Как найти объем отсекаемой части пирамиды

Что являет собою формула объема усеченной пирамиды четырехугольной?

Содержание:

Пирамидой называется объемное тело с многоугольником в основании – трёх-, четырёхугольник и т.д. Боковые грани – треугольники, выходящие из одной точки – его вершины. Геометрические тела бывают трехгранными (тетраэдр), правильными, произвольными, усеченными.

Понятие

Основание геометрического тела представлено правильным многоугольником, с расположенной над его центром вершиной. Свойства пирамиды:

  • имеет равные боковые ребра с одинаковыми углами между ними и нижней поверхностью;
  • боковые ребра – конгруэнтные равнобедренные трапеции;
  • площадь боковых поверхностей является произведением боковой грани на половину суммы периметров обоих оснований.

Усеченная пирамида – часть геометрического тела, ограниченная нижней гранью и параллельной ей плоскостью сечения. Верхняя, отсеченная, часть образует подобную пирамиду – уменьшенную в n раз. Если основание усеченного геометрического тела – неправильный многоугольник, она называется неправильной. Обладает разными боковыми гранями – это трапеции.

Правильная усеченная пирамида получается из правильного геометрического тела. Имеет равные боковые ребра и апофемы. Свойства:

  • в сечении образуется подобный основанию многоугольник, он становится верхней гранью;
  • площади оснований относятся как квадраты их отдаленности от изначальной вершины тела (до усечения).

Объем усеченной пирамиды

Формула объема усеченной пирамиды:

  • h – высота;
  • S1 и S2 – площадь параллельных поверхностей.

В зависимости от формы нижней поверхности, формула объема усеченной пирамиды (четырехугольной или треугольной) остается неизменной. Меняются только способы вычисления площадей верхнего и нижнего многоугольников:

  • Треугольник – площадь определяется как половина произведения длины треугольника на опущенную на него высоту.

Также можно воспользоваться формулой Герона или иной в зависимости от исходных данных.

Рассмотрим, как найти объем усеченной пирамиды с квадратом в основании на примере. Известно, что:

  • h = 10 см;
  • a = 8, b = 6 см – стороны нижней и верхней граней.

, здесь:

S1 = a * a = a2, S2 = b* b = b2 – стороны квадрата одинаковы.

Читайте также:  Citroen cactus объем багажника

Сложность задачи вычисления площади усеченной пирамиды может заключаться в определении площадей ее оснований, особенно если они имеют нестандартную форму (пятиугольник). Иногда в задаче предоставляются косвенные данные, например, диагонали прямоугольника, на основе которых придется отыскать площадь либо длину его сторон.

Источник

Геометрические фигуры. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой является многогранник, заключенный меж основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.

Или другими словами: усеченная пирамида — это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.

Сечение, которое параллельно основанию пирамиды делит пирамиду на 2 части. Часть пирамиды меж ее основанием и сечением — это усеченная пирамида.

Это сечение для усеченной пирамиды оказывается 1-ним из оснований этой пирамиды.

Расстояние меж основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида будет правильной, когда пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.

Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды.

1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.

2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.

3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.

4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

Формулы для усеченной пирамиды.

Для произвольной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды равен 1/3 произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

h — высота усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности равняется сумме площадей боковых граней усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды:

Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы.

φ — двугранный угол у основания пирамиды.

CH является высотой усеченной пирамиды, P1 и P2 — периметрами оснований, S1 и S2 — площадями оснований, Sбок — площадью боковой поверхности, Sполн — площадью полной поверхности:

Читайте также:  130 лошадиных сил сколько объем двигателя

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) разделяет высоту и боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) – это многоугольник, который подобен основанию пирамиды, при этом коэффициент подобия этих многоугольников соответствует отношению их расстояний от вершины пирамиды.

Площади сечений, которые параллельны основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Источник

Найти объем усеченной пирамиды

Усеченная пирамида образуется путем отсечения плоскостью, параллельной основанию, части пирамиды.
Основаниями усеченной пирамиды являются подобные многоугольники.

Усеченная пирамида может быть правильной и неправильной.
Правильная усеченная пирамида образуется при сечении правильной пирамиды, а неправильная — при сечении произвольной пирамиды, которая не является правильной.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты пирамиды на сумму площадей верхнего и нижнего основания, а также на квадратный корень из произведения оснований усеченной пирамиды.

Формула для вычисления объема усеченной пирамиды:

  1. Найдите объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 2 см, площадь верхнего и нижнего оснований равны по 13 см²
    Посмотреть решение

Дано:

Решение:

По формуле для объема усеченной пирамиды:

Ответ:

Дано:

Решение:

По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

$$ V = \frac< 1 > < 3 >\cdot H \cdot (S_1 + \sqrt < (S_1 \cdot S_2 ) >+ S_2 ) $$

$$ V = \frac<1> <3>\cdot 6 \cdot (8 + \sqrt <(8*2)>+ 2) = 2 \cdot 14 = 28 \ см^3$$

Ответ:

Дано:

Решение:

Найдем площадь верхнего основания:

$$ S_2 = k \cdot S_1 $$

$$ S_2 = \frac<1> <4>\cdot 12 = 3 \ см^2 $$

По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

$$ V = \frac<1> <3>\cdot H \cdot (S_1 + \sqrt < (S_1 \cdot S_2) >+ S_2) $$

$$ V = \frac<1> <3 \cdot 12>\cdot (12 + \sqrt < (12 \cdot 3) >+ 3) = 4 \cdot 21 = 84 \ см^3 $$

Ответ:

Дано:

Решение:

Найдем площадь нижнего основания:

$$ S_1 = 3 \cdot 4 = 12 \ см^2 $$

Найдем площадь верхнего основания:

$$ S_2 = k \cdot S_1 $$

$$ S_2 = \frac<1> <4>\cdot 12 = 3 \ см^2 $$

Читайте также:  Гост определение объема вовлеченного воздуха

По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

$$ V = \frac<1> <3>\cdot H \cdot (S_1 + \sqrt < (S_1 \cdot S_2) >+ S_2) $$

$$ V = \frac<1> <3>\cdot 3 \cdot (12 + \sqrt < (12 \cdot 3) >+ 3) = 21 \ см^3$$

Ответ:

Дано:

Решение:

По формуле площади для равностороннего треугольника, найдем площадь нижнего основания:

$$ S = \sqrt< \frac<3> <4>> \cdot 4 \cdot a^2 = 27 \ см^2$$

По формуле площади для равностороннего треугольника, найдем площадь верхнего основания:

$$ S = \sqrt< \frac<3> <4>> \cdot b^2 = 12 \ см^2 $$

По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

$$ V = \frac<1> <3>\cdot H \cdot (S_1 + \sqrt < (S_1 \cdot S_2) >+ S_2) $$

$$ V = \frac<1> <3>\cdot 3 \cdot (12 + \sqrt < (12 \cdot 27) >+ 27) = 57 \ см^3$$

Источник

Объем усеченной пирамиды

Вы будете перенаправлены на Автор24

  • Telegram
  • Whatsapp
  • Вконтакте
  • Одноклассники
  • Email

На этой странице вы узнаете, что такое усечённая пирамида и как рассчитать её объём. Также добавлен онлайн-калькулятор для расчёта объема усеченной пирамиды.

Усечённой пирамидой называется фигура, образованная путём отсечения части пирамиды некоторой плоскостью, параллельной основанию. Плоская фигура, образованная сечением пирамиды, является вторым основанием усечённой пирамиды.

Ниже вы можете найти объем усеченной пирамиды по приведённой формуле с помощью онлайн-калькулятора.

Для этого введите в поля ввода значения площадей оснований усечённой пирамиды и её высоту.

Объем усеченной пирамиды

Формула для вычисления объёма усечённой пирамиды выглядит следующим образом:

$V = \frac13 \cdot h \cdot (S1 + \sqrt + S2)$, здесь

$h$ — высота пирамиды;

$S1$ — первое основание усечённой пирамиды;

$S2$ — второе основание усечённой пирамиды.

Задача

Площадь оснований пирамиды составляет $S1 = 75$ кв. см и $S1=30$ кв. см, а её высота равна $h = 7$ см. Рассчитайте по приведённой формуле объём усечённой пирамиды.

Решение:

$V = \frac13 \cdot 7 \cdot (75 + \sqrt <75 \cdot 30>+ 30) ≈ 355,68$ куб. см.

Ответ можно сверить с онлайн-калькулятором. Результаты совпадают, а значит, решение осуществлено верно.

Ответ: $355,68$.

Нужны еще материалы по теме статьи?

Воспользуйся новым поиском!

Найди больше статей и в один клик создай свой список литературы по ГОСТу

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем