Как найти объем октаэдра по ребру

Объем октаэдра

Чтобы найти объём октаэдра, достаточно запомнить одну несложную формулу, в которой есть только одна неизвестная величина. Но для начала давайте вспомним, что описывает каждое слово из обозначенного понятия.

Объем октаэдра

Формулы и определения

Объём (от лат. volume–«наполнение») – это количественная характеристика пространства, которое занимает тело или вещество.

Октаэдр (от греч. – «восемь оснований») – это многогранник (полиэдр), у которого восемь граней.

Правильный октаэдр – одно из 5 «платоновых тел», т.е. правильных многогранников. Его гранями являются равносторонние (правильные) треугольники (в количестве 8 штук). Также у него насчитывается 12 рёбер и 6 вершин (в каждой из которых сходятся 4 ребра).

Формулы для вычисления объема октаэдра следующие:

где a– длина ребра рассматриваемого многогранника.

Известно, что длина ребра октаэдра – 15 см.

Введём в соответствующее поле нашего калькулятора известное значение a и получим искомый ответ, т.е.

Логично предположить, что приведённая формула работает и в обратном направлении: зная «наполненность» октаэдра, можно найти значение длины ребра.

Источник

Октаэдр. Объем и площадь поверхности октаэдра

Октаэдр
Объем и площадь поверхности октаэдра

Октаэдр

Рассмотрим куб куб и обозначим символами A и A’, B и B’, C и C’ центры его противоположных граней (рис. 1).

Фигуру, состоящую из двух равных правильных четырехугольных пирамид ABC’B’C и A’BC’B’C с общим основанием BC’B’C, называют октаэдром (рис. 2).

Вершины правильных четырехугольных пирамид ABC’B’C и A’BC’B’C называют вершинами октаэдра, ребра этих пирамид называют ребрами октаэдра, а боковые грани пирамид называют гранями октаэдра. Отрезки AA’, BB’ и CC’ называют диагоналями октаэдра.

Теорема Эйлера . Для октаэдра справедливо равенство:

число вершин
+
число граней
число ребер
= 2
число
вершин
+
число
граней
число
ребер
= 2
число
вершин
+
число
граней
Читайте также:  Как использовать пудру для волос для объема эстель
число
ребер
= 2

Для доказательства теоремы Эйлера достаточно заметить, что у октаэдра 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Все ребра октаэдра равны.

Все грани октаэдра являются равными равносторонними (правильными) треугольниками.

Диагонали октаэдра равны.

Диагонали октаэдра взаимно перпендикулярны.

Диагонали октаэдра пересекаются в одной точке и делятся в точке пересечения пополам.

Объем и площадь поверхности октаэдра

Обозначим буквой a длину ребра октаэдра AA’BB’CC’ (рис. 3).

Для того, чтобы найти объем октаэдра AA’BB’CC’, заметим, что этот объем равен удвоенному объему правильной четырехугольной пирамиды ABC’B’C. Основанием пирамиды ABC’B’C является квадрат со стороной a, а высота пирамиды равна длине отрезка AO.

Источник

Октаэдр и площадь полной его поверхности: описание, формулы, примеры

Содержание:

Существует несколько способов определить площадь поверхности октаэдра. Он представляет собой один из пяти правильных многоугольников или так называемых Платоновых тел. Имеет восемь одинаковых граней (поверхностей) в виде равносторонних треугольников, к каждой из его вершин прилагается по четыре грани. Рассмотрим, что собой представляет тело, где встречается в природе, как вычисляется его площадь и объём.

Что такое октаэдр

Свойства октаэдра

  1. В тело вписывается куб, вершины которого находятся в центрах граней куба.

  1. Симметрия куба и вписанного (описанного) октаэдра совпадают.
  1. Двойственен кубу.
  1. Является полным усечением тетраэдра.
  1. Имеет равные ребра и диагонали.
  1. Состоит из равносторонних треугольников.
  1. Диагонали тела взаимоперпендикулярны, в точке пересечения делятся на равные отрезки.
  1. Октаэдр симметричен, причём 3 оси пролегают через противоположные вершины, 6 – через центры ребер.
  1. Центр симметрии тела расположен в точке пересечения диагоналей.
  1. Ребра равны по длине, поверхности – по площади.

Математические характеристики тела

Как вычислить площадь поверхности октаэдра

Площадь октаэдра равна сумме площадей составляющих его треугольников:

Здесь Sтреуг – площадь треугольника.

После подстановки значения получится требуемый результат.

Если известна длина ребра, придётся вычислить площадь треугольников.

Подставляем значение в первое выражение:

Упрощаем: после сокращения дроби на четыре получается формула площади поверхности октаэдра:

2. S = 8 * Sтреуг = 2 \sqrt <3>a^2.

Существует ещё один способ проведения вычислений. Он менее точный чем предыдущие, однако позволяет обойтись без калькулятора. При приблизительном подсчёте 2 \sqrt <3>равняется 3,464 или 3,46.

Здесь a – длина стороны треугольника (равны).

Для примера, имеется фигура октаэдр с длиной стороны 5 см.

S=2\sqrt <3>a^2=2*\sqrt <3>*5^2=2*\sqrt <3>*25=50\sqrt <3>\approx 86,6 см.

Как вычислить объём правильного октаэдра

Объём показывает размер внутреннего пространства геометрического тела. Объем правильного октаэдра вычисляется, если знаете длину ребра геометрического тела, по формуле:

После проведения приблизительных расчётов \frac<\sqrt 2> <3>\approx 0,47 формула принимает следующий вид :

Рассчитаем двумя методами на примере правильного многоугольника с гранью, равной 5 см:

V= 0,47 * a^3 = 0,47*125 \approx 58,93

Значения совпали, во втором случае нужно выполнять гораздо меньше операций. Подходит он только, если не требуется исключительная точность – при округлении до 4-5 знаков после запятой точность снизится.

Развёртка

Октаэдр, как большинство гомерических тел, имеет развёртку поверхности – это плоская фигура, полученная путём совмещения поверхности модели с одной плоскостью без пересечения либо наложения граней друг на друга.

Рисунок развёртки октаэдра.

В природе насчитывается 11 разновидностей развёртки октаэдра, позволяющих создать его модель из бумаги или картона. Наиболее распространённая выглядит как восемь одинаковых треугольников. Шесть из них размещено в ряд, к третьему и четвёртому основаниям прилегает ещё по одному, их вершины направлены в противоположные стороны.

Источник

Ребро октаэдра

Свойства

Зная ребро октаэдра, можно найти его высоту, построив прямоугольный треугольник через квадратное основание одной из пирамид, соединив таким образом отрезок, являющийся половиной высоты, с боковым ребром. Через теорему Пифагора, половина высоты будет равна квадратному корню из разности квадратов бокового ребра и половины диагонали квадрата в основании. Приведя в итоге алгебраическими преобразованиями формулу к упрощенному виду, получим, что высота тетраэдра равна боковому ребру, деленному на корень из двух. h=a/√2

Периметр октаэдра равен сумме всех длин его ребер, а так как ребер у октаэдра 12, то нужно умножить длину одного ребра на двенадцать, чтобы найти периметр. P=12a

Площадь полной поверхности октаэдра складывается из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Исходя из этого, площадь октаэдра, зная боковое ребро, равна его квадрату с коэффициентом два корня из трех. S=2√3 a^2

Чтобы найти объем октаэдра нужно рассчитать объем четырехугольной пирамиды отдельно и умножить его на два, тогда получится, что через боковое ребро объем октаэдра равен ему в кубе, умноженному на корень из двух, деленный на три. V=(√2 a^3)/3

Поскольку октаэдр является правильным многогранником, в него можно вписать сферу, а также описать сферу около него. Радиусы вписанной и описанной сферы лежат на осях внутри октаэдра, и их можно вычислить по нижеприведенным формулам через боковое ребро. r=(a√6)/6 R=(a√2)/2

Источник

Октаэдр.

Октаэдр — один из 5-ти выпуклых правильных многогранников — Платоновых тел.

У октаэдра 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, к каждой его вершине сходятся 4 ребра.

На примере октаэдра легко проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой из вершин октаэдра сходятся 4 треугольника, т.о., сумма плоских углов у вершины октаэдра равна 240°. Из понятия правильного многогранника делаем вывод, что каждое ребра октаэдра имеет одинаковую длину, а грань — одинаковую площадь.

Обозначим длину ребра октаэдра как а, значит площадь полной поверхности октаэдра (S) и объём октаэдра (V) найдем из таких формул:

Радиус описанной сферы около октаэдра:

Радиус вписанной сферы около октаэдра:

Сумма длин всех ребер равна 24а.

Двугранный угол: α=2ϕ≈109,47°, где .

Свойства октаэдра.

Октаэдр легко вписывается в тетраэдр, при этом 4 из 8-ми граней октаэдра совместятся с 4-мя гранями тетраэдра, каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти ребер тетраэдра.

Октаэдр легко вписывается в куб (гексаэдр), при этом каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти граней куба.

В октаэдр легко вписать куб, при этом каждая из 8-ми вершин куба будут располагаться в центрах 8-ми граней октаэдра.

У правильного октаэдра есть симметрия Oh, которая совпадает с симметрией куба.

Развёртка октаэдра.

Симметрия октаэдра.

3 из девяти осей симметрии октаэдра проходят сквозь противолежащие

вершины, 6 — квозь середины ребер.

Центр симметрии октаэдра — точка пересечения осей симметрии октаэдра.

3 из девяти плоскостей симметрии тетраэдра проходят сквозь все 4 вершины октаэдра, которые лежат в одной плоскости.

6 плоскостей симметрии проходят через 2 вершины, которые не принадлежат одной грани, и середины противолежащих ребер.

Источник

Читайте также:  Как замерить объем ягодиц у женщин
Поделиться с друзьями
Объясняем