Как найти модуль центростремительного ускорения точки

Содержание
  1. Центростремительное ускорение
  2. Центростремительное ускорение при равномерном движении по окружности
  3. Определение центростремительного ускорения
  4. Примеры задач с решением
  5. Центростремительное ускорение. Вывод формулы.
  6. Вывод формулы определения модуля ускорения
  7. Определение направления вектора центростремительного ускорения
  8. Итоговая схема векторов сил и ускорений
  9. Выводы
  10. Центростремительное ускорение и центростремительная сила
  11. Линейная скорость меняется от точки к точке
  12. Центростремительная сила – причина движения по окружности
  13. Центростремительное ускорение
  14. Физика
  15. Закон сложения скоростей
  16. Мгновенная скорость, направление мгновенной скорости
  17. Средняя скорость. Средняя путевая скорость
  18. Ускорение. Касательное ускорение. Центростремительное ускорение
  19. Равноускоренное движение
  20. Прямолинейное равноускоренное движение. Определение скорости при равноускоренном движении. Уравнения движения при равноускоренном движении
  21. Свободное падение
  22. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Криволинейное равноускоренное движение
  23. Равномерное движение точки по окружности
  24. Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение при равномерном движении по окружности

Пусть материальная точка равномерно движется по окружности. Тогда модуль ее скорости не изменяется ($v=const$). Но это не значит, что ускорение материальной точки равно нулю. Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения точки. При перемещении по окружности скорость изменяет свое направление постоянно. Значит, точка движется с ускорением.

Рассмотрим точки A и B принадлежащие траектории движения рассматриваемого тела. Вектор изменения скорости для этих точек равен:

Если время движения, между точками A и B мало, то дуга AB мало отличается от хорды AB. Треугольники AOB и BMN подобны, следовательно:

Модуль среднего ускорения найдем как:

Величину мгновенного ускорения можно получить, перейдя к пределу при $\Delta t\to 0\ $ от $\left\langle a\right\rangle $:

Вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол равный:

При $\Delta t\to 0\ $ угол $\alpha \to 0.$ Получается, что вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол $\frac<\pi ><2>$.

Мы получили, что материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, имеет ускорение, направленное к центру траектории движения (перпендикулярное вектору скорости), его модуль равен скорости в квадрате, деленной на радиус окружности. Такое ускорение называют центростремительным или нормальным, обозначают его обычно $<\overline>_n$.

где $\omega $ — угловая скорость движения материальной точки ($v=\omega \cdot r$).

Определение центростремительного ускорения

И так, центростремительное ускорение (в общем случае) — это составляющая полного ускорения материальной точки, которая характеризует, как быстро изменяется направление вектора скорости при криволинейном перемещении. Другой компонентой полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно отвечает за изменение величины скорости.

Центростремительное ускорение равно:

где $e_r=\frac<\overline>$ — единичный вектор, направленный от центра кривизны траектории к рассматриваемой точке.

Впервые верные формулы для центростремительного ускорения были получены Х. Гюйгенсом.

Единицей измерения центростремительного ускорения в Международной системе единиц является метр, деленный на секунду в квадрате:

Примеры задач с решением

Задание. Диск вращается вокруг неподвижной оси. Закон изменения угла поворота радиуса диска задает уравнение: $\varphi =5t^2+7\ (рад)$. Чему равно центростремительное ускорение точки A диска, которая находится на расстоянии $r=$0,5 м от оси вращения к окончанию четвертой секунды от начала вращения?

Решение. Сделаем рисунок.

Модуль центростремительного ускорения равен:

Угловую скорость вращения точки найдем как:

уравнение изменения угла поворота в зависимости о времени:

В конце четвертой секунды угловая скорость равна:

\[\omega \left(t=4\right)=10\cdot 4=40\ \left(\frac<рад><с>\right).\]

Используя выражение (1.1) найдем величину центростремительного ускорения:

Ответ. $a_n=800\frac<м><с^2>$.

Задание. Движение материальной точки задается при помощи уравнения: $\overline\left(t\right)=0,5\ (\overline<\cos \left(\omega t\right)+\overline<\sin (\omega t)\ >\ >)$, где $\omega =2\ \frac<рад><с>$. Какова величина нормального ускорения точки?

Решение. За основу решения задачи примем определение центростремительного ускорения в виде:

Из условий задачи видно, что траекторией движения точки является окружность. В параметрическом виде уравнение: $\overline\left(t\right)=0,5\ (\overline<\cos \left(\omega t\right)+\overline<\sin (\omega t)\ >\ >)$, где $\omega =2\ \frac<рад><с>$ можно представить как:

Радиус траектории можно найти как:

Компоненты скорости равны:

Получим модуль скорости:

Подставим величину скорости и радиус окружности в выражение (2.2), имеем:

Ответ. $a_n=2\frac<м><с^2>$.

Источник

Центростремительное ускорение. Вывод формулы.

Движение по окружности часто встречается в природе и в деятельности человека. По окружности движутся спутники вокруг Земли (при упрощенном рассмотрении, на самом деле по эллиптической орбите), по окружности двигаются детали механизмов, ободы колес, шестерен, движение по окружности возникает при движении машин по закруглению дороги и так далее.

Рассмотрим равномерное движение тела по окружности.

Вектор скорости в таком случае направлен по касательной к окружности, и при движении не меняется по модулю, но, очевидно, изменяется по направлению.

Изобразим такое движение на схеме:

На схеме видно, как точка движется по окружности, из начального положения M переходит последовательно в положения М₁, М₂, М₃. Очевидно, что модуль вектора скорости в этих положениях не изменяется, а вектор всегда направлен по касательной окружности в этой точке.

Читайте также:  Adobe premiere pro плавное ускорение

Рассмотрим внимательнее перемещение точки из положения М в положение М₁ за интервал времени 𝛥t.

Отметим на рисунке векторы скоростей:

Эти скорости по модулю равны:

Найдем изменение скорости. Для этого надо из конечного вектора скорости вычесть вектор скорости в начальной точке:

Среднее ускорение за время 𝛥t по определению (ускорение есть изменение скорости за промежуток времени) будет равно:

Найдем модуль и направление вектора ускорения.

Вывод формулы определения модуля ускорения

Снова рассмотрим схему:

На схеме отмечены векторы:

И с помощью векторного вычитания отметим разность векторов скорости:

Для того, чтобы определить модуль среднего ускорения нам необходимо углубиться в геометрию.

Рассмотрим треугольники ОММ₁ и М₁АВ.

Это подобные треугольники. Докажем это:

во-первых, треугольники ОММ₁ и М₁АВ равнобедренные:

У треугольника ОММ₁ стороны ОМ = ОМ₁ (т.к. это радиусы окружности, по которой движется точка).

У треугольника М₁АВ стороны М₁А = АВ — так как это векторы скорости, их длина (модуль) не меняется во время движения.

Во-вторых, у треугольников ОММ₁ и М₁АВ равные углы при вершинах.

Эти углы равны, т.к. сторона ОМ треугольника ОММ₁ перпендикулярна стороне АВ треугольника М₁АВ, а сторона ОМ₁ треугольника ОММ₁ перпендикулярна стороне М₁А треугольника М₁АВ

(ведь ОМ и ОМ₁ — это радиусы окружности, а АВ и М₁А — это векторы скорости, направленные по касательной к окружности, а значит перпендикулярно радиусу).

Из курса геометрии вспомним т еорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами: стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180º.

В нашем случае очевидно что оба угла острые, соответственно они равны.

Снова вспоминаем курс геометрии, а именно теорему о подобии треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

В нашем случае эти условия выполняются, стало быть треугольники ОММ₁ и М₁АВ подобны.

Для подобных треугольников мы можем составить пропорцию:

Вернемся из геометрии к физическому смыслу сторон наших треугольников, и запишем пропорцию в виде:

Разделим обе части равенства на промежуток времени 𝛥t:

Умножим обе части равенства на модуль скорости v:

Но ведь отношение разности скоростей к промежутку времени — это среднее ускорение:

а отношение вектора перемещения к промежутку времени — это средняя скорость:

Но нам необходимо найти модуль мгновенного ускорения. Для этого мы должны взять предельный случай, когда промежуток времени 𝛥t стремится к нулю.

мы можем записать в виде:

Вот мы и вывели формулу вычисления центростремительного ускорения.

А так как в равномерном движении по окружности — радиус окружности и модуль скорости остаются постоянными, то и модуль центростремительного ускорения тоже остается постоянным.

Далее, определим направление вектора ускорения.

Определение направления вектора центростремительного ускорения

Из названия центростремительного ускорения очевидно, что вектор ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка. Но, докажем это. Снова рассмотрим схему:

Вектор ускорения будет направлен так, как направлен вектор

при приближении промежутка времени к нулю.

то точка М₁ приближается к точке М, а угол 𝜑 стремится к нулю.

Это значит, что угол ВМ₁А стремится к 90°.

А это значит, что угол между вектором изменения скорости и радиусом окружности при приближении промежутка времени к нулю тоже стремится к нулю. Таким образом, вектор мгновенного ускорения стремится к центру окружности.

Для наглядности, изобразим это на схеме:

мы видим как при уменьшении промежутка времени 𝛥t направление разности векторов 𝛥v все ближе и ближе приближается к радиусу (отмечен пунктирной линией), и в конце концов совпадает с радиусом и в предельном случае, вектор изменения скорости направлен строго к центру. Соответственно, строго к центру направлен и вектор мгновенного ускорения.

Итоговая схема векторов сил и ускорений

Изобразим векторы ускорения на схеме:

Выводы

Резюмируем: при равномерном движении точки по окружности (т.е. с постоянной линейной скоростью), модули скорости и ускорения остаются неизменными, вектор скорости постоянно направлен по касательной к окружности, а вектор центростремительного ускорения — к центру окружности.

Формула для определения центростремительного ускорения:

Источник

Центростремительное ускорение и центростремительная сила

Тело изменяет направление движения, когда движется по окружности. Это говорит о том, что подобное движение происходит под действием некоторой силы. Такую силу называют центростремительной. С ней связано центростремительное ускорение.

Линейная скорость меняется от точки к точке

При движении по окружности вектор линейной скорости \(\vec\) изменяет свое направление (рис. 1). Значит, направления векторов \(\vec\) для соседних точек будут различаться! Но в каждой точке окружности вектор \(\vec\) направлен перпендикулярно радиусу.

Тело, двигаясь по кругу, изменяет направление, в котором движется. А если меняется направление движения, изменяется вектор скорости тела.

Читайте также:  Ford focus 2 рестайлинг объем масла

Примечания:

  1. Характеристики вектора – это его длина и его направление. Если изменится хотя бы одна из них, говорят, что изменился вектор.
  2. Через красную точку на рисунке 1 проходит ось вращения. По правилу правого винта вдоль оси вращения направлена угловая скорость.

Центростремительная сила – причина движения по окружности

Первый закон Ньютона гласит: пока на тело не действуют другие тела, оно сохраняет свою скорость неизменной. То есть, тело покоится, или движется с постоянной скоростью по прямой.

Тело изменит скорость своего движения по направлению или по модулю, только если на него подействует сила (другое тело).

При движении тела по окружности вектор скорости изменяется по направлению. Значит, на движущееся по окружности тело действует сила.

Эта сила притягивает тело к центру окружности (рис. 2), заставляя тело поворачивать. Поэтому, силу называют центростремительной (стремится к центру). Она направлена к центру окружности по радиусу.

А если эту силу убрать, тело начнет двигаться по прямой с постоянной (одной и той же) скоростью.

Примечание: На любое тело, движущееся по окружности, действует центростремительная сила. Она в каждой точке этой окружности направлена к ее центру по радиусу.

Центростремительное ускорение

Второй закон Ньютона утверждает: если есть сила, появится ускорение.

Сила и ускорение связаны так:

Это ускорение \(\vec>>\) сонаправлено (рис. 3) с вектором силы \(\vec< F_<\text<ц>> >\), поэтому, его называют центростремительным ускорением.

Длина центростремительного ускорения отличается от длины вектора силы в \(m\) раз. Где \(m\) – это масса точки.

Вектор ускорения \(\vec>>\) направлен по радиусу к центру окружности. Значит, он перпендикулярен вектору \(\vec\) линейной скорости.

Поэтому центростремительное ускорение иногда называют нормальным ускорением.

Примечание: Нормаль – это перпендикуляр. Нормальное, значит, перпендикулярное.

Нормальное ускорение можно вычислить, пользуясь выражением:

​ \( \vec> \left( \frac<\text<м>>> \right) \) ​ — центростремительное ускорение;

\(v \left( \frac<\text<м>> \right)\) — линейная скорость точки;

\(R \left( \text<м>\right)\) – радиус окружности, по которой движется точка.

\(m \left( \text<кг>\right)\) – масса точки.

Чем быстрее движется тело, и чем меньше радиус окружности, тем больше нормальное ускорение и центростремительная сила, действующая на тело.

Примечание: Нормальное ускорение есть всегда, когда есть движение по окружности, при этом не важно, меняется ли скорость тела по модулю, или не меняется.

Источник

Физика

План урока:

Закон сложения скоростей

Как уже упоминалось в предыдущем уроке, скорость тела зависит от выбранной наблюдателем системы отсчета. Разберем следующий пример: в безветренную погоду пчела летит со скоростью относительно земли. Это будет собственная скорость пчелы. Затем погода меняется и начинает дуть ветер, перпендикулярный скорости пчелы. Скорость ветра обозначена (см. рисунок 1).

Рисунок 1 – Первоначальная скорость пчелы и ветра

Естественно, что ветер начнет сдувать пчелу с первоначального курса. Собственная скорость не изменяется, так как это характеристика самой пчелы, но ее скорость относительно земли (по модулю и направлению) изменится и станет (см. рисунок 2):

Рисунок 2 – Изменившаяся скорость пчелы

Систему отсчета, связанную с землей, можно считать неподвижной. Если же рассматривать движение пчелы относительно воздуха, можно говорить о движущейся со скоростью v2 системе отсчета.

Рисунок 3 – Векторы скорости и перемещений при движении пчелы при ветре

Мгновенная скорость, направление мгновенной скорости

Средняя скорость. Средняя путевая скорость

Так как в реальной жизни тела редко движутся с постоянной скорость, но необходимо как-то описывать их движение и скорость, ввели понятие мгновенной скорости.

Мгновенная скорость – это скорость тела в выбранный конкретный момент времени.

Если по определению скорости разделить перемещение на суммарное время пути, можно получить средняя скорость:

Фактически, это та же формула, которая используется при расчетах для прямолинейного равномерного движения.

То есть средняя скорость движения – это такая скорость, с которой тело должно было бы двигаться, если бы оно перемещалось из начальной точки в конечную равномерно и прямолинейно. Из выражения для вычисления средней скорости можно увидеть, что средняя скорость сонаправлена вектору перемещения.

Касательно же мгновенной скорости, чтобы ее найти, необходимо разделить общее время Δt на одинаковые отрезки Δt1, Δt2,…Δtn, и найти средние скорости за эти отрезки времени:

А куда направлена мгновенная скорость? Из рисунка 5 видно, что при уменьшении отрезков времени Δtb направление вектора перемещения ему соответствующее постепенно приближается к направлению касательной к траектории. Значит, мгновенная скорость направлена по касательной к линии траектории.

Еще одна важная характеристика, использующаяся в кинематике – средняя путевая скорость. Из названия вытекает, что средняя путевая скорость – это отношение пути (S), пройденного телом, к отрезку времени (t), за которое оно этот путь прошло:

Читайте также:  Big data объем скорость разнообразие

Именно о путевой скорости идет речь, когда говорят, что автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 70 км/ч, например.

Ускорение. Касательное ускорение. Центростремительное ускорение

Продолжая речь о телах, движущихся неравномерно, необходимо сказать о такой физической величине, как ускорение.

Единицы измерения ускорения:

Рисунок 6 – Тело перемещается из точки 1 в точку 2 (в верхнем правом углу дана иллюстрация к разности векторов)

Если скорость тела меняется не равномерно на выбранном участке пути, нужно поступить так же, как и в случае с поиском мгновенной скорости: разделить на маленькие отрезки времени и рассматривать ускорение на каждом из них.

