Как найти объем многогранника формула если все двугранные углы прямые

Объем многогранника, формула, все двугранные углы прямые

Здравствуйте!
Помогите решить задачу:
Найти объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Нужна формула и решение, желательно подробное и понятное.

Спасибо!

Задача.
Найти объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
На рисунке изображен многогранник, который можно разбить на части, вследствие чего можно найти объем каждой из них, а сумма объемов этих частей составит объем всей фигуры.


Определенной формулы не существует. Самая главная формула – это сумма объемов всех отдельных частей. Главное, чтобы части этих фигур не пересекались, иначе получится неправильный результат.
Отсечем верхнюю часть заданного многогранника и получим две фигуры.
Рассмотрим верхнюю часть этого многогранника.
Его высота равна 2см, ширина 2 см, а длина – 4 см. Таким образом, объем этой части будет равен 2 * 2 * 4 = 16 кв. см.
Рассмотрим нижнюю часть заданного многогранника.
Его высота равна 4 – 2 = 2см, ширина 5 см, а длина – 4 см. Таким образом, объем этой части будет равен 2 * 5 * 4 = 40 кв. см.
Объем заданного многогранника равен 16 + 40 = 56 кв. см.

Ответ. 56 кв. см.

При решении подобных задач основное – это правильно разбить многогранник на части, объемы которых можно легко найти. Тогда необходимо просто просуммировать полученные объемы и получить ответ.
В данной задаче можно было разбить многогранник не только горизонтально, но и вертикально.

Источник

Как найти объем многогранника формула если все двугранные углы прямые

Источник задания: Задачи на вычисление объемов многогранников разных видов

Задание 8_1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Объем прямоугольного многогранника можно найти как объем параллелепипеда со сторонами 3, 3, 1 и вычесть из него объем параллелепипеда со сторонами 1, 1, 1, получим:

.

Задание 8_2. Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Объем данной фигуры будет складываться из объемов 7-ми единичных кубов и равен, соответственно, семи.

Задание 8_3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Объем многогранника вычислим как объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 5, 4, 4 минус объем параллелепипеда со сторонами 2, 3, 4, получим:

.

Задание 8_4. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Аналогично, объем многогранника равен разности объема большого параллелепипеда 4х2х1 и малого 1х1х1, получим:

.

Задание 8_5. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Из объема большого прямоугольного параллелепипеда 4х3х4 вычтем объем малого параллелепипеда 2х1х4, получим:

.

Задание 8_6. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Объем всего параллелепипеда равен . Объем вырезанной части , следовательно, объем фигуры

.

Задание 8_7. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Объем всего прямоугольного параллелепипеда равен . Объем вырезанной части , следовательно, объем фигуры

.

Задание 8_8. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Объем всего параллелепипеда равен . Объем вырезанной части , следовательно, объем фигуры

.

Задание 8_9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Сначала вычислим объем прямоугольного параллелепипеда 4х3х2 . Затем вычтем из него два объема малых параллелепипедов 1х1х3, получим:

.

Задание 8_10. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Сначала вычислим объем прямоугольного параллелепипеда 4х3х3 . Затем вычтем из него два объема малых параллелепипедов 2х1х3 объемом , получим:

.

Задание 8_11. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Из объема прямоугольного параллелепипеда вычтем объем центральной части , получим

.

Задание 8_12. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Объем фигуры состоит из объемов двух прямоугольных параллелепипедов размерами 4х5х3 и 3х2х3 соответственно. Имеем:

.

Задание 8_13. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Здесь фигура составлена из двух прямоугольных параллелепипедов, объемами и . Соответственно, суммарный объем равен

.

Задание 8_14. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Фигура, изображенная на рисунке составлена из трех прямоугольных параллелепипедов объемами , , , суммарный объем равен

.

Задание 8_15. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Объем этой фигуры можно вычислить как разность между объемом всего параллелограмма и объемом вырезанного угла , получим:

.

Источник

Многогранники

Многогранники

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

• Призма $V=S_<осн>·h$
• Пирамида $V=<1>/<3>S_<осн>·h$
• Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
• Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

• Первый способ.

1. Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
2. Найти объем параллелепипеда.
3. Найти объем лишней части фигуры.
4. Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:

2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:

Его длина равна $9-4=5$

3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

• Второй способ

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$<1>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<√3>/<2>$
$cosα$	$<√3>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<1>/<2>$
$tgα$	$<√3>/<3>$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$<√3>/<3>$

Задачи на рассмотрение подобия фигур.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

Источник