Как найти объем многогранной фигуры

Объемы многогранников

Многогранник – это объемное тело, ограниченное замкнутой поверхностью, которая состоит из конечного числа многоугольников.

Содержание:

Понятие объема фигур

Объем — это величина, удовлетворяющая следующим основным свойствам:

1. Каждая фигура имеет определенный объем, выраженный положительным числом.

2. Равные фигуры имеют равные объемы.

3. Если фигура разбита на несколько частей, то ее объем равен сумме объемов всех этих частей.

4. Единицей измерения объема является объем куба с длиной ребра е, где е — единица измерения длины. Этот объем обозначается .

Если за единицу длины принимается 1 мм, то единицей объема является (кубический миллиметр); при единице длины 1 см единицей объема является (кубический сантиметр). Если единицей измерения длины является 1 м, ему соответствует единица объема (кубический метр).

5. Объем куба со стороной равен .

,

где — ребро куба.

Мы будем говорить об объемах многогранников: кубе, прямоугольном параллелепипеде, призме, пирамиде и т. д.

Можно доказать теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда:

Теорема 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

где — его длина, ширина и высота.

Из доказанной теоремы можно вывести следующее следствие.

Следствие. Любую грань прямоугольного параллелепипеда можно принять за основание; тогда сторонами его основания будут соответствующие два измерения, а высотой — третье измерение. Следовательно, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

где S — площадь основания параллелепипеда, h — его высота.

Принцип Кавальери

Для вычисления объемов воспользуемся результатами, полученными итальянским математиком Бонавентура Кавальери (1598—1647), учеником Галилея, который сформулировал так называемый «принцип Кавальери» для вычисления объемов всех интересующих нас фигур. Поясним смысл этого принципа.

Представим себе физическую модель, очень похожую на четырехугольную пирамиду, сложенную из тонких (например, картонных) квадратиков последовательно убывающих размеров. На рисунке 2.511 изображена обычная пирамида, а на рис. 2.512 — приближенная ее модель из квадратных карточек.

Теперь допустим, что мы просверлили в предложенной модели узкое отверстие, ведущее от вершины к некоторой точке основания, и вставили в него стержень так, чтобы он пробивал каждую квадратную пластинку. Тогда можно, не меняя положения нижнего конца стержня на основании «пирамиды», наклонить стержень. Форма модели тогда изменится, но ее объем останется прежним. Дело в том, что объем нашей «пирамиды» — это просто общий объем всех квадратных пластинок, а этот общий объем не меняется, когда пластинки скользят одна по другой.

Читайте также:  Как найти объем куба через диагональ грани куба

Сформулируем этот принцип в более общей ситуации.

Допустим, что мы имеем две фигуры, основания которых лежат в одной плоскости. Можно считать, что эта плоскость горизонтальна (рис. 2.513).

Если все горизонтальные поперечные сечения двух наших фигур, находящиеся на одном и том

же уровне, имеют одну и ту же площадь, то две наши фигуры имеют один и тот же объем.

Принцип Кавальери мы принимаем как основное свойство измерения объемов (можно это свойство считать аксиомой геометрии).

Пусть нам даны две фигуры и плоскость . Если каждая плоскость, параллельная плоскости , пересекая одну фигуру, пересекает также и другую, причем образованные при этом сечения данных фигур имеют равные площади, то данные фигуры имеют один и тот же объем.

Объем призмы

Определение. Поперечным сечением призмы называют пересечение призмы с плоскостью, параллельной плоскости ее основания.

Можно доказать теорему о свойствах поперечных сечений для случая треугольной призмы.

Теорема 2. Все поперечные сечения треугольной призмы равны ее основанию.

Это свойство верно для любых видов призм.

Имеет место теорема о свойстве площадей поперечных сечений призмы.

Теорема 3. Все поперечные сечения призмы имеют одну и ту же площадь.

Все выше сказанное позволяет доказать теорему об объеме призмы.

Теорема 4. Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

где S — площадь основания призмы, a h — высота призмы.

Пример:

Найдите объем четырехугольной прямой призмы, высота которой равна h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами , а острый угол между диагоналями основания равен .

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Четырехугольная призма с высотой h.

2. Диагональ наклонена к плоскости основания под углом .

3. Острый угол между диагоналями основания равен

4. Найдите объем призмы .

Так как высота призмы дана, решение сводится к отысканию площади ее основания ABCD, которое является выпуклым четырехугольником.