Поскольку ускорение получается из разности векторов скорости (конечной и начальной), в общем случае оно будет направлено под некоторым углом к мгновенной скорости (а, следовательно, и к вектору перемещения, и к касательной к траектории).

Рисунок 7 – Полное, касательно и центростремительное ускорение тела, движущегося из точки 1 в точку 2

Равноускоренное движение

Прямолинейное равноускоренное движение. Определение скорости при равноускоренном движении. Уравнения движения при равноускоренном движении

Когда движение тела происходит с постоянным по модулю и направлению ускорением, такой тип движения называют равноускоренным. Для него справедливо выражение:

Частный случай равноускоренного движения – прямолинейное равноускоренное движение. Как следует из названия, это движение вдоль прямой линии с постоянным ускорением.

При условии, что ускорение сонаправлено начальной скорости, формула для вычисления скорости при прямолинейном равноускоренном движении записывается в скалярном виде:

Если же ускорение противонаправлено начальной скорости, это выражение станет таким:

Рассмотрим график зависимости скорости от времени при равноускоренном движении (см. рисунок 8). Считаем, что тело совершает движение вдоль оси ОХ, а все величины – начальная скорость (vox) , ускорение (ax) – взяты в проекции на эту ось.

Рисунок 8 – График зависимости скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении

Как известно из предыдущего курса физики, путь, который прошло тело, можно найти как площадь фигуры под графиком зависимости скорости движения от времени. Общую площадь под графиком можно найти как сумму площадей прямоугольника ABCD и треугольника ADE.

Свободное падение

Движение тела, брошенного вертикально вверх. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Криволинейное равноускоренное движение

Примерами движения с постоянным ускорением может служить свободное падение, движение брошенного вертикально вверх тела, движение тела, брошенного под углом к горизонту. Поговорим об этих видах движения подробнее.

Представим, что какое-то небольшое, но тяжелое тело подняли на высоту h, а затем отпустили (см. рисунок 9).

Рисунок 9 – Свободное падение тела

Тело начнет падать. Принимаем допущение, что на это тело воздействует одна только сила тяжести (силой сопротивления воздуха и силой ветра пренебрегаем). Тогда тело будет двигаться вертикально вниз, а его ускорение будет равняться ускорению свободного падения:

  • Движение тела, брошенного вертикально вверх

Представим, что тело подкинули вертикально наверх с начальной скоростью v (см. рисунок 10).

Рисунок 10 – Тело бросили вертикально вверх

Очевидно, что тело сначала будет лететь вверх, постепенно замедляясь, пока его скорость не уменьшится до нуля. Затем тело полетит вниз, постепенно ускоряясь. Получается, что максимальной своей скорости тело будет достигать два раза – у земли, и эта скорость будет равно начальной скорости v (вообще нужно было бы писать voy, но так как рассматривается движение вдоль только одной оси OY, опустим индекс y).

Отсюда можно найти полное время полета:

  • Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Данный тип движения чуть сложнее, чем предыдущие два, так как придется рассматривать движение сразу вдоль двух осей OX и OY (см. рисунок 11). Этот тип движения относится к криволинейному равноускоренному движению. Будем считать, что тело подбросили с начальной скоростью под углом α к горизонту.

Рисунок 11 – Тело брошено под углом к горизонту

Уравнения движения в общем виде по двум осям выглядят так:

Еще время полета можно посчитать, учитывая что в двух моментах – в начале полета и в конце. Значит можно посчитать:

Равномерное движение точки по окружности

Центростремительное ускорение

Представим себе равномерное движение по окружности: во время этого типа движения скорость не меняется по модулю, однако меняется по направлению (см. рисунок 12).

Рисунок 12 – Изменение направления скорости при равномерном движении по окружности

За изменение направления скорости отвечает центростремительное ускорение ( Оно, так же как и скорость, постоянно по модулю, но меняется по направлению – в любой точке окружности оно направлено к ее центру. Центростремительное ускорение можно найти по формуле:

где R – радиус окружности, по которой циклически движется тело.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем