Куб — это еще один вид параллелепипеда. Он представляет собой прямоугольный параллелепипед, все стороны которого равны между собой. Другими словами, все шесть граней такой фигуры, как куб — это равные квадраты.

И также важно помнить о том, что в процессе выполнения расчета у каждой составляющей формулы должна быть одна и та же размерность. Если опустить это простое правило, получить верный результат не удастся. Если вы выполняете расчеты просто на уроках математики, проблемой могут стать только неудовлетворительные оценки. А при проектировании и наличии ошибок в расчетах проблемы могут быть более серьезными.

Не стоит думать, что основные математические формулы по определению объемов геометрических фигур встречаются исключительно на уроках математики. В большинстве случаев они пригодятся и в последующей жизни. В частности, во время ремонтных или строительных работ, при проектировании и декорированию интерьера, а также в ряде других случаев. Именно тогда без правильной формулы обойтись не удастся.

Можно подвести итог: объем параллелепипеда равен произведению трех линейных размеров — длины, ширины, высоты. Параметр напрямую зависит от трех единиц измерения при любом вращении и повороте. Результат будет неизменным.

Видео

Видео поможет вам научиться находить объем прямоугольного параллелепипеда.

Источник

Математика для блондинок

Математикой должны заниматься блондинки — они врать не умеют.

Страницы

среда, 14 марта 2012 г.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Сегодня мы решим одну задачу и найдем объем прямоугольного параллелепипеда. Для начала посмотрим, что это за математический зверь такой — прямоугольный параллелепипед. Вот как он выглядит.


Как видите, прямоугольный параллелепипед скорее похож на клетку для зверей, чем на самого зверя. Математики считают, что живет этот параллелепипед в геометрии, в 5 классе. Они просто забыли, что в детском садике параллелепипед был одной из их игрушек. Детский кубик — это тоже прямоугольный параллелепипед, у которого все грани равной длины. У параллелепипеда есть 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Это трехмерная (или объемная) фигура. Двухмерные грани, одномерные ребра и точки вершин обозначают границы трехмерного пространства, которое заключено внутри параллелепипеда. Прямоугольным эту геометрическую фигуру называют потому, что все углы в нем прямые — равные 90 градусов или пи/2. Внутренне пространство этой клетки называется объемом. Кстати, мы очень любим сажать друг друга в клетки параллелепипедов. Или прятаться внутри них — комнаты часто имеют форму параллелепипедов. Стены, пол и потолок — так мы называем грани комнаты. Ребра мы называем углами, нижние ребра мы стыдливо прячем за плинтус, верхние ребра или выставляем на показ, или украшаем потолочным багетом. Точки, в которых пересекаются углы комнаты, являются вершинами параллелепипеда, в котором мы живем. Ой, что-то мы сильно отвлеклись на экскурсию по достопримечательностям параллелепипеда, давайте посмотрим, как нужно считать его объем.


Общий объем параллелепипеда состоит из маленьких кубиков единиц измерения объема, который на рисунке измеряется в кубических сантиметрах. Измерять объем можно и в других единицах измерения — кубических метрах (например, объем комнаты), кубических километрах (когда будем мерить планету), литрах (жидкости, но моря и океаны лучше измерять в кубических километрах). Объемы звездных систем и галактик можно мерить в кубических световых годах. Интересно, а в чем лучше измерять объемы разных вселенных? Как вы видите, любой трехмерный объем является умножением трех перпендикулярных единиц измерения длины. У прямоугольного параллелепипеда три ребра всегда перпендикулярны в вершинах. Длина таких ребер называется линейными размерами или измерениями прямоугольного параллелепипеда.


Если избрать единицу измерения и количество этих единиц в каждом из трех измерений, тогда легко можно высчитать объем прямоугольного параллелепипеда по формуле — перемножить все три линейных (перпендикулярных) размера.


Математики никогда не обращают на это особого внимания, но нужно не забывать, что во всех трех направлениях единицы измерения длины должны быть одинаковыми. Если у какой-то штучки один размер значительно больше двух других размеров, то тогда такую штучку мы меряем в погонных метрах. Например, железнодорожные рельсы лучше измерять в погонных метрах (километрах), а не в единицах измерения объема. С математической точки зрения, один погонный метр — это единица измерения объемных тел, двумя размерами которых можно пренебречь.


Как видно из рисунка, одним и тем же единицам измерения длины мы присваиваем разные названия. Этим мы уточняем пространственную ориентацию нашего параллелепипеда. Длина и ширина располагаются внизу, при этом длина обычно больше ширины. Высоту мы отмеряем вверх. Все эти названия являются относительными. Если поставить наш параллелепипед на другую грань, названия сторон могут поменяться — длина или ширина превратится в высоту. Объем параллелепипеда не зависит от названий его размеров, поскольку при нахождении объема используются все три линейных размера.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты (произведению трех линейных размеров). Как бы мы этот параллелепипед не крутили. Числовое выражение объема зависит от тех единиц измерения, в которых мы выражаем размеры этой геометрической фигуры. В полном соответствии с теоремой Пифагора, все единицы измерения размеров должны быть одинаковы. Возможно, это и звучит, как нравоучение несмышлёным детишкам, но математики считают математику абстрактной наукой именно потому, что они не всегда понимают, что именно, когда и как они делают.


На этой картинке представлена другая формула. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Точнее, площади одной грани умноженной на перпендикулярный размер. Покрутите параллелепипед — у вас основанием каждый раз будет какая-то другая грань, при этом высота так же будет меняться. Крутить параллелепипед совсем не обязательно, достаточно вычислить площадь любой его грани (основания, боковой или торцевой грани) и умножить на перпендикулярный размер: основание на высоту, боковую площадь на ширину, торцевую площадь на длину. Во всех случаях результат будет одинаковым.

Нахождение объема через площадь грани и перпендикулярный размер не является каким-то научным открытием. Это всего лишь констатация того факта, что мы не можем одновременно выполнить два математических действия умножения между тремя размерами. Сперва мы берем два перпендикулярных размера и умножаем их между собой — получается площадь. Потом эту площадь мы умножаем на третий размер — получается объем. Переместительный закон (или коммутативность) умножения и порядок выполнения математических действий являются родителями второй формулы вычисления объема параллелепипеда. (При этом важно отличать линейные размеры от их симметричных отражений. Умножив площадь основания на один из размеров этого основания, вы получите единицы измерения объема, но не получите объем самого параллелепипеда.)

Когда эта формула важна? Ну, например, ваши разведчики во вражеском тылу выкрали сверхсекретное значение площади основания параллелепипеда. Теперь вам просто нужно продолжить вычисление — умножить эту площадь на высоту. Тот объем, который известен врагам, теперь знаете и вы. А если серьезно, то площадь боковой грани можно найти по другой формуле площади прямоугольника — по длине диагонали и синусу угла между ними. Вам уже не нужно находить размеры этой грани, умножаете площадь на третий размер и объем у вас в руках. Этот принцип можно использовать при нахождении объемов любых геометрических фигур с любым количеством измерений. Достаточно четко понимать,на каком этапе вычислений вы находитесь и что вам ещё осталось сделать. Например, зная трехмерный объем, для нахождения объема шестимерного, вам нужно будет умножить его еще на три длины в недостающих измерениях. Ваши метры кубические превратятся в метры в шестой степени. При путешествии в шестимерное пространство не забывайте, что ваше собственное тело имеет всего три измерения. Нельзя в такое путешествие отправляться голышом, даже если вы одеты. Вам понадобится скин 3/4 для перехода в четырехмерное пространство, скин 4/5 для перехода из четырехмерного в пятимерное пространство и скин 5/6 для завершения перемещения в шестимерное пространство. В этом случае вы будете чувствовать себя приятно и комфортно в пространстве шести измерений. Правда, одновременное пребывание сразу в трех скинах может сопровождаться весьма своеобразными ощущениями.

Коль мы говорим о прямоугольном параллелепипеде, возможно, вам пригодятся некоторые другие сведения о нем.


На этой картинке прямоугольный параллелепипед обзывается прямоугольной призмой. В математике главное не название, а смысл. Под призмой подразумевается два параллельных основания и высота, под параллелепипедом — три линейных размера. Для трехмерной фигуры не имеет принципиального значения, каким образом получается её объем, главное — что он есть.

Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания на высоту. А вот в этом случае крутить параллелепипед (он же прямая прямоугольная призма), категорически не рекомендуется. Для разных оснований будет разное значение площади боковой поверхности. Возможны три размера оснований и три значения площади боковой поверхности.

Полная площадь поверхности параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей его перпендикулярных граней, по которым определяются линейные размеры. У параллелепипеда таких граней три — основание, боковая, торцевая.

Длина диагонали параллелепипеда определяется по основному тригонометрическому тождеству для многомерных пространств (или теореме Пифагора). Квадрат диагонали равен сумме квадратов линейных размеров параллелепипеда.

Наконец-то мы добрались до нашей задачи про нахождение объема. Нужно найти объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех граней у него равны 12, 15 и 20 сантиметров квадратных.


Поскольку все площади граней разные, значит по ним можно определить линейные размеры. Пойдем традиционным путем. Составляем уравнения площадей этих граней. Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решаем эту систему, находим линейные размеры прямоугольного параллелепипеда, затем вычисляем его объем.


Как следует из решения, точно такой прямоугольный параллелепипед мы рассматривали на картинках выше.

Но лично мне нравится другое, более простое и изящное, решение. Если мы возведем объем в квадрат и извлечем из него квадратный корень — объем останется прежним. Распишем объем в виде произведения линейных размеров. Используем коммутативность умножения и перегруппируем сомножители. Видите, под квадратным корнем оказывается произведение данных нам по условию площадей. Если мы перемножим площади, мы получим сантиметры в шестой степени — то шестимерное пространство, для прогулки по которому нам необходимо аж три скина. Если мы из сантиметров в шестой степени извлечем квадратный корень, мы получим нужный нам объем прямоугольного параллелепипеда.


Этот фокус можно использовать при определении объемов фигур с любым количеством измерений. Объем многомерной геометрической фигуры можно определять по составляющим её элементам с меньшим количеством измерений. Главное, необходимо следить, чтобы линейные размеры получались в одинаковой степени. Например, четырехмерный объем гиперкуба можно определить как произведение четырех его линейных размеров abcd, произведение двух двумерных площадей (ab)(cd), корень кубический из произведения четырех трехмерных объемов (abc)(bcd)(abd)(cda) и так далее.

Картинки нагло взяты с сайта 900 игр , да простит меня Математика.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

Источник

Читайте также:  Где на ps3 посмотреть объем памяти
Поделиться с друзьями
Объясняем