Возникает самостоятельный вопрос: как найти площадь выпуклого четырехугольника? Известен такой факт:

Читайте также:  Как называется прибор для измерения ускорения

площадь выпуклого четырехугольника выражается через его диагонали и угол между ними по формуле (эту формулу можно отдельно вывести).

Следует также разобраться с данными п. 2.

5. перпендикулярны плоскости основания (1, определение прямой призмы).

6. (1, 2, 5, определение угла между прямой и плоскостью) (рис. 2.514).

7. Из треугольников находим диагонали основания:

8. Найдем площадь четырехугольника ABCD (рис. 2.515), диагонали которого АС и BD пересекаются в точке О.

9. (8, т. 4).

Объем пирамиды

Горизонтальные поперечные сечения определяются для пирамиды так же, как и для призмы.

Определение. Поперечным сечением пирамиды называют ее пересечение с плоскостью, параллельной основанию.

На рисунке 2.516 является поперечным сечением пирамиды так как плоскость которой принадлежит , параллельна плоскости основания пирамиды.

По мере того как горизонтальная плоскость движется от основания пирамиды к ее вершине, площадь поперечного сечения все время убывает, до тех пор, пока она не станет равной нулю.

В следующей теореме мы выведем формулу, показывающую, как изменяется площадь поперечного сечения для треугольной пирамиды:

Теорема 5. Каждое поперечное сечение треугольной пирамиды, заключенное между основанием и вершиной, является треугольником, подобным основанию. Если h — высота пирамиды и k — расстояние от вершины до плоскости поперечного сечения, то площадь поперечного сечения равна площади основания, умноженной на число .

Площади поперечных сечений ведут себя так: независимо от того, какую форму имеет основание пирамиды, отношение площадей всегда равно .

Теорема 6. Отношение площади поперечного сечения к площади основания пирамиды равно , где h — высота пирамиды, a k — расстояние от вершины пирамиды до плоскости поперечного сечения.

Приведенные выше теоремы позволяют нам доказать еще одну теорему.

Теорема 7. Если две пирамиды имеют одну и ту же площадь основания и одну и ту же высоту, то их поперечные сечения, равноудаленные от вершин, имеют одну и ту же площадь.

Имеет место одно из важнейших свойств пирамиды.

Теорема 8. Если две пирамиды имеют одну и ту же площадь основания и одну и ту же высоту, то они имеют один и тот же объем.

Можно также доказать теорему о нахождении объема треугольной пирамиды.

Теорема 9. Объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Читайте также:  Adobe premiere pro плавное ускорение

Тот же результат сохраняется и для любых пирамид.

Теорема 10. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

где S — площадь основания пирамиды, a h — высота пирамиды.

Теорема 11. Объем усеченной пирамиды с площадями оснований и высотой h равен

Пример:

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. РАВС — треугольная пирамида.

2. — равнобедренный, АВ = 6 см, АС = 6 см, ВС = 8 см. (рис. 2.517)

3. РА = РВ = PC = 9 см.

4. , где Н — высота пирамиды РО (формула объема пирамиды).

5. Итак, нахождение объема пирамиды сводится к нахождению площади основания — и высоты пирамиды Н.

6. Проведем высоту пирамиды — РО = Н (построение) (рис. 2.518).

7. Так как боковые ребра пирамиды равны, основание О высоты пирамиды РО есть центр описанной около основания окружности (1,3, свойство пирамиды).

8. Основание высоты — точка О — принадлежит высоте равнобедренного треугольника ABC, проведенной к основанию АВ (6, 7, свойства пирамиды).

Нам будет удобно отдельно рассмотреть основание пирамиды — (рис. 2.519).

Возникает задача на плоскости: в равнобедренном треугольнике ABC АВ = б см, АС = б см, ВС = = 8 см. Найти ОБ — центр описанной около окружности.

9. Соединим точку О с точкой Бис точкой М — серединой стороны АВ (построение) (рис. 2.519).

10. РО отыскивается по формуле (6, 7, 8, 9, теорема Пифагора).

Нам осталось найти радиус R.

Радиус R описанной около треугольника ABC окружности можно найти из треугольника АМО, где МО — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Это тоже отдельная задача на плоскости.

11. Обозначим угол МАО через тогда из получим (9, определения синуса и косинуса).

12. (9,11).

13. (10, 12).

14. Если D — середина ВС, то AD — высота основания. BD = CD = = 4 см, (2, 9, теорема Пифагора).

15. Площадь основания (14, формула площади тре-угольника).

16. Объем пирамиды

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем